高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)同步單元測(cè)試AB卷(新高考)專(zhuān)題4.6等比數(shù)列(B)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

專(zhuān)題4.6等比數(shù)列(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·江蘇·吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東·廣州六中高三階段練習(xí)）己知在等比數(shù)列中，，則等于（

）A． B． C．2 D．3．（2022·北京海淀·高三期中）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，則的公比為（

）A．2 B． C．4 D．4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，若，則（

）A．568 B．566 C．675 D．6965．（2020·河南·高三階段練習(xí)（文））已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若＝，且與的等差中項(xiàng)為，則＝（

）A． B．C． D．6．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，、、構(gòu)成公比不為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和．若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022·貴州·黔西南州義龍藍(lán)天學(xué)校高三階段練習(xí)（理））設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足條件，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．10．（2022·吉林吉林·高三階段練習(xí)）中國(guó)音樂(lè)有悠久的歷史和獨(dú)特的創(chuàng)造.當(dāng)今世界公認(rèn)的音樂(lè)律制，如五度相生律（中國(guó)稱(chēng)三分損益律）、純律和十二平均律，皆為中國(guó)獨(dú)立發(fā)明.其中，“三分損益法”是以“宮”為基本音，宮生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“徵”；“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”……依次損益交替變化，得到“宮、徵、商、羽、角”這五個(gè)音階，據(jù)此可推得（

）A．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列B．“角、商、宮”的頻率成等比數(shù)列C．“宮、徵、商、羽、角”的頻率依次遞增D．“宮、商、角、徵、羽”的頻率依次遞增11．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列C． D．中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列12．（2022·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)律排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，各行的最后一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，第行所有數(shù)的和為．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序成公比為的等比數(shù)列，且，，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（四川省綿陽(yáng)市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則______．14．（2020·山東·青島三十九中高三期中）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．15．（2022·四川·簡(jiǎn)陽(yáng)市陽(yáng)安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為_(kāi)_________．16．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．若對(duì)任意，恒成立，則t的取值范圍是______．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，求的值.18．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．（2022·江西·臨川一中高三期中（文））已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差相等，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（2022·遼寧·丹東市教師進(jìn)修學(xué)院高三期中）已知公比小于的等比數(shù)列滿(mǎn)足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求的最小值．21．（2022·遼寧·丹東市教師進(jìn)修學(xué)院高三期中）等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，數(shù)列中，，，，已知數(shù)列為等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，求的最大值．22．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2023屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知公差大于0的等差數(shù)列滿(mǎn)足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，成等比數(shù)列，求，的值.專(zhuān)題4.6等比數(shù)列(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·江蘇·吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、成等比數(shù)列，所以，，即，解得.故選：C.2．（2022·廣東·廣州六中高三階段練習(xí)）己知在等比數(shù)列中，，則等于（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到和，再根據(jù)可求得的大小，解題時(shí)要注意對(duì)的符號(hào)的處理．【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，∴．∴，又與和同號(hào)，∴．故選：C．3．（2022·北京海淀·高三期中）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，則的公比為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算可得，然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，∴，，所以.故選：B.4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，若，則（

）A．568 B．566 C．675 D．696【答案】C【分析】利用等差中項(xiàng)求出，結(jié)合成等比數(shù)列，求出公差，從而求出通項(xiàng)公式，計(jì)算出結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，解得?又，，成等比數(shù)列，所以，故有，整理得，因?yàn)?，所以，從?即，∵，∴，故.故選：C.5．（2020·河南·高三階段練習(xí)（文））已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若＝，且與的等差中項(xiàng)為，則＝（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為()，由題意知，即，解得，所以.故選：B6．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，、、構(gòu)成公比不為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和．若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則且，根據(jù)已知條件可得出與的關(guān)系式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，根據(jù)題意可得出關(guān)于，解之即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則且，由已知可得，即，可得，所以，，，所以，，，，則，可得，因此，的最小值為.故選：A.7．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】令求出，進(jìn)而令，求出，①正確；假設(shè)為等比數(shù)列，得到，代入驗(yàn)證，故②錯(cuò)誤；邏輯分析及反證可得，③④正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，由數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，解得：，①正確；若為等比數(shù)列，則，解得：，將代入，故不是等比數(shù)列，②錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，故必單調(diào)遞增，而，所以單調(diào)遞減，③正確；假設(shè)的所有項(xiàng)大于等于，取，則，，則與已知矛盾，故④正確.故選：C8．（2022·貴州·黔西南州義龍藍(lán)天學(xué)校高三階段練習(xí)（理））設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足條件，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項(xiàng)的遞減數(shù)列．再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，當(dāng)時(shí)，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因?yàn)椋?，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯(cuò)誤．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．【答案】AC【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得，由此判斷ABD選項(xiàng)的正確性，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷C選項(xiàng)的正確性.【詳解】，即，則，，，所以A正確；顯然有，所以B不正確；亦有，所以D不正確；又，相除得，因此數(shù)列，分別是以1，2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確.故選：AC10．（2022·吉林吉林·高三階段練習(xí)）中國(guó)音樂(lè)有悠久的歷史和獨(dú)特的創(chuàng)造.當(dāng)今世界公認(rèn)的音樂(lè)律制，如五度相生律（中國(guó)稱(chēng)三分損益律）、純律和十二平均律，皆為中國(guó)獨(dú)立發(fā)明.其中，“三分損益法”是以“宮”為基本音，宮生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“徵”；“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”……依次損益交替變化，得到“宮、徵、商、羽、角”這五個(gè)音階，據(jù)此可推得（

）A．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列B．“角、商、宮”的頻率成等比數(shù)列C．“宮、徵、商、羽、角”的頻率依次遞增D．“宮、商、角、徵、羽”的頻率依次遞增【答案】BD【分析】根據(jù)“損”、“益”變化規(guī)律可得到“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階對(duì)應(yīng)的頻率，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)“宮”的頻率為，則“徵”的頻率為，“商”的頻率為；“商”經(jīng)過(guò)一次“損”，得到“羽”的頻率為；“羽”經(jīng)過(guò)一次“益”，得到“角”的頻率為；成公比為的等比數(shù)列，“角、商、宮”的頻率成等比數(shù)列；又，“宮、商、角、徵、羽”的頻率依次遞增.故選：BD.11．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列C． D．中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用數(shù)列的前項(xiàng)和以及等比數(shù)列的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以?xiě)．又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；所以，則．當(dāng)時(shí)，，且，故B錯(cuò)誤；由當(dāng)時(shí)，可得，故C正確；因?yàn)?，設(shè)，，，由，故矛盾，故D正確.故選：ACD．12．（2022·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)律排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，各行的最后一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，第行所有數(shù)的和為．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序成公比為的等比數(shù)列，且，，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由條件結(jié)合確定與的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的公差，由此可得的通項(xiàng)公式，再求，并根據(jù)等比數(shù)列求和公式求，由此判斷各選項(xiàng).【詳解】由已知第行有個(gè)數(shù)，各行的最后一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，所以，，，，由此可得，所以，B對(duì)，又，，，，，由此可得，因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，，由因?yàn)閺牡诙衅?，每一行中的?shù)按照從左到右的順序成公比為的等比數(shù)列，所以，，由已知可得，，所以，，所以，A正確，由已知，所以，C錯(cuò)誤，所以，D對(duì)，故選：ABD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（四川省綿陽(yáng)市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則______．【答案】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合，可求得公比，進(jìn)而得到，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，又，，，.故答案為：.14．（2020·山東·青島三十九中高三期中）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)條件建立關(guān)于的方程組，解出的值，然后可算出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得，，則．故答案為：．15．（2022·四川·簡(jiǎn)陽(yáng)市陽(yáng)安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，不能同時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，即所以，所以（（舍去）），又，所以的值為.故答案為：.16．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．若對(duì)任意，恒成立，則t的取值范圍是______．【答案】【分析】利用求得，結(jié)合等比數(shù)列的知識(shí)求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，也符合，所以，，，所以是等比數(shù)列，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，對(duì)任意，恒成立，所以，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)9【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可；（2）結(jié)合等比數(shù)列求和公式得，進(jìn)而根據(jù)，結(jié)合數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列即可求解.（1）證明：∵，且，∴，，即∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，即，∴.∵，∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，又∵，∴的值為9.18．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系得，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列定義直接證明即可；（2）結(jié)合（1）得，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）證明：由得，即，又，所以，是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可得，即.當(dāng)時(shí)，又滿(mǎn)足，所以.19．（2022·江西·臨川一中高三期中（文））已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差相等，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)的公比為的公差為，則由已知條件列方程可求出，從而可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公比為的公差為，