模型11 全等三角形- K型模型-解析版

全等三角形模型（十一）——K型模型◎結(jié)論1：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.則△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.【證明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，∴∠C=∠BAD=∠E=90°，∴∠1+∠3=∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3在△ABC和△DAE中，∠C=∠E=90°∠2=∠3AB=DA,∴△ABC≌△DAE（AAS），∴AC=DE，BC=AE，∴CE=CA+AE=BC+DE.eq\o\ac(○,eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)長手+短手◎結(jié)論2：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.則△ABC≌△DAE，CE=DE-BC.【證明】證明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AECE=AC-AE=DE-BC.eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)長手-短手1．（2021·福建·福州教院二附中八年級(jí)期末）一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【答案】C【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長為7塊磚的厚度的和．【分析】解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．2．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·江西上饒·八年級(jí)期中）課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【分析】設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．1．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等．2．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為_____．【答案】13【分析】先根據(jù)AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【詳解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CE=AD=5，CD=BE=8，∴DE=CD+CE=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．3．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點(diǎn)C離地面的距離是____cm．【答案】28【分析】作CD⊥OB于點(diǎn)D，依據(jù)AAS證明,GMF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，如圖，∴∵是等腰直角三角形∴AB=CB，∴又∴在和中，∴∴故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．1．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，ABAC，AF是過點(diǎn)A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比延伸：如圖②，，BA=BC，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使與△ABC全等．直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）CE，DE=BD+CE；（2）（?3，5）；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)分別為(5，2)，(3，1)，(1，2)．【分析】（1）由BD⊥AE，∠BAC90°，推進(jìn)而得到即可求解；（2）作軸于點(diǎn)E，得出（AAS）即可求解；（3）分兩種情況，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，討論并構(gòu)造全等三角形即可求解．【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，，CE⊥AE∴，，∴．在和中，，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+CE．故答案為：CE，DE=BD+CE；（2）作軸于點(diǎn)E，∵軸，OA⊥OB，，∴，，，∴∠ABO=∠BCE．又∵，∴（AAS），∴，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，∴，∴，∴(-3，5)；（3）分類討論：①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，，∴，．∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，∴，，設(shè)P(x，y)，∴，，∴，解得：，，∴(?5，2)，(1，?2)，如圖；②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，，∴AP=AC，BP=AB，∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，∴，，設(shè)P(x，y)，∴，，∴，解得：，，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合，∴(?3，5)舍去，∴(3，1)，如圖．綜上，存在這樣的P點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(5，2)，(3，1)，(1，2)．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS證得△AEC≌△CDB，即可；（2）分別過點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）可證得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，從而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，從而得到EI=IG，即可求證；（3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②過點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長線于點(diǎn)Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，從而得到DP=EQ，然后根據(jù)兩平行線間的距離，可得AP=BC，進(jìn)而得到PD=1，即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）證明：分別過點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中點(diǎn)；（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CD-CE，∴ED=EA－BD；故答案為：ED=EA－BD②如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交A