模型19 軸對稱-海盜埋寶模型-原卷版

軸對稱模型（十九）——海盜埋寶模型【結(jié)論】如圖，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B為直角頂點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，則△FAB是等腰直角三角形.【特征】⑴兩等腰直角三角形⑵一組底角共頂點(diǎn)⑶另一組底角頂點(diǎn)相連取中點(diǎn)【證明】（方法一：倍長中線法）如圖，延長AF至點(diǎn)P使得FP=AF，連接PE，PB，延長PE交AC于點(diǎn)Q.在△DAF和△EPF中，DF=EF,∠DFA=∠EFP,AF=PF,∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF.∴DA∥EP.∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.在四邊形EQCB中，∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，∴∠QCB＝∠PEB.在△ACB和△PEB中，AC=PE,∠ACB＝∠PEB,BC=BE,∴△ACB≌△PEB(SAS).∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP的中點(diǎn)，∴BF⊥AP,BF=AF.∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點(diǎn).（方法二∶構(gòu)造手拉手模型）將△DAC沿AC對稱，得△PAC，將△EBC沿BC對稱，得△QBC，連接EP，DQ.易證△PCE≌△DCQ（手拉手模型），∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的結(jié)論）.∵AF是△DPE的中位線，BF是△DQE的中位線，∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ，∴AF=BF，AF⊥BF，∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點(diǎn).1．（山東省萊城區(qū)（五四學(xué)制）2017-2018學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，兩個(gè)等腰和，點(diǎn)在上，，連接，取的中點(diǎn)，連接.求證：.1．（湖北省武漢市東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時(shí)，將一塊直角三角板的直角項(xiàng)點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BO）的對角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（圖①?圖②），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．（1）如圖①，當(dāng)三角板一直角邊與OD重合時(shí)，該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)：BN2＝CD2+CN2，請你說明理由；（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（3）如圖③，若AD＝8，AB＝6，E為矩形外的一點(diǎn)，且AE⊥CE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，取AO的中點(diǎn)G，連接BG，當(dāng)F在線段BG上時(shí)，則BF的值為．1．（專題32圖形的變化（翻折與旋轉(zhuǎn)變換）-解答題專項(xiàng)訓(xùn)練-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題（全國通用））如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CK，EK，CE．(1)如圖1，若α＝45°，則△ECK的形狀為．(2)在（1）的條件下，若將圖1中△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°），使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示．求證：BE﹣AE＝2CK．(3)若BC＝8，AC＝15，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），AD＝2CD，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)K始終為BD的中點(diǎn)，則線段CK長度的最大值是多少？請直接寫出結(jié)果．2．（2019年遼寧省葫蘆島市綏中縣九年級一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)(1)如圖1．若a=45，則的形狀為__________________；(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：；(3)若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn)，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）

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