模型19 軸對稱-海盜埋寶模型-解析版

軸對稱模型（十九）——海盜埋寶模型【結(jié)論】如圖，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B為直角頂點，F(xiàn)為DE的中點，連接FA，F(xiàn)B，則△FAB是等腰直角三角形.【特征】⑴兩等腰直角三角形⑵一組底角共頂點⑶另一組底角頂點相連取中點【證明】（方法一：倍長中線法）如圖，延長AF至點P使得FP=AF，連接PE，PB，延長PE交AC于點Q.在△DAF和△EPF中，DF=EF,∠DFA=∠EFP,AF=PF,∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF.∴DA∥EP.∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.在四邊形EQCB中，∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，∴∠QCB＝∠PEB.在△ACB和△PEB中，AC=PE,∠ACB＝∠PEB,BC=BE,∴△ACB≌△PEB(SAS).∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP的中點，∴BF⊥AP,BF=AF.∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點.（方法二∶構(gòu)造手拉手模型）將△DAC沿AC對稱，得△PAC，將△EBC沿BC對稱，得△QBC，連接EP，DQ.易證△PCE≌△DCQ（手拉手模型），∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的結(jié)論）.∵AF是△DPE的中位線，BF是△DQE的中位線，∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ，∴AF=BF，AF⊥BF，∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點.1．（山東省萊城區(qū)（五四學(xué)制）2017-2018學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，兩個等腰和，點在上，，連接，取的中點，連接.求證：.【答案】見解析【分析】延長交于點.利用三角形的中位線定理解答.【詳解】如圖所示，延長交于點.∵為等腰直角三角形∴∵∴∴為等腰直角三角形∴∵為等腰直角三角形∴∴∴點為線段的中點∵M為AF的中點∴為的中位線∴【點睛】本題考查的是三角形的中位線定理，能分析題意并正確的作出輔助線是關(guān)鍵.1．（湖北省武漢市東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角項點繞矩形ABCD（AB＜BO）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（圖①?圖②），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．（1）如圖①，當(dāng)三角板一直角邊與OD重合時，該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)：BN2＝CD2+CN2，請你說明理由；（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（3）如圖③，若AD＝8，AB＝6，E為矩形外的一點，且AE⊥CE，F(xiàn)為AE的中點，O為AC的中點，取AO的中點G，連接BG，當(dāng)F在線段BG上時，則BF的值為．【答案】（1）見解析；（2）CM2+CN2=DM2+BN2，理由見解析；（3）【分析】（1）如圖1，連接DN，由矩形性質(zhì)，中垂線性質(zhì)，勾股定理和等量代換即可證得結(jié)論；（2）如圖2，延長MO交AB于E，方法類似（1），求證△BEO≌△DMO（AAS），進而得NE=NM，即NE2=NM2，等量替換得出結(jié)論BN2＋DM2＝CM2＋CN2；（3）如圖3，過點B做BH⊥AC于點H，連接FO，先由矩形性質(zhì)和勾股定理得出AC＝10，再由FO是△AEC的中位線得FO∥EC進而得∠AFO＝∠AEC＝90°，用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半求得FG=AO=2.5，根據(jù)勾股定理進一步求解即可．【詳解】解：（1）連結(jié)DN，

∵矩形ABCD的對角線交于點O，

∴BO=DO，∠DCN=90°，∵三角板一直角邊與OD重合，∴ON⊥BD，即ON垂直平分BD，∴NB=ND，∵∠DCN=90°∴ND2=NC2+CD2∴BN2=NC2+CD2；（2）CM2+CN2=DM2+BN2，理由如下：延長MO交AB于E，∵矩形ABCD的對角線交于點O，∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，∴△BEO≌△DMO，∴OE=OM，BE=DM，∵MO⊥ON，∴NE=NM，∵∠ABC=∠DCB=90°，∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，∴CN2+CM2=BE2+BN2，即CN2+CM2=DM2+BN2；（3）當(dāng)F在線段BG上時，則BF的值為，過點B做BH⊥AC于點H，連接FO．∵AD＝8，AB＝6，，∴根據(jù)等面積可得：，，∵O是AC中點，G是AO中點，AC=10，∴AG=，，，又∵F、O為AE、AC中點，∴FO∥EC，∴∠AFO=∠E=90°，∵G為AO中點，AC=10，∴FG=AO=2.5，∴在中，．【點睛】這是一道四邊形綜合題，主要運用了矩形判定與性質(zhì)，線段中垂線判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確添加輔助線，巧妙構(gòu)造特殊三角形（如：直角三角形和矩形）和靈活運用所學(xué)知識解決綜合題．1．（專題32圖形的變化（翻折與旋轉(zhuǎn)變換）-解答題專項訓(xùn)練-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題（全國通用））如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，點D在邊AC上（不與點A，C重合），連接BD，點K為線段BD的中點，過點D作DE⊥AB于點E，連接CK，EK，CE．(1)如圖1，若α＝45°，則△ECK的形狀為．(2)在（1）的條件下，若將圖1中△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°），使得D，E，B三點共線，點K為線段BD的中點，如圖2所示．求證：BE﹣AE＝2CK．(3)若BC＝8，AC＝15，點D在邊AC上（不與點A，C重合），AD＝2CD，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點K始終為BD的中點，則線段CK長度的最大值是多少？請直接寫出結(jié)果．【答案】(1)等腰直角三角形；(2)見解析；(3)【分析】（1）首先利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得EK＝KB＝DK，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得∠CKE＝2∠ABC＝90°，從而得出答案；（2）在BD上截取BG＝DE，連接CG，設(shè)AC交BD于Q，利用SAS證明△AEC≌△BGC，得CE＝CG，∠5＝∠BCG，從而解決問題；（3）取AB的中點O，連接OC，OK，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出CO的長，再利用三角形中位線定理得OK的長，最后利用三角形三邊關(guān)系可得答案．(1)解：△ECK是等腰直角三角形，理由如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴CA＝CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵DK＝KB，∴EK＝KB＝DK，∴∠KEB＝∠KBE，∴∠EKD＝∠KBE+∠KEB＝2∠KBE，∵∠DCB＝90°，DK＝KB，∴CK＝KB＝KD，∴∠KCB＝∠KBC，EK＝KC，∴∠DKC＝∠KBC+∠KCB＝2∠KBC，∴∠EKC＝∠EKD+∠DKC＝2（∠KBE+∠KBC）＝2∠ABC＝90°，∴△ECK是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；(2)證明：如圖，在BD上截取BG＝DE，連接CG，設(shè)AC交BD于Q，∵∠α＝45°，DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝BG，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵AC＝BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE＝CG，∠5＝∠BCG，∴∠ECG＝∠ACB＝90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD＝KB，DE＝BG，∴KE＝KG，∴CK＝EK＝KG，∴BE﹣AE＝2CK；(3)解：∵AD＝2CD，AC＝15，∴AD＝10，取AB的中點O，連接OC，OK，∵點K始終為BD的中點，∴OK是△ABD的中位線，∴OKAD＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB17，∴OC，∵CK≤KO+OC，∴CK的最大值為5．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2019年遼寧省葫蘆島市綏中縣九年級一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點D在邊AC上（不與點A、C重合）連接BD，點K為線段BD的中點，過點D作于點E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)(1)如圖1．若a=45，則的形狀為__________________；(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點共線，點K為線段BD的中點，如圖2所示，求證：；(3)若三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，使得D，E，B三點共線，點K仍為線段BD的中點，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）見解析；（3）BE-AE=2CK；【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明EK=KC，∠EKC=90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS可證△AEC≌△BGC，由全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)易證△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CK=EK=KG，等量代換可得結(jié)論.（3）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q，根據(jù)等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易證△CAE∽△CBG，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.【詳解】（1）等腰直角三角形；理由：如圖1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）證明：如圖2中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE－AE=BE－BG=EG=EK＋KG=2CK．（3）解：結(jié)論：BE-AE?tanα=2CK．理由：如圖3中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q．∵DE⊥AE，∠ACB=90°，∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°∵∠EQA=∠CQB，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ACB中，tanα=，在Rt△ADE中，tanα=，∴，DE=AE·tanα∴△CAE∽△CBG，∴∠ACE=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴EG=2CK，∵BE－BG=EG=2CK，∴BE－DE=2CK，∴BE－AE?tanα=2CK．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等，靈活的利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．（【萬唯原創(chuàng)】2017年安徽省中考數(shù)學(xué)-逆襲卷-特訓(xùn)18）如圖，在和中，，，，連接，點是的中點，連接、．（1）如圖①，當(dāng)點在上時，求證：；（2）如圖②，若，，，求的長；（3）如圖③，若，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【詳解】（1）證明：如解