高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊同步單元測試AB卷(新高考)專題4.4等差數(shù)列(B)專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

專題4.4等差數(shù)列(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（文））在2022年北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界．我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知立夏的晷長為4.5尺，處暑的晷長為5.5尺，則夏至所對的晷長為（

）A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺2．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為，且，則（

）A． B． C． D．24．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且,．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，則的值為（

）A．11 B．1 C．約等于1 D．25．（重慶市2023屆高三上學(xué)期11月調(diào)研數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（

）A． B． C． D．6．（四川省綿陽市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．67．（2020·河南·高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．52 B．450 C．4700 D．57008．（2022·四川·成都市新津區(qū)成實(shí)外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（a，b為常數(shù)），則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列中，，公差，依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．11．（2022·湖南·郴州一中高三階段練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，它的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．?dāng)?shù)列的公差的取值范圍是D．當(dāng)時(shí)，12．（2022·廣東·廣州六中高三階段練習(xí)）己知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則下列說法正確的有（

）A．B．存在等差數(shù)列，使得其前n項(xiàng)和C．存在等差數(shù)列，使得其前n項(xiàng)和D．對任意的第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則與的等差中項(xiàng)為__________.14．（2022·北京市第十一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則取最大值時(shí)，n的值為______.15．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如果數(shù)列1，6，15，28，45，中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第9個(gè)六邊形數(shù)為______．16．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值.18．（2022·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：(1)求；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.19．（河南省南陽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理科試題）數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（2022·河南安陽·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，求出，并證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和．21．（2022·貴州遵義·高三期中（文））在①是與的等比中項(xiàng)：②；③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的橫線中并解答．問題：已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足______．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)組合分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．22．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列中，(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.專題4.4等差數(shù)列(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（文））在2022年北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界．我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知立夏的晷長為4.5尺，處暑的晷長為5.5尺，則夏至所對的晷長為（

）A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】設(shè)相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量為，則夏至到處暑增加4d，立夏到夏至減少3d，夏至的晷長為x，則，解得，故選:A．2．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算得到公差，，再利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以，又，所以公差，由得：，故故選：B3．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)結(jié)合前n項(xiàng)和運(yùn)算求解.【詳解】∵數(shù)列與均為等差數(shù)列，則，∴，即.故選：B.4．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且,．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，則的值為（

）A．11 B．1 C．約等于1 D．2【答案】B【分析】首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的意義，求的值.【詳解】，解得：，所以，，所以.故選：B5．（重慶市2023屆高三上學(xué)期11月調(diào)研數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，利用求和公式求得首項(xiàng)與公差，進(jìn)而可得.【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，則，解得或，又，所以，故選：B.6．（四川省綿陽市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，解得，根據(jù)等差數(shù)列整理所求代數(shù)式，可得答案.【詳解】由題意，，解得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選：B.7．（2020·河南·高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．52 B．450 C．4700 D．5700【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，根據(jù)已知條件求得，即可求得答案【詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，所以，解得，所以，，所以，故選；C8．（2022·四川·成都市新津區(qū)成實(shí)外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式的知識(shí)對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，A選項(xiàng)，若，，，，則，，則，，無法判斷符號(hào)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，則，所以，所以.，則，所以，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，，，，則，，則，則，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，，則，當(dāng)時(shí)，所以，但，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（a，b為常數(shù)），則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)可判斷是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性即可逐一判斷.【詳解】由,知，故數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為．由等差數(shù)列的單調(diào)性可得，若，則公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A，B一定成立；若，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故C一定成立；當(dāng)時(shí)，不成立，故D不一定成立．故選：ABC．10．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列中，，公差，依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再由題意逐一判斷即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，?shù)列中序號(hào)被4除余3的項(xiàng)是第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，，所以故A錯(cuò)誤，BC正確；設(shè)數(shù)列中的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)，則，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以D正確，故選：BCD11．（2022·湖南·郴州一中高三階段練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，它的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．?dāng)?shù)列的公差的取值范圍是D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】由，可知，得A正確；由可知B錯(cuò)誤；利用，，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造不等式組求得的范圍，知C正確；由可確定D正確.【詳解】對于A，，，，，公差，數(shù)列為遞減數(shù)列，A正確；對于B，，，B錯(cuò)誤；對于C，，，C正確；對于D，，，又，為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ACD.12．（2022·廣東·廣州六中高三階段練習(xí)）己知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則下列說法正確的有（

）A．B．存在等差數(shù)列，使得其前n項(xiàng)和C．存在等差數(shù)列，使得其前n項(xiàng)和D．對任意的【答案】CD【分析】首先根據(jù)題意得到的通項(xiàng)公式，再利用累加法得到的通項(xiàng)公式，然后逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】由，的首項(xiàng)為，公差為1，所以，即，所以，解得.故A不對.等差數(shù)列的前項(xiàng)和，因此B不正確；，為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，因此，故C正確.因?yàn)?，所以，所以?故D正確.故選：CD第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則與的等差中項(xiàng)為__________.【答案】8【分析】用基本量表示題干條件，求得通項(xiàng)公式，由與的等差中項(xiàng)為代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，不妨設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，又，，故，解得，故，故與的等差中項(xiàng)為.故答案為：814．（2022·北京市第十一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則取最大值時(shí)，n的值為______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的公差，由求得正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，由，解得，由于，所以取的最大值時(shí)，的值為.故答案為：15．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如果數(shù)列1，6，15，28，45，中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第9個(gè)六邊形數(shù)為______．【答案】153【分析】根據(jù)已知數(shù)，求出其規(guī)律即可求解結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋?，，，，；即這些六邊形數(shù)是由首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列的和組成的；所以：；第9個(gè)六邊形數(shù)為：．故答案為：153．16．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是________.【答案】100【分析】先判定正項(xiàng)數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用均值定理即可求得的最大值【詳解】正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，則可令（為常數(shù)），則正項(xiàng)數(shù)列為等差數(shù)列，公差為則則，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則的最大值是100故答案為：100四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和以及通項(xiàng)公式列方程即可求解；（2）由，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由,可得，整理得，解得或（舍），∴.（2）∵，，∴.，∴在或處取得最小值，且最小值為.18．（2022·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：(1)求；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)條件結(jié)合等差數(shù)列定義和前項(xiàng)和即可得出；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求得，根據(jù)的表達(dá)式可較易證明.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，即，解得，所以.（2）證明：由（1）知：，，，越大，越大，故是遞增數(shù)列，∴，而，故.19．（河南省南陽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理科試題）數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，即可得到，從而得證，再求出公差，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）解：數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，①，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，②，①②得③，所以④，由③④得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以．（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以.20．（2022·河南安陽·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，求出，并證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】(1)答案見解析；(2)．【分析】（1）由已知遞推關(guān)系求