初中數(shù)學(xué)《相似三角形》壓軸30題含解析

一．填空題(共9小題)1(2020秋?虹口區(qū)校級月考)15cm22.5cm．現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm方形紙條是第6張．DEBCAMANx△ADE∽△ABC=x的值即可．x張為正方形，則DE=3(cm)AM=(22.5-3x)(cm)，∵△ADE∽△ABC，DEBC3AMAN∴=，22.5-3x即=，1522.5解得x=6．故答案為：6．應(yīng)邊之比等于對應(yīng)邊上的高之比．2(2019秋?浦東新區(qū)校級月考)ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，BEBC23BFFD23如果==．△BEF∽△DAFBEDA=BFDF即可解．：ABCD是平行四邊形，∴BC∥ADBC=AD∴△BEF∽△DAF∴BEDA=BFDF∵BC=AD∴BFDF=BEBC=23．3(2017秋?虹口區(qū)校級月考)ABC中，∠ACB=90°AB=10BC=6AB1上取一點DDF⊥AB交AC于點F△ADF沿DFA落在線段DBA1；5AD的中點E的對應(yīng)點記為E△EFA∽△EBFAD=．1111ACAD=2x到AE=DE=DE=AE=xBE1111似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DFE1F例列式求解得到xAD的值．：∵∠ACB=90°AB=10BC=6，∴AC=AB-BC2=10-62=8，設(shè)AD=2x，∵點E為AD△ADF沿DFA對應(yīng)點記為AE的對應(yīng)點為E，11∴AE=DE=DE=AE=x，111∵DF⊥AB∠ACB=90°∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，ADDF∴=，，ACBC2xDF即=863解得DF=x，23x213x2在Rt△DEF中，EF=DF+DE2=+x2=，11又∵BE=AB-AE=10-3x△EFA∽△EBF，11111EFBEA1E1EF∴=1，∴EF=AE?BE，111113x2即()=x(10-3x)，85解得x=，85165∴AD的長為2×=．165故答案為：．4(2021秋?普陀區(qū)校級月考)△ABC中，4AB=5ACAD為△ABCE在BC的延長線上，EF⊥AD于點FG在AF上，F(xiàn)G=FDEG交AC于點H．若點H是AC的中點，AGFD43則的值為．254第1BD=CD；第2AC△ABD≌△AMD；54第3M作MN∥ADDMNG．由MD=BD=KD=CD△DMK后利用角之間關(guān)系證明DM∥GNDMNG為平行四邊形；AGFD第4MN∥AD的值．ADD到ABACh．1AB?hAC?h∵=S===，BDCDABAC542S125∴BD=CD．4ACAC的延長線上截取AM=ABAC=4CM．連接DM．AB=AM在△ABD與△AMD中，∠BAD=∠MADAD=AD∴△ABD≌△AMD(SAS)，5∴MD=BD=CD．4過點M作MN∥ADEG于點NDE于點K．∵M(jìn)N∥AD，CKCDCMAC14∴==，1∴CK=CD，454∴KD=CD．∴MD=KD△DMK為等腰三角形，∴∠DMK=∠DKM．△EDG∠1=∠2；∵M(jìn)N∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM=∠3(對頂角)∴∠DMK=∠1，∴DM∥GN，∴四邊形DMNG為平行四邊形，∴MN=DG=2FD．3∵點H為AC中點，AC=4CM，AHMH23∴=．∵M(jìn)N∥AD，AGMNAGFDAHMH4AG2FD23∴∴===，．34故答案為：．3方法二：△DFE≌△GFE，故∠5=∠B+∠1=∠4=∠2+∠3∠1=∠2，所以∠3=∠B△AGH∽△ADB設(shè)AB=5aAC=4aAH=2a，所以AG/AD=AH/AB=2/5AD=AG+GDGD/AD=3/5，所以AGGD=23F是GD的中點，所以AGFD=43．5(2022秋?普陀區(qū)校級月考)AAAA在射線OABBB在射線OBA11234123B∥AB∥ABAB∥AB∥AB．若△ABB△ABB的面積分別為1412233213243212323積之和為10.5．△ABB△ABB的面積分別為14ABAB=122123232233△ABA與△BAB22323312△ABB的面積為4△ABA△ABA和△ABA的面積．即可求323223334112出陰影部分的面積．：△ABB△ABB的面積分別為14，212323又∵AB∥ABAB∥AB，22332132∴∠OBA=∠OBA∠ABB=∠ABB，2233212323∴△BBA∽△BBA，122233BBBB3AA1212ABAB3∴∴∵2==2，3=．AA4S12ABA=△ABB的面積是4，323SBAB1212∴△ABA的面積為=×S=ABB×4=2(等高的三角形的面積的比等于底邊的比)．2234同理可得：△ABA的面積=2×SBB=2×4=8；3341212△ABA的面積=SBB2=×1=0.5．112∴三個陰影面積之和=0.5+2+8=10.5．故答案為：10.5．積．6(2017秋?徐匯區(qū)校級月考)設(shè)△ABC的面積為1BCAC分別2等分，BEAD相交11于點O△AOB的面積記為SBCAC分別3等分，BEAD相交于點O△AOB的面積記1111為S?S可表示為??．(用含nn為正整數(shù))2nn+11ABD1E1BMME1n+1nDEADBE交于點MS△ABE1===得出S△1111n+11S=(n+1)(2n+1)S=(n+1)(2n+1)S．：n+1DEADBE交于點M，1111∵AE1AC=1(n+1)，∴S1SABC=1(n+1)，1∴S1=，n+1ABD1E1BMBMn+1n∵∴==，ME1n+12n+1=，BE1∴SS=(n+1)(2n+1)，1∴S∴S=：=(n+1)(2n+1)，n+11．2n+11故答案為：．2n+17(2018秋?南崗區(qū)校級月考)已知菱形ABCD的邊長是6E在直線AD上，DE=3BE與對MCAM23角線AC相交于點M的值是?2或?．EMCAMBCAE(1)點E在線段AD上時，△AEM∽△CBM∴==2；5MCAMBCAE23(2)點E在線段AD的延長線上時，△AME∽△CMB∴==．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想；其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是8(2020秋?虹口區(qū)校級月考)△ABC中，∠ACBBA及其延長線于ABADABAE點DEBC=2.5AC+=5．ABDABCACDEAEBCACCD平分∠ACB得=CE平分∠ACB=結(jié)果．：∵CD平分∠ACB，ABDABD+DADAABDABCAC∴∴∴=，BC+AC=，ACBC+AC=AC∵CE平分∠ACB的外角，DEAEBE-AEAEABAEBCAC∴∴∴=，BC-AC=，ACBC-AC=AC①+②得，ABADABAEBC+ACBC-AC2BCAC+=+==2×2.5=5．ACAC故答案為：5．【點評】主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的性質(zhì)來9(2022秋?黃浦區(qū)校級月考)△ABC中，AB=ACP在BA的延長線上，PA=14CDBC34ABD在BC邊上，PD=PC的值是??．6P作PE∥AC交DC延長線于點EPB=PAABCEBCPE△PCE≌△PDBBD=CE=系以及比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論．P作PE∥AC交DC延長線于點E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AC∥PE，∴∠ACB=∠E，∴∠B=∠E，∴PB=PE，∵PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∴∠BPD=∠EPC，PC=PD∴在△PCE和△PDB中，∠BPD=∠EPC，∴△PCE≌△PDB(SAS)，∴BD=CE，PB=PE∵AC∥PE，PAABCEBC∴=，1∵PA=AB，4CEBCBDBCCDBC1∴∴∴===，，41434．34故答案為：．二．解答題(共21小題)10(2017秋?虹口區(qū)校級月考)在△ABC中，∠CAB=90°AD⊥BC于點DE為AB的中點，EC與AD交于點GF在BC上．(1)如圖1ACAB=12EF⊥CB：EF=CD．(2)如圖2ACAB=1：EF⊥CEEFEG的值．7(1)根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠BACAB=12及點E為ABAC=BEAAS證明△ACD≌△BEFEF=CD；(2)作EH⊥AD于HEQ⊥BC于QEQDH∠QEH=90°∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGHEFEG=EQEH1232△BEQEQ=BE△AEHEH=AE，又BE=AEEFEG的值．(1)1，在△ABC中，∵∠CAB=90°AD⊥BC于點D，∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB．∵ACAB=12，∴AB=2AC，∵點E為AB的中點，∴AB=2BE，∴AC=BE．∠CAD=∠B在△ACD與△BEF中，∠ADC=∠BFE=90°，AC=BE∴△ACD≌△BEF，∴CD=EFEF=CD；(2)2EH⊥AD于HEQ⊥BC于Q，∵EH⊥ADEQ⊥BCAD⊥BC，∴四邊形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EFEG=EQEH．∵ACAB=1：3∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，EQBE12∴sinB==，12∴EQ=BE．8在△AEH中，∵∠AHE=90°∠AEH=∠B=30°，EHAE32∴cos∠AEH==，32∴EH=AE．∵點E為AB的中點，∴BE=AE，123233∴EFEG=EQEH=BE：AE=1：3=33=．EQDH是矩形．11(2021秋?楊浦區(qū)校級月考)ABCDE是AB的中點，AF⊥BC于點FEFEDDFDE交AF于點GDE⊥EF．(1)求證：AE=EG?ED；(2)求證：BC=2DF?BF．(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=FEAD∥BC∠DAG=∠AFB=90°△AEG∽△DEA(2)由AE=EFAE2=EG?ED到FE2=EG?ED△FEG∽△DEF∠EFG=∠EDF(1)∵AF⊥BC于點F，∴∠AFB=90°，∵點E是AB的中點，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，9∴△AEG∽△DEA，AEDEEGAE∴=，∴AE=EG?ED；(2)∵AE=EFAE=EG?ED，∴FE=EG?ED，EFDEEGEF∴=，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，ABDFBFEF∴=，∵四邊形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵點E是AB的中點，1212∴FE=AB=BC，BCDFBF∴=，1BC2∴BC=2DF?BF．關(guān)鍵．12(2021秋?楊浦區(qū)校級月考)ABCD中，AEED=12F為DC的中BEAFBE與AF交于點H．(1)求EHBH的值；(2)若△AEH的面積為1ABCD的面積．(1)延長AFBC交于點G△ADF≌△GCF(AAS)AD=CG=BCBG=2BC，根據(jù)AEED=12AEAD=13AEBG=16明△AEH∽△GBH(2)在△AEHAE=xAE邊上的高為h△BGH中，BG邊上的高為h′ABCD的高為h+h′BC=3x△AEH的面積為1x?h=2h′=6hABCD的面積．：(1)AFBC交于點G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，10∴AD∥BCAD=BC，∴∠D=∠DCG∠DAF=∠G，∵點F為DC的中點，∴DF=CF，∠D=∠FCG在△ADF和△GCF中，∠DAF=∠G，DF=CF∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD=CG，∴AD=CG=BC，∴BG=2BC，∵AEED=12，∴AEAD=13，∴AEBG=16，∵AD∥BC，∴△AEH∽△GBH，∴EHBH=AEBG=16；(2)在△AEHAE=xAE邊上的高為h△BGH中，BG邊上的高為h′，∴平行四邊形ABCD的高為h+h′BC=3x，∵△AEH的面積為1，12∴x?h=1，∴x?h=2∵△AEH∽△GBH，∴hh′=16，∴h′=6h，∴h+h′=7h，∴平行四邊形ABCD的面積=BC?(h+h′)=3x?7h=21xh=42．輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．13(2021春?徐匯區(qū)校級月考)ABCDE在對角線ACF在BC的延長線上，EF=EBEF與CD相交于點G；(1)求證：EG?GF=CG?GD；(2)聯(lián)結(jié)DFEF⊥CD∠FDC與∠ADC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．【分析】(1)先證明△BCE≌△DCE∠EDC=∠EBC∠DGE∽△FGCEG?GF=CG?GD．(2)利用第(1)題的結(jié)論，可證明△DGE∽△FGC，再利用三角形內(nèi)角外角關(guān)系，即可得到∠ADC與11∠FDC的關(guān)系．：(1)證明：∵點E在菱形ABCD的對角線AC上，∴∠ECB=∠ECD，∵BC=CDCE=CE，∴△BCE≌△DCE，∴∠EDC=∠EBC，∵EB=EF，∴∠EBC=∠EFC；∴∠EDC=∠EFC；∵∠DGE=∠FGC，∴△DGE∽△FGC；EGCGGDFG∴=∴EG?GF=CG?GD；(2)∠ADC=2∠FDC．EGCGGDFG證明：∵=，EGCG∴=，DGFG又∵∠DGF=∠EGC，∴△CGE∽△FGD，∵EF⊥CDDA=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°-∠FDC，∴∠ADC=180°-2∠DAC=180°-2(90°-∠FDC)=2∠FDC．14(2021秋?寶山區(qū)校級月考)DEFG是△ABC的內(nèi)接正方形，AB=BC=6cm∠B=45°DEFG的面積為多少？A作AH⊥BC于HGF于M△ABH是等腰直角三角形，求得AH=BH=2222GFBCAMAHAB=32cm△AGF∽△ABC=GF=(62-6)cmA作AH⊥BC于HGF于M，∵∠B=45°，22∴AH=BH=∵GF∥BC，AB=32cm，12∴△AGF∽△ABC，GFBCGF6AMAH32-GF∴=，即=，32∴GF=(62-6)cm，∴正方形DEFG的面積=GF=(62-6)=(108-722)cm．比值相等求出正方形的邊長是解答本題的關(guān)鍵．15(2021秋?松江區(qū)月考)ABCD中E為邊BCAE并延長AEDF交DC的延長線于點MBD于點GG作GF∥BC交DC于點F．求證：FCDMCD=．DFFCGF∥BCABCDABDMABDGBG=CDAB∥CD∵GF∥BC，=DFFCDGBG∴=，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CDAB∥CD，DMABDFFCDGBGDMCD∴∴=，．=【點評】此題考查了平行分線段成比例定理以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決16(2021秋?松江區(qū)月考)Rt△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于DE是AC的中點，DE的延長線與BC的延長線交于點F．FDFCBDDC(1)求證：=；BCFC54BDDC(2)若=的值．(1)根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=EC∠EDC=∠ECD∠FDC=∠B據(jù)∠F=∠F證△FBD∽△FDC，13即可；(2)根據(jù)已知和三角形面積公式得出=SSS=5494，SS=BD94BDDC2得出=．SDC(1)證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中點，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠FDC=∠B，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDC，F(xiàn)DFCBDDC∴=BCFC554(2)解：∵=，，，SS∴∴=4S=94S∵△FBD∽△FDC，942∴∴S=BD=，SDCBD32=．DC17(2021春?黃浦區(qū)校級月考)ABCD是矩形，E是對角線AC上的一點，EB=ED且∠ABE=∠ADE．(1)ABCD是正方形；(2)延長DE交BC于點FAB的延長線于點G：EF?AG=BC?BE．(1)根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；EFDEECEADCAGECEA(2)由AD∥BC出==DE=BEABCDBC=14EFBEBCAGDC=解決問題；(1)BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形．(2)證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，EFDEECEA∴=，DCAGECEA同理=，∵DE=BEABCD是正方形，∴BC=DC，EFBEBCAG∴=，∴EF?AG=BC?BE．18(2021秋?浦東新區(qū)校級月考)△ABC中，DE∥BCEF∥CD：AD=AF?AB．DE∥BCEF∥CD△ADE∽△ABC△AFE∽△ADC∵DE∥BCEF∥CD，∴△ADE∽△ABC△AFE∽△ADC，∴ADAB=AEACAFAD=AEAC，∴ADAB=AFAD，∴AD=AF?AB．19(2020秋?浦東新區(qū)月考)在△ABC中，D是BCAD=ACDE⊥BCAB相交于點EEC與AD相交于點F．(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3BC=8△FCD的面積．15(1)由DE⊥BCD是BCBE=CEAD=AC得∠B=∠DCF∠FDC=∠ACB△ABC∽△FCD；(2)首先過A作AG⊥CDG△BDE∽△BGAAG△ABC△FCD的面積．(1)證明：∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)A作AG⊥CDG．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BDBG=23，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴EDAG=BDBG=23，∵DE=3，92∴AG=，∵△ABC∽△FCDBC=2CD，CDBC14∴S=()=．S12141292∵S==×BC×AG=×8×=18，92∴SS=．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的20(2021春?靜安區(qū)校級月考)ABCD中E在邊BCF在BA的延長線上，BE=AFCF∥AECF與邊AD相交于點G．求證：(1)FD=CG；(2)CG=FG?FC．16(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠FAD=∠BFD=EA(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠DCF=∠BFC∠BAE=∠BFC質(zhì)得到∠BAE=∠FDA∠DCF=∠FDA(1)∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠FAD=∠B，AF=BE在△ADF與△BAE中，∠FAD=∠B，AD=BA∴△ADF≌△BAE，∴FD=EA，∵CF∥AEAG∥CE，∴EA=CG，∴FD=CG；(2)∵在菱形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCF=∠BFC，∵CF∥AE，∴∠BAE=∠BFC，∴∠DCF=∠BAE，∵△ADF≌△BAE，∴∠BAE=∠FDA，∴∠DCF=∠FDA，又∵∠DFG=∠CFD，∴△FDG∽△FCD，F(xiàn)DFCFGFD∴=FD=FG?FC，∵FD=CG，∴CG=FG?FC．形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21(2021秋?浦東新區(qū)校級月考)ABCD中，AD∥BCBC=2ADE為邊DC的中點，BE交AC于點F．求：(1)AFFC的值；(2)EFBF的值．17DHBCDECE(1)延長BE交直線AD于HAD∥BC得到△DEH∽△CEB=得DH=BCBC=2ADAH=3AD△AHF∽△CFBAFFC的值；1(2)由△DEH∽△CEB得到EHBE=DECE=11BE=EH=BH△AHF∽△CFB得到252FHBF=AFFC=32BF=2aFH=3aBH=BF+FH=5aEH=a12出EF=FH-EH=aEFBF的值．：(1)延長BE交直線AD于H∵AD∥BC，∴△DEH∽△CEB，DHBCDECE∴=，∵點E為邊DC的中點，∴DE=CE，∴DH=BC，而BC=2AD，∴AH=3AD，∵AH∥BC，∴△AHF∽△CFB，∴AFFC=AHBC=32；(2)∵△DEH∽△CEB，∴EHBE=DECE=11，1∴BE=EH=BH，2∵△AHF∽△CFB，∴FHBF=AFFC=32；設(shè)BF=2aFH=3aBH=BF+FH=5a，5∴EH=a，25212∴EF=FH-EH=3a-a=a，12∴EFBF=a2a=14．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共22(2021秋?浦東新區(qū)校級月考)△ABC中，BD是∠ABCD作DE∥18ADCBAB于點E，DC13=DE=6．(1)求AB的長；S(2)求．S(1)由∠ABD=∠CBDDE∥BC可推得∠EDB=∠CBD∠ABD=∠EDBAEEBADDC13BE=DE=6DE∥BC可得==AE=2(2)△ADE看成以DEh△BCD看成以BCh12h1=AD13DEBC14角形的性質(zhì)可得=，=hDE2：(1)BD平∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE=6，∵DE∥BC，AEEBAE6ADDC113∴∴===，，3∴AE=2，∴AB=AE+BE=8；(2)△ADE看成以DEh△BCD看成以BCh，12∵DE∥CB，∴△AED∽△ABC，13DEBC14∴h1=AD=，=，hDE21212DE?h1SS112∴==．BC?h223(2022春?長寧區(qū)校級月考)ABCD中，ACDB交于點EF在BC的EFDF∠DEF=∠ADC．EF(1)求證：BFABDB=；19(2)如果BD=2AD?DFABCD是矩形．(1)由已知條件和平行四邊形的性質(zhì)易證△ADB∽△EBFEF相等即可證明：BFABDB=；(2)由(1)可得BD2=2AD?BFBD2=2AD?DFBF=DF得∠DEF=90°∠ADC=∠DEF=90°ABCD是矩形．：(1)證明：∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BCAB∥DC∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BEF+∠DEF=180°，∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF，∵∠DEF=∠ADC，∴∠BAD=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠EBF=∠ADB，∴△ADB∽△EBF，EFBFABDB∴=；(2)∵△ADB∽△EBF，ADBDBEBF∴=，12在平行四邊形ABCD中，BE=ED=BD，12∴AD?BF=BD?BE=BD2，∴BD=2AD?BF，又∵BD=2AD?DF∴BF=DF，，∴△DBF是等腰三角形，∵BE=DE，∴FE⊥BD，即∠DEF=90°，∴∠ADC=∠DEF=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及矩形的判斷，其中(2)小題證明△DBF是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．2024(2021秋?寶山區(qū)校級月考)ABCD中，AD∥BCBC=6P是射線AD上的13點，BP交AC于點E∠CBP的角平分線交AC于點FCF=AC時．求AP+BP的值．BF交射線AP于M據(jù)AD∥BC∠M=∠CBM角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM∠M=∠PBMBP=PM13AP+BP=AMAC=CF求出AE=2CF△MAF和△BCF應(yīng)邊成比例列式求解即可．BF交射線AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分線，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，13∵CF=ACAF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，AMBCAFCF∴==2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．BF構(gòu)造出相似三角AP+BP=AM25(2020秋?虹口區(qū)校級月考)△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA=BCDA=DE．如果點D在BC∠EDC=∠BAD．點O為AC與DE的交點．(1)求證：△ABC∽△ADE；(2)求證：DA?OC=OD?CE．BABCDADE(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角的和差得到∠B=∠ADE==1(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAE∠BAD=∠CAE=∠CDE△COD∽OCOEODOA△EOA=∠AOD=∠COE出△AOD∽△COE21角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．(1)∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∴∠B=∠ADE，BABCDADE∵==1，∴△ABC∽△ADE；(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE=∠CDE，∵∠COD=∠EOA，∴△COD∽△EOA，OCOEODOA∴=，∵∠AOD=∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DACE=ODOC，即DA?OC=OD?CE．題的關(guān)鍵．26(2021秋?金山區(qū)校級月考)ABCD中，AD∥BCE在邊AD上，CE與BD相交于點FAD=4AB=5BC=BD=6DE=3．(1)求證：△DFE∽△DAB；(2)求線段CF的長．DF(1)AD∥BCDE=3BC=6，F(xiàn)BDEBC3612DFDADEDB===，=．又∠EDF=∠BDA明△DFE∽△DAB．(2)由△DFE∽△DABDFFBDEBC3612(1)∵AD∥BCDE=3BC=6∴===，DFBD12∴=∵BD=6∴DF=2．DFDA2412DEDB3612DFDADE∵DA=4∴==，==．∴=．DB又∵∠EDF=∠BDA∴△DFE∽△DAB．EFABDEDB5(2)∵△DFE∽△DAB∴=．EF36∵AB=5∴=∴EF==2.5．52CFEFBCDE∵DE∥BC∴=．22CF2.563∴=∴CF=5．(或利用△CFB≌△BAD)．【點評】此題考查學(xué)生對梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，第(2)問也可利用△CFB≌△BAD求得線段CF學(xué)習(xí)興趣．27(2020秋?寶山區(qū)月考)DEFG的邊EF在△ABC的邊BCDG分別在邊ABAC△ABC的邊BC=15AH=10DEFG的邊長和面積．AH交DG于MDEFG的邊長為xDE=MH=xAM=10-x證x1510-x10明△ADG∽△ABC=xx2的值即可．AH交DG于M設(shè)正方形DEFG的邊長為xDE=MH=x，∴AM=AH-MH=10-x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，DGBCAMAHx1510-x10∴==，∴x=6，∴x=36．DEFG的邊長和面積分別為636．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共28(2021秋?閔行區(qū)校級月考)Rt△ABC中，∠ACB=90°CD⊥ABM是CD上的點，DH⊥BM于HDH的延長線交AC的延長線于E．求證：(1)△AED∽△CBM；(2)AE?CM=AC?CD．23【分析】(1)由于△ABC∠A+∠ABC=90°CD⊥AB∠MCB+∠ABC=90°∠A=∠MCB∠1=∠2∠ADE=90°+∠1∠CMB=90°+∠2，易證∠ADE=∠CMB△AED∽△CBM；(2)由(1)知△AED∽△CBM么AEAD=CBCM是AE?CM=AD?CB△ABC是直角三角形，CD是AB△ACD∽△CBD得AC?CD=AD?CBAE?CM=AC?CD．(1)∵△ABC是直角三角形，∴∠A+∠ABC=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，即∠MCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠MCB，∵CD⊥AB，∴∠2+∠DMB=90°，∵DH⊥BM，∴∠1+∠DMB=90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE=90°+∠1∠CMB=90°+∠2，∴∠ADE=∠CMB，∴△AED∽△CBM；(2)∵△AED∽△CBM，AEBCADCM∴=，∴AE?CM=AD?CB，∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，∴△ACD∽△CBD，∴ACAD=CBCD，∴AC?CD=AD?CB，∴AE?CM=AC?CD．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的高所分成的兩個三角形與這個直角三角形相似．解題的關(guān)鍵是證明∠A=∠MCB以及∠ADE=∠CMB．29(2022秋?徐匯區(qū)校級月考)A(60)B(08)C(-40)MN分24別為線段AC和射線ABM以2個單位長度/秒的速度自C向AN以5個單位長度/秒的速度自A向B方向做勻速運動，MN交OB于點P．(1)求證：MNNP為定值；(2)若△BNP與△MNACM的長；(3)若△BNPCM的長．(1)過點N作NH⊥x軸于點HMNNP為定值53．(2)當(dāng)△BNP與△MNAM在CO∠MNB=∠MNA=90°△BNP∽AMAN30ABAO△MNA∽△BOA=，10-2k5k1066031所以=k=CM=點M在OA∠NBP=∠NMA∠PBA=3160∠PMOCM=．31(3)BP=BNPB=PNNB=NP三種情況進(jìn)行討論．(1)過點N作NH⊥x軸于點H，設(shè)AN=5k：AH=3kCM=2k，①當(dāng)點M在CON在線段AB上時：∴OH=6-3kOM=4-2k，∴MH=10-5k，∵PO∥NH，MNNPMHOH10-5k6-3k53∴===，②當(dāng)點M在OAN在線段AB的延長線上時：∴OH=3k-6OM=2k-4∴MH=5k-10，∵PO∥NH，MNNPMHOH5k-103k-653∴===；解：(2)當(dāng)△BNP與△MNA相似時：①當(dāng)點M在CO∠MNB=∠MNA=90°，AMANABAO∴△BNP∽△MNA∽△BOA∴=，2510-2k5k10630316031∴=k=CM=，②當(dāng)點M在OA∠NBP=∠NMA，∴∠PBA=∠PMO，∠PBA=∠BNP+∠BPN∵∠PMO=∠BNP+∠BAO∠BAO>∠PBA>∠BPN∴∠PBA≠∠PMO∴不成立；PONH2525258585(3)∵=PO=