初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

第二十二章二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念（一）內(nèi)容：一般地，形如?=?+??+（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)；其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（二）二次函數(shù)一般式：?=?+??+（a，b，c是常數(shù)，a≠0）（三）二次函數(shù)成立的條件1、函數(shù)解析式是整式；2、化簡(jiǎn)后自變量的最高次數(shù)為2；3、二次項(xiàng)系數(shù)不為0。二、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)?=?+??+?(?≠?)線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)?=?+??+?。（二）拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，拋物線(xiàn)與其對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)。（三）二次函數(shù)?=?(?≠?)的圖像和性質(zhì)1、用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)?=?的圖象的一般步驟（1）列表：讓x取一些有代表性的值，求出對(duì)應(yīng)的y值，列出表格，一般y軸的兩側(cè)各取2個(gè)或3個(gè)點(diǎn)，注意對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)。（2）描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，一般先描出y軸一側(cè)的幾個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性找出y軸另一側(cè)的幾個(gè)點(diǎn)。左右兩側(cè)應(yīng)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)。2、二次函數(shù)?=?(?≠?)的圖像和性質(zhì)?=????>0?<0≠?)圖像開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸向上向下y軸或x=0（0，0）頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x<0隨x的增大而增大；增減性當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增當(dāng)x＞0隨x的增大而減小。大。最值當(dāng)?=0時(shí)，?最小=0當(dāng)?=0時(shí)，?最大=0?=???相同。（四）二次函數(shù)?=?+?(?≠?)的圖象和性質(zhì)與1、二次函數(shù)?=?+??=?圖象間的關(guān)系二次函數(shù)?=?+?的圖象可以由二次函數(shù)?=?沿y軸向上（k>0）或向下（k<0）平移|k2、二次函數(shù)?=?+?(?≠?)的圖象和性質(zhì)?=?+?(?≠?)?>0?<0?>0?<0?>0?<0圖像開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸向上向下y軸或x=0（0，k）頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)?<0時(shí)，y隨x的增大而當(dāng)?<0時(shí)，y隨x的增大而減小；增大；當(dāng)?>0時(shí)，y隨x的增大而當(dāng)?>0時(shí)，y隨x的增大而增大。減小。增減性最值當(dāng)x=0時(shí)，?最小=k當(dāng)?=0時(shí)，最大=k?>0?=?或?=???+?，當(dāng)時(shí)，若A(?,?),,?)在拋物線(xiàn)上，且|>，則有?>?。????????（2）對(duì)于二次函數(shù)?=?或?=???+?，當(dāng)?<0若A(?,?),,?)在拋物線(xiàn)上，且|>，則有?<?。????????（五）二次函數(shù)?=?(???)?的圖象和性質(zhì)1、二次函數(shù)?=?(???)?與?=???圖象間的關(guān)系二次函數(shù)?=?(???)?的圖象可以由二次函數(shù)?=???沿x軸向右（h>0）或向左（h<0）平移|h2、二次函數(shù)?=?(???)?的圖象和性質(zhì)?=??≠?)?>0?<0?>0?<0?>0?<0圖像開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸向上向下x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，0）當(dāng)?<?時(shí)，y隨x的增大而減當(dāng)?<?時(shí)，y隨x的增大而增?。淮?；當(dāng)?>?時(shí)，y隨x的增大而增當(dāng)?>?時(shí)，y隨x的增大而減大。小。增減性最值當(dāng)x=h時(shí)，最小=0當(dāng)?=h時(shí)，?最大=0（六）二次函數(shù)?=?(???)?+?的圖象和性質(zhì)1、二次函數(shù)?=?(???)?+?（頂點(diǎn)式）與?=???圖象間的關(guān)系（1）二次函數(shù)?=?沿x軸向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)?=?(???)?。（2）二次函數(shù)?=?(???)?沿y軸向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)?=?(???)?+?。（3）拋物線(xiàn)?=?(???)?+?左、右平移時(shí)，只有常數(shù)h發(fā)生變化；上、下平移時(shí)，只有常數(shù)k發(fā)生變化。2、二次函數(shù)?=?(???)?+?的圖象和性質(zhì)??>0?<0=?(???)?+??>0?<0?>0?<0(?≠?)?>0?>0?>0?>0圖像?<0?<0?<0?<0開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸向上向下直線(xiàn)x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性（h，k）當(dāng)?<?隨x的增大而當(dāng)?<?隨x的增大而減?。划?dāng)?>?隨x的增大而當(dāng)?>?隨x的增大而增大。減小。增大；最值當(dāng)x=h時(shí)，?最小=k當(dāng)?=h時(shí)，?最大=k?=?(???)?+?中可以直接看出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是所以通常把它稱(chēng)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式。其中h，k決定頂點(diǎn)坐標(biāo)；a決定開(kāi)口方向和大??；h決定對(duì)稱(chēng)軸；k決定最值。?=?(???)?與?=?(???+?的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=h對(duì)稱(chēng)，當(dāng)?>0A(?,?,B(?,?|???|>|????>?????????。?=?(???)?與?=?(???+?的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=h對(duì)稱(chēng)，當(dāng)?>0A(?,?,B(?,?|???|>|???|?<?????????。（七）二次函數(shù)?=???+??+?的圖象和性質(zhì)1、二次函數(shù)?=???+??+?的圖像的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)（1）推導(dǎo)y=???+??+??y=?(??++?????y=?[??+?+(??(?]+?????y=?[??+?+(?]??(?+?????y=?(?+??+????????y=?(?+?????????y=?(?+?+????????即二次函數(shù)?=???+??+?的對(duì)稱(chēng)軸為?=??,)。2、畫(huà)二次函數(shù)?=???+??+?的圖象的方法（1）描點(diǎn)法；（2）平移法①把二次函數(shù)?=???+??+?可以通過(guò)配方法化成?=?(???)?+?形式，明確頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k)；的②做出?=???的圖像；③將拋物線(xiàn)?=???平移，使其定點(diǎn)平移到(h，k)處。（3）在具體的做題過(guò)程中，畫(huà)簡(jiǎn)單圖像時(shí)必須標(biāo)出：①頂點(diǎn)坐標(biāo)；②對(duì)稱(chēng)軸；③與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；④與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。3、二次函數(shù)?=???+??+?的圖象和性質(zhì)函數(shù)?=???+??+?(?>?)?=?+??+?(?<?)圖像開(kāi)口向上向下方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性最值????=????????(?,)??當(dāng)?<?時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)?<?時(shí)，y隨x的增大而增大；??當(dāng)?>?時(shí)，y隨x的增大而增大。當(dāng)?>?時(shí)，y隨x的增大而減小。????????????????當(dāng)x=?時(shí)，最小=當(dāng)?=?時(shí)，?最大=????4、二次函數(shù)?=???+??+?的圖象特征與字母系數(shù)的關(guān)系字母符號(hào)圖象的特征a>0a<0開(kāi)口向下開(kāi)口向上0b=0a，b同號(hào)a，b異號(hào)c=0對(duì)稱(chēng)軸為y軸對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)c>0與y軸交于正半軸與y軸交于負(fù)半軸c<0?=?+??+?=1時(shí)，?=?+?+?，若此時(shí)y>?+?+?>0y=0?+?+?=0y<，則?+?+?<。?=???+??+?=?1時(shí)，?=???+?，若此時(shí)y>???+?>0y=0???+?=0y<，則???+?<。（八）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1、若已知拋物線(xiàn)上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)一般式?=???+??+?2、若已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，設(shè)?=???。。3、若已知頂點(diǎn)在y軸上，設(shè)?=???+c。4、若已知拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)?=???+???=?(???)?+?。xx?=?(???)?。7、若已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（或已知拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交?=?(???)(???（?，??是拋物線(xiàn)與x注：交點(diǎn)式的推導(dǎo)過(guò)程??拋物線(xiàn)?=???+??+?與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，?????????是一元二次方程???+??+?=?的兩個(gè)根；則有?+?=?，??=?；???????????將?+?=?，??=帶入?=?+?+)????????則有?=?[???(?+?)??]=?(???)(???)+??????三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（一）二次函數(shù)?=???+??+?，當(dāng)?=0時(shí)，得到一元二次方程???+??+=0，所以?huà)佄锞€(xiàn)?=?+??+與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程???+??+=0的根。?=???+??+?的圖像與x軸的交點(diǎn)的三種情況對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況?????的取值?????>??????=??????<?二次函數(shù)a>0?=?+??+?的圖像a<0二次函數(shù)?=???+??有兩個(gè)公共點(diǎn)(?，0)，(?，?)有一個(gè)公共點(diǎn)+?的圖像與x軸的公共無(wú)公共點(diǎn)?（?，0）點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?，?；有兩個(gè)相等的實(shí)一元二次方程???+????數(shù)根??+???????沒(méi)有實(shí)數(shù)根??=??=???+?=0的根的情況?=??????????????=???+??+?(?≠?)的函數(shù)值?=??=?時(shí)的自變量x的值，就是解一元二次方程???+??+?=?；反之，解一元二次方程???+??+?=?可以看成已知?=???+??+的函數(shù)值為m，求自變量x的值。???+??+?=?的解是拋物線(xiàn)?=?+??+?與直線(xiàn)共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。?=?的公3、拋物線(xiàn)?=???+??+?與直線(xiàn)?=??+?的交點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解；反之，求方程組的解，也是拋物線(xiàn)?=???+??+?與直線(xiàn)?=??+?的交點(diǎn)的坐標(biāo)。（三）用圖象法求一元二次方程的解1、利用二次函數(shù)?=???+??+?的圖象與x軸的公共點(diǎn)求方程的解的方法二次函數(shù)?=???+??+?的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程???+??+=0的解，因此可以借助二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解。（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；（2）觀(guān)察圖象，確定拋物線(xiàn)與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解。2、當(dāng)函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是整數(shù)時(shí)，可通過(guò)不斷縮小根所在的范圍估計(jì)一元二次方程的解；①觀(guān)察函數(shù)圖象與x確定這個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。②由①可確定方程?=???+??+?的一個(gè)根在m、n（?<?）之間，再通過(guò)取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍，直到得出的根滿(mǎn)足題目要求為止。??+??具體過(guò)程如下：取m和n的平均數(shù)，計(jì)算出當(dāng)?=時(shí)的函數(shù)值1，將?與自變量分別為m和n時(shí)的函數(shù)值?，?比較，若函數(shù)值?，?異號(hào)，1??1???說(shuō)明所求根在m和m和??，22?+????和n和n?重復(fù)前面的步驟，直到得出的數(shù)達(dá)到所需精確的數(shù)位為止。③按照①②的方法估計(jì)出方程的另一個(gè)根。3、利用二次函數(shù)?=???的圖象與直線(xiàn)??+=0的解的方法。?=?????的公共點(diǎn)求方程?+（1）將一元二次方程?=???+??+?化為?=????的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線(xiàn)?=???和直線(xiàn)?=?????，并確定物線(xiàn)與直線(xiàn)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即一元二次方程???+??+=0的解。（四）二次函數(shù)與一元一次不等式，一元二次不等式的關(guān)系1、二次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系（1）當(dāng)?>?時(shí)，自變量x的取值12范圍為x<m或x>n；（2）當(dāng)?<?時(shí)，自變量x的取值12范圍為m<x<。2、拋物線(xiàn)?=??