高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題2培優(yōu)點10平面向量“奔馳定理”(學(xué)生版+解析)

培優(yōu)點10平面向量“奔馳定理”【方法總結(jié)】定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．【典例】(1)已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，則S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6(2)已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|P\o(Q,\s\up6(→))|,|A\o(B,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,30)B.eq\f(1,31)C.eq\f(1,32)D.eq\f(1,33)(3)過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，則n的值為________．INCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\專題二\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\專題二\\跟蹤演練.tif"INET【拓展訓(xùn)練】1．點P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶32．點O為△ABC內(nèi)一點，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)3.設(shè)點P在△ABC內(nèi)且為△ABC的外心，∠BAC＝30°，如圖．若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則x＋y的最大值是________．培優(yōu)點10平面向量“奔馳定理”【方法總結(jié)】定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．【典例】(1)已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，則S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6【答案】B【解析】由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|P\o(Q,\s\up6(→))|,|A\o(B,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,30)B.eq\f(1,31)C.eq\f(1,32)D.eq\f(1,33)【答案】A【解析】根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝eq\f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝eq\f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq\f(1,5)S△ABC，∴eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30).(3)過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，則n的值為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】因為O是重心，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))?eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))?eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))?eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OC,\s\up6(→))，因為P，O，Q三點共線，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，所以－eq\f(3,4)(1－n)＝－eq\f(1,2)n，解得n＝eq\f(3,5).【方法總結(jié)】“奔馳定理”與三角形“四心”：已知點O在△ABC內(nèi)部，有以下四個推論：(1)若O為△ABC的重心，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)若O為△ABC的外心，則sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)若O為△ABC的內(nèi)心，則a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.備注：若O為△ABC的內(nèi)心，則sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0也對．(4)若O為△ABC的垂心，則tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.INCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\專題二\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\word\\專題二\\跟蹤演練.tif"INET【拓展訓(xùn)練】1．點P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3【答案】C【解析】根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．點O為△ABC內(nèi)一點，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)【答案】A【解析】根據(jù)奔馳定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.3.設(shè)點P在△ABC內(nèi)且為