中點、角平分線常用模型-題目版

一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用圖象法解一元一次方程】 1【考點二由直線與坐標軸的交點求不等式的解集】 3【考點三根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集】 5【考點四兩條直線的交點求二元一次方程組的解】 7【考點五一次函數(shù)的應(yīng)用--方案問題】 9【考點六一次函數(shù)的應(yīng)用--最大利潤問題】 13【考點七一次函數(shù)的應(yīng)用--行程問題】 16【考點八一次函數(shù)的應(yīng)用--幾何問題】 21【過關(guān)檢測】 27【典型例題】【考點一利用圖象法解一元一次方程】例題：（23-24八年級上·陜西西安·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于x的方程的解是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，先利用求出交點的坐標，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點坐標進行判斷．數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把代入得，解得，∴一次函數(shù)與的圖象的交點為，∴關(guān)于的方程的解是．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）一次函數(shù)（為常數(shù)且與的圖象相交于點，則關(guān)于的方程的解為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，根據(jù)題意得，進而可得，再根據(jù)一次函數(shù)（為常數(shù)且與的圖象相交于點即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：的圖象經(jīng)過點，，解得：，，一次函數(shù)（為常數(shù)且與的圖象相交于點，方程的解為，故答案為：．2．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于的方程的解是．【答案】【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象與一元一次方程的綜合，根據(jù)題圖示，兩條直線的交點即為方程的解，由此即可求解，掌握一次函數(shù)的交點與一元一次方程的解的知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，兩直線的交點坐標為，∴關(guān)于的方程的解為：，故答案為：．【考點二由直線與坐標軸的交點求不等式的解集】例題：（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點，則關(guān)于的不等式的解集是．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．由圖像可知：，且當時，一次函數(shù)的圖像在x軸的下方，，即可得到關(guān)于x的不等式的解集是．【詳解】解：由圖像可得：一次函數(shù)中，時，圖像在x軸下方，此時，本號資料*全部來源于微#信公眾號：數(shù)學則關(guān)于x的不等式的解集是．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如果一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與軸的交點以及解不等式：先把代入，得，結(jié)合圖象，得，則，那么，即為，系數(shù)化1，即可作答．【詳解】解：∵一次函數(shù)與軸的交點坐標為∴把代入，得，∴結(jié)合圖象，得∵∴則∵∴故答案為：2．（23-24八年級上·江蘇常州·期末）如圖，點在一次函數(shù)的圖像上，則不等式的解集是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．觀察函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：由圖象可得：當時，，所以不等式的解集為，故答案為：．【考點三根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集】例題：（23-24八年級上·浙江金華·期末）如圖，已知直線與直線的交點的橫坐標為，則不等式的解集為．

【答案】【分析】本題主要考查直線與不等式，先求出兩直線的交點為，代入，求出，及直線與的交點坐標，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：∵直線與直線的交點的橫坐標為，∴，∴直線與直線的交點坐標為，∴解得，，∴當時，，∴與軸的交點坐標為∴的解集為，故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級上·廣西欽州·期末）如圖，直線經(jīng)過點和點，直線經(jīng)過點A，則不等式的解集為．

【答案】/【分析】本題考查一次函數(shù)與不等式，利用圖象法求出不等式的解集即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，

∴不等式的解集為；故答案為：．2．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論：①；②關(guān)于的方程的解是；③當時，；④當時，．其中正確的有（填序號）．【答案】①④【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．利用一次函數(shù)的性質(zhì)對①進行判斷；利用一次函數(shù)的交點問題對②④進行判斷；結(jié)合函數(shù)圖象對③進行判斷．【詳解】解：直線經(jīng)過第一、三象限，，直線與軸的交點在軸下方，，，故①正確；一次函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標為3，關(guān)于的方程的解是，故②錯誤；當時，，故③錯誤；當時，函數(shù)，一次函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標為3，關(guān)于的方程的解是，，，故④正確；故答案為：①④．【考點四兩條直線的交點求二元一次方程組的解】例題：（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，已知直線與直線在同一坐標系中的圖象交于點，那么方程組的解是．【答案】【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)解析式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標．根據(jù)兩個一次函數(shù)組成的方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點可得答案．【詳解】解：∵已知直線與直線在同一坐標系中的圖象交于點，∴方程組的解是故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東濟南·期末）若方程組的解是，則直線與交點的坐標為．【答案】/【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組．二元一次方程可以化為一次函數(shù)，兩個二元一次方程組的解就是兩個函數(shù)的交點坐標．【詳解】解：∵方程組的解是，∴直線與的交點坐標是．故答案為：．2．（23-24八年級下·陜西西安·開學考試）一次函數(shù)的圖象和的圖象相交于點，則關(guān)于的二元一次方程組的解為．【答案】【分析】本題主要考查一次函數(shù)與二元一次方程組的運用，掌握一次函數(shù)的交點與二元一次方程組的解的運用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的交點，把點代入一次函數(shù)，可解出的值，由此即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象和的圖象相交于點，∴，解得，∴，∴二元一次方程組的解為，故答案為：．【考點五一次函數(shù)的應(yīng)用--方案問題】本號資料全部#來源于微信*公眾號：數(shù)學例題：（2023·全國·九年級專題練習）已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間和雙人間每天都是600元，為吸引客源，促進旅游，在“十?一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房，要求租住的房間正好被住滿．（1）如果一天一共花去住宿費6300元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？（2）設(shè)三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；本號資料全部來源于：#數(shù)學（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設(shè)計一種方案，并使住宿費用最低，請寫出設(shè)計方案，并求出最低的費用．【答案】（1）三人間客房8間，雙人間客房13間；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人間客房16間，租住2人間客房1間，此時費用為5100元【分析】（1）根據(jù)在“十?一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，一天一共花去住宿費6300元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意可以寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得x為何值時，費用最低，并寫出最低費用時的住宿方案．【詳解】解：（1）設(shè)租住了三人間客房a間，雙人間客房b間，根據(jù)題意得：，解得：，答：租住了三人間客房8間，雙人間客房13間；（2）由題意可得，y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣50x+7500；（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，∴y隨x的增大而減小，∴當x滿足、為整數(shù)，且最大時，住宿費用最低，∴當x＝48時，y取得最小值，此時y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1，∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿費不是最低，答：一天6300元的住宿費不是最低，住宿費用最低的設(shè)計方案為：租住3人間客房16間，租住2人間客房1間，此時費用為5100元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．本號資料全部來源于*：數(shù)學【變式訓(xùn)練】1．（2021下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）為了滿足開展“陽光體育”大課間活動的需求，某學校計劃購買一批籃球．根據(jù)學校的規(guī)模，需購買、兩種不同型號的籃球共300個．已知購買3個型籃球和2個型籃球共需340元，購買2個型籃球和1個型籃球共需要210元．（1）求購買一個型籃球、一個型籃球各需多少元？（2）若該校計劃投入資金元用于購買這兩種籃球，設(shè)購進的型籃球為個，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若購買型籃球的數(shù)量不超過型籃球數(shù)量的2倍，則該校至少需要投入資金多少元？【答案】（1）購買一個型籃球需80元，一個型籃球需50元；（2）；（3）該校至少需要投入資金元．【分析】（1）設(shè)購買一個型籃球需元，一個型籃球需元，根據(jù)兩種購買方式建立方程組，解方程組即可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得購買型籃球的費用和購買型籃球的費用，再求和，然后根據(jù)兩種型號的籃球個數(shù)均大于0求出的取值范圍即可；（3）先根據(jù)“購買型籃球的數(shù)量不超過型籃球數(shù)量的2倍”建立不等式求出的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】解：（1）設(shè)購買一個型籃球需元，一個型籃球需元，由題意得：，解得，符合題意，答：購買一個型籃球需80元，一個型籃球需50元；（2）由題意得：購買型籃球的個數(shù)為個，則，即，，，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（3）購買型籃球的數(shù)量不超過型籃球數(shù)量的2倍，，解得，又，，對于一次函數(shù)，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，最小值為，因此，在內(nèi)，，答：該校至少需要投入資金元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，正確建立方程組和函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．2．（2020下·甘肅慶陽·八年級?？计谀┠承Q定購買一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2個足球共需190元；2副羽毛球拍和3個足球共需300元．（1）求每副羽毛球拍和每個足球各需多少元？（2）商場搞促銷活動，若購買的足球個數(shù)超過10個，足球就給予九折優(yōu)惠，學校打算購買羽毛球拍和足球一共50件，設(shè)購買足球個，總費用為元，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下學校要求購買的足球的數(shù)量不少于球拍副數(shù)的一半，本次如何購買，才能使總費用最少？最少費用是多少元？【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每個足球需80元；（2）；（3）購買羽毛球拍33個，足球17個，才能使總費用最少，最少費用是2214元．【分析】（1）設(shè)每副羽毛球拍需a元，每個足球需b元，再建立二元一次方程組，解方程組即可得；（2）分和兩種情況，結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)促銷活動列出等式即可得；（3）先求出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）設(shè)每副羽毛球拍需a元，每個足球需b元，由題意得：，解得，答：每副羽毛球拍需30元，每個足球需80元；（2）設(shè)購買足球個，則購買羽毛球拍個，由題意，分以下兩種情況：①當時，，②當時，，綜上，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（3）由題意得：，解得，為正整數(shù)，的最小值為17，，，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，隨x的增大而增大，#本號資料全部來源于#：數(shù)學則當時，取得最小值，最小值為（元），此時，答：購買羽毛球拍33個，足球17個，才能使總費用最少，最少費用是2214元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用、一元一次不等式的實際應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確建立一次函數(shù)和方程組是解題關(guān)鍵．【考點六一次函數(shù)的應(yīng)用--最大利潤問題】本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學例題：（2023下·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款自拍桿，進貨價和銷售價如表：類別A款自拍桿B款自拍桿進貨價（元/個）3025銷售價（元/個）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款自拍桿共30個，求這兩款自拍桿分別購進多少個？(2)第一次購進的自拍桿售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款自拍桿共80個（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．如何購進A、B兩款自拍桿，才能使所獲得的銷售利潤最大？最大利潤值為多少？【答案】(1)網(wǎng)店第一次購進20個A款自拍桿，10個B款自拍桿(2)A、B兩款自拍桿各購進40個時，銷售利潤最大，最大利潤為1080元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．（1）設(shè)網(wǎng)店第一次購進x個A款自拍桿，y個B款自拍桿，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款自拍桿共30個，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進m個A款自拍桿，則購進個B款自拍桿，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過2200元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)再次購進A、B兩款自拍桿的銷售利潤為w元，利用總利潤=每個的銷售利潤×銷售數(shù)量（購進數(shù)量），可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【詳解】（1）解：設(shè)網(wǎng)店第一次購進x個A款自拍桿，y個B款自拍桿，根據(jù)題意得：，解得：．答：網(wǎng)店第一次購進20個A款自拍桿，10個B款自拍桿；（2）解：設(shè)購進m個A款自拍桿，則購進個B款自拍桿，根據(jù)題意得：解得：，設(shè)再次購進A、B兩款自拍桿的銷售利潤為w元，則，即．∵，∴w隨m的增大而增大，∴當時，w取得最大值，，．答：A、B兩款自拍桿各購進40個時，銷售利潤最大，最大利潤為1080元．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）某超市計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經(jīng)了解，甲種水果和乙種水果的進價與售價如下表所示：水果單價甲乙進價（元/千克）售價（元/千克）2025已知用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同．(1)求甲、乙兩種水果的進價；(2)若該超市購進這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，若全部賣完所購進的這兩種水果，則超市應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)甲水果的進價是16元/千克，乙水果的進價是20元/千克(2)購進甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元【分析】（1）根據(jù)用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）設(shè)購進甲種水果m千克，則乙種水果千克，利潤為y，列出y關(guān)于m的表達式，根據(jù)甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，求出m的范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】（1）解：由題意可知：本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)#學第六感，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，，甲水果的進價是16元/千克，乙水果的進價是20元/千克；（2）設(shè)購進甲種水果m千克，則乙種水果千克，利潤為y元，由題意可知：甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，，解得：，即，在中，，則y隨m的增大而減小，當時，y最大，且為（元），購進甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元．【點睛】本題考查了分式方程和一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)表達式．2．（2022上·安徽亳州·八年級?？茧A段練習）夏季來臨，某商場準備購進甲、乙兩種空調(diào)，其中甲種空調(diào)比乙種空調(diào)進價每臺少500元，用40000元購進甲種空調(diào)數(shù)量與用50000元購進乙種空調(diào)數(shù)量相同．該商場計劃一次性從空調(diào)生產(chǎn)廠家購進甲、乙兩種空調(diào)共100臺，其中乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍．若甲種空調(diào)每臺售價2400元，乙種空調(diào)每臺售價3000元．請解答下列問題：(1)求甲、乙兩種空調(diào)每臺的進價分別是多少元？(2)設(shè)購進甲種空調(diào)x臺，100臺空調(diào)的銷售總利潤為y元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)該商店購進甲、乙兩種空調(diào)各多少臺才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)甲、乙兩種空調(diào)每臺的進價分別是2000元和2500元(2)，，且x為整數(shù)(3)商店購進甲種空調(diào)34臺，乙種空調(diào)66臺，才能使總利潤最大，最大利潤是46600元本號資料全部來源于：#數(shù)學【分析】（1）設(shè)甲種空調(diào)每臺的進價m元，則乙種空調(diào)每臺的進價（）元，根據(jù)“用40000元購進甲種空調(diào)數(shù)量與用50000元購進乙種空調(diào)數(shù)量相同”列分式方程求解即可；（2）直接根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“從空調(diào)生產(chǎn)廠家購進甲、乙兩種空調(diào)共100臺，其中乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍”求取值范圍；（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)作答即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲種空調(diào)每臺的進價m元，則乙種空調(diào)每臺的進價（）元，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗是原分式方程的解，∴，答：甲、乙兩種空調(diào)每臺的進價分別是2000元和2500元．（2）解：根據(jù)題意，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：，∵乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍，∴，解得，又∵，∴自變量x的取值范圍是，且x為整數(shù)．（3）解：在中，∵，∴y隨x的增大而減小，又∵，且x為整數(shù)∴時，y取得最大值，最大值為，此時，答：商店購進甲種空調(diào)34臺，乙種空調(diào)66臺，才能使總利潤最大，最大利潤是46600元．【點睛】本題考查了列分式方程求解，列一次函數(shù)關(guān)系式，求自變量取值范圍，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點七一次函數(shù)的應(yīng)用--行程問題】例題：（2024上·山西太原·八年級統(tǒng)考期末）某校組織八年級學生進行研學活動，他們沿著同樣的路線從學校出發(fā)步行前往科技館．甲班比乙班先出發(fā)5分鐘，如圖線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數(shù)圖像；折線表示乙班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數(shù)圖像，圖中軸，與相交于點．請根據(jù)圖像解答下列問題：(1)學校到科技館的路程為______米；線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為______（）；(2)求線段對應(yīng)的函數(shù)表達式（不必寫自變量的取值范圍）；(3)圖像中線段與線段的交點的坐標為______，點坐標表示的實際意義是_________．【答案】(1)3600；(2)(3)；當甲班步行20分鐘時，乙班追上甲班，他們離開學校的路程為1440米【分析】本題考查函數(shù)綜合，涉及從函數(shù)圖像中得到信息、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、函數(shù)圖像交點求法及其實際意義，熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．（1）由線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數(shù)圖像即可得到答案；利用待定系數(shù)法將代入確定函數(shù)關(guān)系式即可得到答案；（2）根據(jù)題意，數(shù)形結(jié)合，得到、，利用待定系數(shù)法將、代入確定函數(shù)關(guān)系式即可得到答案；（3）由（1），（2）所得函數(shù)表達式，聯(lián)立方程組求解即可得到點的坐標，從而根據(jù)函數(shù)圖像交點的實際意義即可得到答案．【詳解】（1）解：由線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數(shù)圖像可知，學校到科技館的路程為3600米；設(shè)線段的函數(shù)關(guān)系式為，將代入得，解得，線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為故答案為：3600；；（2）解：甲班比乙班先出發(fā)5分鐘，，設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為，將、代入得，解得，線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為；（3）解：聯(lián)立，解得，圖像中線段與線段的交點的坐標為，點坐標表示的實際意義是當甲班步行20分鐘時，乙班追上甲班，他們離開學校的路程為1440米，本號資料全部來源于：數(shù)*學第六感故答案為：；當甲班步行20分鐘時，乙班追上甲班，他們離開學校的路程為1440米．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·四川達州·八年級?？计谀┮惠v客車與一輛出租車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行．設(shè)客車離甲地的距離為千米，出租車離甲地的距離為千米，兩車行駛的時間為小時，、關(guān)于的函數(shù)圖像如圖所示：(1)根據(jù)圖像，直接寫出、關(guān)于的函數(shù)圖像關(guān)系式；(2)試計算：何時兩車相距300千米？【答案】(1)，(2)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識，正確求出兩函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（1）直接運用待定系數(shù)法就可以求出、關(guān)于的函數(shù)圖像關(guān)系式即可；（2）分為兩種情況：在相遇前，；當兩車相遇后，，然后求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，將點代入，可得，解得，∴；設(shè)，將點，代入，可得，解得，∴；（2）①兩車相遇前，可有，即解得；②兩車相遇后，可有，即，解得．答：兩車行駛或時兩車相距300千米．2．（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向的出行市場，現(xiàn)有兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元）與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費方式對應(yīng)，品牌的收費方式對應(yīng)，且超過十分鐘時，對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)求出圖中函數(shù)，的圖象交點的坐標；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇___________品牌共享電動車更省錢．（填“”或“”）②當為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差元？【答案】(1)點的坐標為(2)關(guān)于的函數(shù)解析式為(3)①；②當為或時，兩種品牌共享電動車收費相差元【分析】本題主要考查一次函數(shù)與行程問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩條函數(shù)圖象的交點的縱坐標為，代入函數(shù)解析式中計算即可；（2）運用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）①根據(jù)行程問題算出騎行的時間，分別算出兩種品牌的費用即可求解；②分兩種情況討論，第一種情況，；第二種情況，；由此即可求解．【詳解】（1）解：∵函數(shù)，的圖象交點，且點的縱坐標為，品牌的收費方式對應(yīng)，且超過十分鐘時，對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是，∴，解得，，∴點的坐標為．（2）解：函數(shù)經(jīng)過點，，∴設(shè)，∴，解得，，∴，∴關(guān)于的函數(shù)解析式為．（3）解：①，平均行駛速度均為，本號資料*全部來源于：數(shù)學第*六感∴行駛時間為，即，∴騎行品牌的費用（元）；騎行品牌共享電動車，且，∴費用（元）；∵，∴小明選擇騎行品牌共享電動車，故答案為：；②第一種情況，，∴，解得，；第二種情況，，∴，解得，；∴當為或時，兩種品牌共享電動車收費相差元．【考點八一次函數(shù)的應(yīng)用--幾何問題】例題：（2022上·河北邯鄲·八年級校考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，且，，，動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿路線向點運動；動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿路線向點運動.若，兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，運動停止.(1)直接寫出，，三個點的坐標；本#號資料全部來源于#：數(shù)學(2)當，兩點出發(fā)時，求的面積；(3)設(shè)兩點運動的時間為，用含的式子表示運動過程中的面積；(4)在點，運動過程中，點被包含在區(qū)域包含邊界的時長是______【答案】(1)，，(2)的面積為(3)(4)【分析】（1）根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)求出三個點的坐標；（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）分，兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式、梯形的面積公式計算，得到答案；（4）計算邊界點：當在上時，計算，通過畫圖發(fā)現(xiàn)，在時，點被包含在區(qū)域包含邊界，從而可計算其時長．【詳解】（1）解：軸，軸，，，，，，．故答案為：，，；（2）當兩點出發(fā)時，如圖1，，，點在線段上，的面積cm2；（3）分兩種情況：①當時，在線段上，在上，如圖，由題意得：，則；②當時，在線段上，在上，如圖，過點作軸交的延長線于，由題意得：，，，，，則；綜上所述，；（4）①如圖，點在上，過點作于，過作于，交于，，，，，，≌（SAS），，，；如圖，當與重合時，點仍在的內(nèi)部；，在點運動過程中，點被包含在區(qū)域包含邊界的時長是．故答案為：．【點睛】本題考查的是坐標與圖形性質(zhì)，幾何動點問題，三角形的面積，線段三角形全等的判定與性質(zhì)，從動態(tài)問題中得出一次函數(shù)的表達式等知識，是綜合題，有一定的難度，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級包頭市第二十九中學?？计谥校┑冗吶切蔚奈恢萌鐖D所示，等邊三角形的邊長為2．(1)求點的坐標；(2)直線過點，求該直線的表達式；(3)在軸上找一點，使得三角形為等腰三角形，直接寫出點的坐標；(4)在（2）的條件下，直線與軸交于點，在該直線上找一點，使得三角形的面積為．【答案】(1)(2)(3)或或或(4)或【分析】（1）由題意得，，則，故，即可求解；（2）將點的坐標代入函數(shù)表達式，可得，即可求解；（3）當時，則，即可求解；當或時，同理可解；（4）首先確定點坐標，由三角形的面積，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，為等邊三角形，且邊長為2，∴，，∴，過點作軸于點，則，，∴，則點，即點的坐標分別為：，；（2）將點的坐標代入函數(shù)表達式，可得，則，則該一次函數(shù)的表達式為；（3）設(shè)點，由點的坐標得，，，當時，則有，解得，則點；當時，可有，解得（舍去）或；當時，可有，解得．綜上所述，點的坐標為：或或或；（4）對于直線，令，即有，解得，∴，∴，則三角形的面積，則，將當時，將其代入，可得，解得，將當時，將其代入，可得，解得，即點的坐標為或．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、待定系數(shù)法則求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，已知一次函數(shù)的圖象為直線l，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是正確利用數(shù)形結(jié)合的方法從圖象中找到正確答案．根據(jù)圖象可知當時，函數(shù)值小于1，即．【詳解】解：當時，，即不等式的解集為．故選：B．2．（23-24八年級上·山東棗莊·期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．隨的增大而減小B．C．當時，D．關(guān)于，的方程組的解為【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)的增減性逐一判斷即可得答案．【詳解】解：A．由圖象得隨的增大而減小，故該選項正確，不符合題意；B．由圖象得：，故該選項錯誤，符合題意；C．由圖象得：當時，，故C是不符合題意；D．由圖象得：的解為，故不符合題意；故選：B．3．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛，圖中折線表示快、慢兩車之間的距離與它們的行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系，李明同學結(jié)合圖像得出如下結(jié)論：①快車途中停留了；②快車速度比慢車速度多；③圖中；④慢車先到達目的地．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問題，熟練掌握路程、速度、時間之間的關(guān)系，函數(shù)圖象的意義，讀懂函數(shù)圖象，從圖象中獲取有用信息，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象可知兩車出發(fā)2小時后相遇，據(jù)此可得他們的速度和為，相遇后慢車停留了，快車停留了，此時兩車距離為，據(jù)此可得慢車的速度為，進而得出快車的速度為，根據(jù)“路程和=速度和×時間”即可求出a的值，從而判斷出誰先到達目的地．【詳解】由函數(shù)圖象的傾斜程度可得：相遇后慢車停留了，快車停留了，故①不符合題意；根據(jù)函數(shù)圖象可知，兩車的速度和為：，慢車的速度為：，則快車的速度為：，∴快車速度比慢車速度多；故②符合題意；∵，∴圖中，故③結(jié)論符合題意；快車到達終點的時間為（小時），慢車到達終點的時間為（小時），∵，∴慢車先到達目的地，故④結(jié)論符合題意．∴正確的是②③④，共3個．故選：C．4．（23-24八年級上·江蘇淮安·階段練習）如圖1，四邊形中，，直線，當直線沿射線的方向從點開始向右平移時，直線與四邊形的邊分別相交于點．設(shè)直線向右平移的距離為，線段的長為，且與的函數(shù)關(guān)系如圖2．則下列結(jié)論：①的長為5；②的長為；③當時，的面積不變；其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查的是圖形的實際運動和其對應(yīng)的函數(shù)圖象問題，解決問題的關(guān)鍵是找出函數(shù)圖象上關(guān)鍵點對應(yīng)的實際圖形的位置．通過圖1與圖2可直接求得的長，通過勾股定理求得的長，當時，通過三角形底與高是否變化來判斷的面積是否變化．本*號資料全部來源于：數(shù)學第六*感【詳解】解：從圖2知：∵當時，y的值不變，∴相應(yīng)的對應(yīng)圖1是：直線從過點A開始到經(jīng)過C點結(jié)束，的值不變，即當，經(jīng)過點A，當時，經(jīng)過點C，∴，∴①正確；從圖1知，，∴，∴②不正確；如圖2，當時，，∵不變，變化，∴的面積變化，∴③不正確，∴正確的有1個，故選：B二、填空題5．（2024九年級下·廣東·專題練習）若直線和相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式；首先求得直線過原點，直線過，以及點Q的坐標，然后畫出函數(shù)圖象，再對不等式變形后根據(jù)圖象即可直接求得解集．【詳解】解：當時，，，∴直線過原點，直線過，把代入得，則Q的坐標是，畫出函數(shù)圖象如圖：對不等式變形得：，根據(jù)圖象，得：不等式的解集是，即不等式的解集是，故答案為：．6．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，直線與直線交于點，則關(guān)于x的不等式的解集是．

【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)解析式交點的坐標，與解析式構(gòu)成不等式解集的關(guān)系，確定交點的橫坐標，結(jié)合不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想解答即可．【詳解】∵直線與直線交于點，∴關(guān)于x的不等式的解集是,故答案為：．7．（2024·河南·一模）某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內(nèi)甲、乙兩倉庫的快件數(shù)量（件）與時間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從開始，經(jīng)過分鐘時，當兩倉庫快遞件數(shù)相同．【答案】20【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．利用待定系數(shù)法分別求出甲、乙兩倉庫的快件數(shù)量（件）與時間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式，在求出兩直線的交點即可得到答案．【詳解】解：設(shè)甲倉庫的快件數(shù)量（件）與時間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象得，，解得：，∴，設(shè)乙倉庫的快件數(shù)量（件）與時間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象得，，解得：，∴，聯(lián)立，解得：，經(jīng)過20分鐘時，當兩倉庫快遞件數(shù)相同，故答案為：20．8．（23-24八年級上·四川成都·階段練習）定義：我們把直線與直線的交點稱為直線的“不動點”．例如的“不動點”：聯(lián)立方程，解得，則的“不動點”為．若直線的“不動點”為，則，．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)不動點的定義，得到是直線與直線的交點，進而求出的值，再把點代入一次函數(shù)解析式求出的值即可．【詳解】解：由題意，得：是直線與直線的交點，∴，∴，∴點為，∴，∴；故答案為：．三、解答題9．（2023·山東菏澤·二模）當前我國約有十分之一的教師因為種種原因患上嗓音疾?。槍τ诖耍承９媱潪槌n時任務(wù)的教師配備音頻放大器．已知購買2個型音頻放大器和3個型音頻放大器共需352元；購買3個型音頻放大器和4個型音頻放大器共需496元．(1)求兩種類型音頻放大器的單價；(2)該校準備采購兩種類型的音頻放大器共30個，且型音頻放大器的數(shù)量不少于型音頻放大器數(shù)量的2倍，請給出最省錢的購買方案，并說明理由．【答案】(1)型音頻放大器的單價是80元，型音頻放大器的單價是64元；(2)最省錢的購買方案為：購買20個型音頻放大器，10個型音頻放大器．【分析】（1）根據(jù)題意可以列出二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意列不等式，即可得到結(jié)論．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．利用方程的思想解答．【詳解】（1）解：設(shè)型音頻放大器的單價是元，型音頻放大器的單價是元，根據(jù)題意得：，解得：答：型音頻放大器的單價是80元，型音頻放大器的單價是64元；（2）解：最省錢的購買方案為：購買20個型音頻放大器，10個型音頻放大器，理由如下：設(shè)采購個型音頻放大器，則采購個型音頻放大器，根據(jù)題意得：，解得：．設(shè)采購兩種類型的音頻放大器共需元，則，即．，隨的增大而增大，又，當時，取得最小值，此時，最省錢的購買方案為：購買20個型音頻放大器，10個型音頻放大器．10．（23-24九年級上·貴州遵義·期中）如圖，直線：與直線l2：交于點，且直線經(jīng)過點．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)寫出方程組的解為；(3)當時，寫出自變量的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)的交點，一次函數(shù)的解析式，結(jié)合圖象求方程組的解、求不等式的解集，熟練掌握待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）由直線：求得點，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達式；（2）利用方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標求解；（3）根據(jù)交點坐標，結(jié)合圖象確定解集即可．【詳解】（1）解：∵直線：過點，本號資料全部來源于微信公眾*號：#數(shù)學∴，∴，把，代入得，，解得，∴直線的函數(shù)表達式為；（2）∵直線：與直線：交于點，∴方程組的解為．故答案為：．（3）直線：與直線：交于點，觀察圖象，當時，自變量的取值范圍是．11．（2023·山東泰安·二模）“菊潤初經(jīng)雨，橙香獨占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含維生素．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進了一批數(shù)量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進價比每千克“臍橙”貴8元．(1)求每千克“血橙”和“臍橙”進價各是多少元？(2)若該水果商城決定再次購買同種“血橙”和“臍橙”共40千克，且再次購買的費用不超過600元，且每種橙子進價保持不變．若“血橙”的銷售單價為24元，“臍橙”的銷售單價為14元，則該水果商城應(yīng)如何進貨，使得第二批的“血橙”和“臍橙”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)每千克“血橙”為18元，每千克“臍橙”為10元(2)該水果商城購買25千克“血橙”，15千克“臍橙”，最大利潤是210元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細審題，找到不等關(guān)系及等量關(guān)系．（1）設(shè)每千克“臍橙”為元，則每千克“血橙”為元，根據(jù)題意列方程求解即可；本號*資料全部來源于：數(shù)#學第六感（2）設(shè)可再購買千克“血橙”，則購買千克“臍橙”，根據(jù)題意求出的取值范圍；設(shè)總利潤為元，并求出與的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)每千克“臍橙”為元，則每千克“血橙”是元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，，答：每千克“血橙”為18元，每千克“臍橙”為10元；（2）設(shè)可再購買千克“血橙”，則購買千克“臍橙”，根據(jù)題意，得，解得；每千克“血橙”的利潤為：（元，每千克“臍橙”的利潤為：（元，設(shè)總利潤為元，根據(jù)題意，得，因為，所以最的增大而增大，所以當時，有最大值，，此時，，答：該水果商城購買25千克“血橙”，15千克“臍橙”，獲得利潤最大，最大利潤是210元．12．（23-24九年級下·黑龍江雞西·開學考試）為鍛煉身體，增強體質(zhì)，某戶外俱樂部組織隊員去效游，需要購買雨傘和保溫杯．已知購買10把雨傘和15個保溫杯需要450元；購買12把雨傘和10個保溫杯需要380元．(1)求購買1把雨傘和1個保溫杯各需多少元；(2)若購買雨傘和保溫杯的總數(shù)為30，總費用不少于479元且不多于502元，則有幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？【答案】(1)購買1把雨傘需15元，購買1個保溫杯需20元(2)有五種購買方案(3)購買24把雨傘和6個保溫杯總費用最少，最少費用是480元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程和不等式．（1）設(shè)購買1把雨傘需元，購買1個保溫杯需元，根據(jù)購買10把雨傘和15個保溫杯需要450元；購買12把雨傘和10個保溫杯需要380元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購買雨傘把，則購買保溫杯把，根據(jù)總費用不少于479元且不多于502元，列出不等式組，解不等式組即可；本號資料全部來源于微信公*眾號：數(shù)*學第六感（3）設(shè)總費用為元，列出w關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性進行解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)購買1把雨傘需元，購買1個保溫杯需元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：購買1把雨傘需15元，購買1個保溫杯需20元．（2）解：設(shè)購買雨傘把，則購買保溫杯把，根據(jù)題意，得：，解得：，為整數(shù)，可取20，21，22，23，24，有五種購買方案．（3）解：設(shè)總費用為元，根據(jù)題意，得：，，隨的增大而減小，當時，，答：購買24把雨傘和6個保溫杯總費用最少，最少費用是480元．13．（23-24九年級下·黑龍江雞西·開學考試）甲、