第六章參數(shù)估計(jì)

第六章參數(shù)估計(jì)第六章參數(shù)估計(jì)PAGE/PAGE67第六章參數(shù)估計(jì)第六章參數(shù)估計(jì)Ⅰ.學(xué)習(xí)目的本章介紹有關(guān)抽樣分布的基礎(chǔ)知識(shí)，闡述參數(shù)估計(jì)的理論與方法。通過(guò)學(xué)習(xí)，要求：1.理解抽樣的基本概念和不同抽樣方式對(duì)抽樣分布的影響；2。理解總體參數(shù)估計(jì)量的優(yōu)良評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)及點(diǎn)估計(jì)公式；3.掌握總體均值與成數(shù)指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)方法、樣本容量的確定方法；4.應(yīng)用：學(xué)會(huì)總體參數(shù)的置信區(qū)間的估計(jì)、樣本容量的計(jì)算。Ⅱ.課程內(nèi)容第一節(jié)抽樣分布一、抽樣分布的基本概念（一）樣本容量與樣本個(gè)數(shù)樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個(gè)集合的大小稱(chēng)為樣本容量，一般用表示，它表示一個(gè)樣本中所包含的單位數(shù)。樣本個(gè)數(shù)又稱(chēng)為樣本可能數(shù)目，它是指從一個(gè)總體中可能抽取多少個(gè)樣本。樣本個(gè)數(shù)的多少與抽樣方法有關(guān)。（二）總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)象。常見(jiàn)的總體參數(shù)有，總體的平均數(shù)指標(biāo)，總體成數(shù)（比重）指標(biāo)，總體分布的方差、標(biāo)準(zhǔn)差等等。樣本統(tǒng)計(jì)量是樣本的一個(gè)函數(shù)，因此，它是隨機(jī)變量。我們利用統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)和推斷總體的有關(guān)參數(shù)。常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量有：樣本均值樣本成數(shù)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差（三）回置抽樣與無(wú)回置抽樣回置抽樣是指從總體中抽出一個(gè)樣本單位，記錄其標(biāo)志值后，又將其放回總體中繼續(xù)參加下一輪單位的抽取。無(wú)回置抽樣是指從總體抽出一個(gè)單位，登記后不放回原總體，即不參加下一輪抽樣，下一次繼續(xù)從總體中余下的單位抽取樣本。二、抽樣分布（一）樣本平均數(shù)的抽樣分布樣本平均數(shù)的期望值與方差分別為：抽樣平均誤差(即樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差)：在無(wú)回置抽樣的情形下，,抽樣平均誤差(即樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差)：（二）樣本成數(shù)的抽樣分布總體成數(shù)是指具有某種特征的單位在總體中的比重?，F(xiàn)在從總體中抽出個(gè)單位，如果其中有相應(yīng)特征的單位數(shù)是，則樣本成數(shù)是（三）樣本方差的抽樣分布~第二節(jié)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)就是設(shè)總體隨機(jī)變量的分布函數(shù)形式為已知，但它的一個(gè)和多個(gè)參數(shù)未知，若從體中抽取一組樣本。用該組數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體的參數(shù)，稱(chēng)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等。（一）矩估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩是指以期望為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征。例如數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差等。矩可以分為原點(diǎn)矩和中心矩兩種。階原點(diǎn)矩記為，當(dāng)時(shí)，為數(shù)學(xué)期望。階中心矩記為，當(dāng)時(shí)，為方差。（二）順序統(tǒng)計(jì)量法所謂順序統(tǒng)計(jì)量法，即用樣本中位數(shù)，或樣本極差來(lái)估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望或總體的均方差的方法。在總體為連續(xù)型隨機(jī)變量，且概率密度函數(shù)為對(duì)稱(chēng)時(shí)，常用樣本中位數(shù)來(lái)估計(jì)總體數(shù)學(xué)期望，即；樣本極差本身就是衡量總體離散程度的一個(gè)尺度，由于其計(jì)算很簡(jiǎn)單，所以在需要估計(jì)正態(tài)總體均方差時(shí)，可使用樣本極差來(lái)估計(jì)，和有下列關(guān)系：。二、估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)1、無(wú)偏性。。2、有效性。設(shè)、為的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，若的方差小于的方差，即，則稱(chēng)是較有效的估計(jì)量。3、一致性。設(shè)未知參數(shù)的估計(jì)量，當(dāng)時(shí)，要求按概率收斂于。即（為任意小正數(shù)），則稱(chēng)為的滿(mǎn)足一致性標(biāo)準(zhǔn)要求的估計(jì)量。一致性標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：當(dāng)樣本單位數(shù)（或樣本容量）越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)量接近于被估計(jì)量的概率也越來(lái)越大。第三節(jié)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的參數(shù)估計(jì)所謂區(qū)間估計(jì)，就是估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。設(shè)和分別為總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的下限和上限，則要求有，式中是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平，其取值大小由實(shí)際問(wèn)題確定，通常人們?nèi)?%、5%和10%，稱(chēng)為置信度，是置信度為的的置信區(qū)間。置信區(qū)間表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的準(zhǔn)確性（或精確性），置信度表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的可靠性，它是區(qū)間估計(jì)的可靠概率；而顯著性水平表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的不可靠概率。一、總體均值的置信區(qū)間（一）已知時(shí)總體均值的置信區(qū)間在給定顯著性水平下，總體均值在的置信水平下的置信區(qū)間為：其中，臨界值可以查正態(tài)分布表得到。（二）未知時(shí)總體均值的置信區(qū)間當(dāng)總體服從正態(tài)分布，但總體方差未知時(shí)，要用樣本方差代替來(lái)建立置信區(qū)間。這時(shí)，新的統(tǒng)計(jì)量不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度為的分布，此時(shí)，總體均值的置信區(qū)間為：統(tǒng)計(jì)量的臨界值，在給定顯著性水平及自由度時(shí)，可查分布表獲得。二、總體成數(shù)的置信區(qū)間在大樣本下，若，，則可以把二項(xiàng)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布問(wèn)題近似地去求解，在的置信水平下，總體成數(shù)的置信區(qū)間為三、兩個(gè)總體均值及兩個(gè)總體成數(shù)之差的置信區(qū)間（一）兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間1、兩個(gè)總體的方差、已知情況下的估計(jì)。在置信水平下的置信區(qū)間為：2、兩個(gè)總體的方差、未知情況下的估計(jì)。（1）兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且＝。當(dāng)、均未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差的置信水平的置信區(qū)間為：其中，（2）兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且。當(dāng)、未知且不相等時(shí)，的置信度為的近似區(qū)間估計(jì)為（二）兩個(gè)總體成數(shù)之差的置信區(qū)間可以證明，當(dāng)和都很大，而且總體成數(shù)不太接近0或1時(shí)，的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，而的置信度為的置信區(qū)間為：四、樣本容量的確定（一）估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定在已知可靠性系數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)給出了允許誤差后，必要樣本容量可由下式給出：（二）估計(jì)總體成數(shù)時(shí)，樣本容量的確定估計(jì)總體成數(shù)時(shí)，必要樣本容量為：其中，第四節(jié)復(fù)雜隨機(jī)抽樣的參數(shù)估計(jì)分層抽樣的估計(jì)分層抽樣也稱(chēng)為類(lèi)型抽樣，它是按一定標(biāo)志對(duì)總體各單位進(jìn)行分類(lèi)，然后分別從每一類(lèi)中按隨機(jī)原則抽取一定的單位構(gòu)成樣本。設(shè)總體由個(gè)單位組成，按對(duì)總體的認(rèn)識(shí)，把總體分為組，使得然后相應(yīng)從各組中分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽取個(gè)單位組成樣本。設(shè)樣本容量為，它滿(mǎn)足采用比例抽樣方式，我們從每一類(lèi)抽取時(shí)要求兩者間保持合適的比例，即所以各組的樣本單位數(shù)應(yīng)為設(shè)是第組的組內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)差，記?；刂贸闃酉聵颖酒骄鶖?shù)的抽樣平均誤差為：在不回置抽樣下的抽樣平均誤差為：等距抽樣的估計(jì)等距抽樣又稱(chēng)為機(jī)械抽樣或系統(tǒng)抽樣，它是將總體各單位按某標(biāo)志進(jìn)行排序，然后按固定的間隔來(lái)抽取樣本單位的抽樣組織形式。根據(jù)需要抽取的樣本單位數(shù)和總體的單位數(shù)，可以計(jì)算出等距抽樣的間隔大小為：，先從排序后順序是的第一部分中隨機(jī)抽出第個(gè)單位，然后在順序是的第二部分中抽取第個(gè)單位，再?gòu)捻樞蚴堑牡谌糠种谐槿〉趥€(gè)單位，依此類(lèi)推，最后從順序是的第部分中抽取第個(gè)單位，一共個(gè)單位構(gòu)成樣本。為了方便起見(jiàn)，可以采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的平均誤差代替等距抽樣平均誤差：等距抽樣一般都是不回置抽樣?？傮w方差未知時(shí)，常用樣本方差代替。整群抽樣的估計(jì)整群抽樣就是將總體各單位分成若干群，然后從其中隨機(jī)抽取部分群，對(duì)中選的群進(jìn)行全面調(diào)查的抽樣組織方式。設(shè)總體的全部個(gè)單位被劃分為群，每群含有個(gè)單位?，F(xiàn)在從總體群中隨機(jī)抽出群組成樣本，對(duì)中選的群中的所有單位進(jìn)行全面調(diào)查。記群間方差為：或者由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)是因此，樣本平均數(shù)的抽樣平均誤差是：上式中出現(xiàn)修正系數(shù)，這是因?yàn)檎撼闃右话愣疾捎貌换刂贸闃印６嚯A段抽樣的估計(jì)所謂多階段抽樣，就是先從總體中抽出較大的范圍的單位，再?gòu)倪x的大單位中抽較小范圍的單位，依次類(lèi)推，最后從更小的范圍抽出樣本單位。兩階段抽樣在組織技術(shù)上可以看出是整群抽樣和分層抽樣的結(jié)合。設(shè)總體分成組，每組各單位。兩階段抽樣就是：第一階段采用整群抽樣方式從總體的全部群中，隨機(jī)抽取群；第二階段用分層抽樣方式從每個(gè)中選群中抽出個(gè)樣本單位。樣本平均數(shù)的抽樣平均誤差為：其中，為組間方差；為組內(nèi)方差的平均數(shù)。應(yīng)用以上公式，在得不到總體資料的情況下，可以用樣本資料來(lái)代替。不過(guò)用樣本組間方差代替總體組間方差，用樣本組內(nèi)方差代替總體組內(nèi)方差，這樣得到的抽樣平均誤差就不是無(wú)偏估計(jì)量，而必須加以適當(dāng)?shù)男拚拍艹蔀闊o(wú)偏估計(jì)量。修正后的抽樣誤差公式為：式中，為樣本的組間方差；為各樣本組內(nèi)方差的平均數(shù)。Ⅲ.考核知識(shí)點(diǎn)與考核要求一、抽樣的基本概念和抽樣分布 1、識(shí)記:（1）樣本容量的概念；（2）常用樣本統(tǒng)計(jì)量；（3）回置抽樣與不回置抽樣的概念；（4）總體平均數(shù)與成數(shù)的分布。2、領(lǐng)會(huì)：（1）樣本個(gè)數(shù)的概念；（2）不回置抽樣的修正系數(shù)；（3）樣本方差的抽樣分布。3、應(yīng)用：抽樣平均誤差的計(jì)算。二、估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1、識(shí)記：（1）點(diǎn)估計(jì)的定義、常用點(diǎn)估計(jì)量；（2）參數(shù)估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)。2、領(lǐng)會(huì)：順序統(tǒng)計(jì)量法。3、應(yīng)用：距估計(jì)法的計(jì)算。三、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的參數(shù)估計(jì)1、識(shí)記：區(qū)間估計(jì)的含義；2、領(lǐng)會(huì)：置信度、置信區(qū)間與顯著性水平的含義。3、應(yīng)用：（1）總體方差已知時(shí)的總體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)公式及應(yīng)用；（2）總體方差未知時(shí)的總體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)公式及應(yīng)用；（3）總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)公式及其應(yīng)用；（4）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)公式及應(yīng)用；（5）兩個(gè)總體成數(shù)之差的區(qū)間估計(jì)公式及應(yīng)用；（6）樣本容量公式及其應(yīng)用；（7）利用Excel進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。四、復(fù)雜隨機(jī)抽樣的參數(shù)估計(jì)1、識(shí)記：分層抽樣、整群抽樣、等距抽樣和多階段抽樣的概念；2、領(lǐng)會(huì)：（1）分層抽樣與整群抽樣的抽樣平均誤差公式；（2）兩階段抽樣誤差控制。Ⅳ.習(xí)題詳解一、選擇題1.B2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.C10.A11.BCDE12.BCDE13.BCD14.ACE15.ABCD16.CE17.ABCD二、證明題1.證：2．．解：即：解這一方程組可得：,分別以樣本矩、作為總體矩和的估計(jì)量，則和的估計(jì)量分別為：，故有：三、計(jì)算題1．解：(1)已知~，，，則總體均值的置信區(qū)間為：＝即為（2.1209，2.1291）。我們可以90％的概率保證該批釘子的平均長(zhǎng)度在2.1209厘米與2.1291厘米之間。（2）已知~，未知，＝0.000293，＝16，在時(shí)，則總體均值的置信區(qū)間為：＝即為（2.1175，2.1325）。故我們可以90％的概率保證該批釘子的平均長(zhǎng)度在2.1175厘米與2.1325厘米之間。2．解：總體的分布形式未知，但＝100>30為大樣本，故可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。總體方差未知，＝40，，，。則總體均值的置信區(qū)間為：＝即為（992，1008）。故我們可以95％的概率保證這批電子管的平均壽命在992小時(shí)與1008小時(shí)之間。3．解：已知＝200，，，，（1）當(dāng)時(shí)，，有＝＝（0.1812，0.2788）故我們可以90％的概率保證該品牌空調(diào)的家庭總體占有率在18.12％與27.88％之間。（2）當(dāng)時(shí)，，有＝＝（0.1717，0.2883）故我們可以95％的概率保證該品牌空調(diào)的家庭總體占有率在17.17％與18.83％之間。4．解：樣本1、2分屬于不同的總體，、未知且不相等。此時(shí)，為了求出的置信區(qū)間，首先計(jì)算出自由度如下：＝13.67914（1）當(dāng)時(shí)，，從而所求的近似的90％區(qū)間估計(jì)為：＝即為（1.6373，17.9627）。（2）當(dāng)時(shí)，，從而所求的近似的95％區(qū)間估計(jì)為：＝即為（-0.1426，19.7426）。5．解：（1）已知＝50，，，當(dāng)時(shí)，，有＝＝（0.507，0.773）故我們可以95％的概率保證該小區(qū)中贊成該項(xiàng)改革的戶(hù)數(shù)比例在50.7％與77.3％之間。(2)若，，允許誤差0.05則應(yīng)抽取的樣本容量為：故為了以95%的可靠度保證估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，應(yīng)取246戶(hù)進(jìn)行調(diào)查。6．解：由于樣本容量＝＝250，屬于大樣本容量，且總體成數(shù)都不太接近0或1，故的抽樣分布可視為近似服從正態(tài)分布。，，，，（1）當(dāng)時(shí)，，則的置信度為的近似置信區(qū)間為＝即為（0.03，0.17）。（2）當(dāng)時(shí)，，則的置信度為的近似置信區(qū)間為＝即為（0.017，0.183）。7．解：已知總體方差為，總體平均數(shù)在置信度水平為時(shí)的置信區(qū)間為：，要求其區(qū)間長(zhǎng)度2L，則有：，即至少要抽取的樣本數(shù)量為。8．解：（1）已知~，