高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題2第2講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

第2講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系1．同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．誘導(dǎo)公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，則角α的最小正值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(2π,3)(2)(2020·山東師范大學(xué)附中模擬)若sinθ＝eq\r(5)cos(2π－θ)，則tan2θ等于()A．－eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(5),3)C．－eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(5),2)【拓展訓(xùn)練】1(1)(2020·全國Ⅲ)已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，則tanθ等于()A．－2B．－1C．1D．2(2)已知α∈(0，π)，且cosα＝－eq\f(15,17)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)等于()A．－eq\f(15,17)B.eq\f(15,17)C．－eq\f(8,17)D.eq\f(8,17)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象與【解析】式三角函數(shù)圖象的變換【熱點(diǎn)突破】【典例】2(1)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數(shù)，且f(x)的最小正周期為π，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))等于()A．－2B．－eq\r(2)C.eq\r(2)D．2(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝sinωx(ω>0)向左平移eq\f(π,5ω)個(gè)單位長度得到函數(shù)f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是________．①f(x)在(0,2π)上有且只有3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)；②f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))上單調(diào)遞增；③ω的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(29,10))).【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020·全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的最小正周期為()A.eq\f(10π,9)B.eq\f(7π,6)C.eq\f(4π,3)D.eq\f(3π,2)(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)，ω>0))的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))，在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．(2)三角函數(shù)的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(2π,ω)；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,ω).(3)根據(jù)y＝sint的性質(zhì)研究y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的性質(zhì)：由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得增區(qū)間，由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得減區(qū)間；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對(duì)稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)可得對(duì)稱軸．【熱點(diǎn)突破】【典例】3(1)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))，把y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法正確的是()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)B．g(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱C．g(x)的一個(gè)零點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))D．g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，其圖象的一條對(duì)稱軸在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))內(nèi)，且f(x)的最小正周期大于π，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B．(0,2)C．(1,2)D．[1,2)【拓展訓(xùn)練】3(1)(多選)(2020·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝|cosx|－|sin|x||，下列說法正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是周期為π的函數(shù)C．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))上單調(diào)遞減D．f(x)的最大值為eq\r(2)(2)(2020·北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sinωx，g(x)＝eq\r(2)cosωx，其中ω>0，A，B，C是這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且不共線．①當(dāng)ω＝1時(shí)，△ABC的面積的最小值為________；②若存在△ABC是等腰直角三角形，則ω的最小值為________．專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3,8m)，且sinα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2．已知直線3x－y－1＝0的傾斜角為α，則eq\f(cosα－2sinα,sinα＋cosα)的值為()A．－eq\f(11,10)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(11,4)D．－eq\f(5,4)3．若f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx在[－m，m](m>0)上是增函數(shù)，則m的最大值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)4．已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，則下面結(jié)論正確的是()A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(7π,12)個(gè)單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(7π,12)個(gè)單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，得到曲線C25．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝0，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))min＝eq\f(1,2)，且f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)＋2k，\f(5,6)＋2k))，k∈ZB.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2k，\f(1,6)＋2k))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2kπ，\f(1,6)＋2kπ))，k∈ZD.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋2k，\f(7,6)＋2k))，k∈Z6．已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R)的圖象關(guān)于x＝eq\f(π,4)對(duì)稱，則函數(shù)y＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是()A．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱D．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))在[0，π]內(nèi)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，則ω的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))8．已知函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為eq\f(3,2)，且f(1)＝－eq\r(3)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝eq\f(1,x－2)(－5<x<9且x≠2)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A．16B．4C．8D．12二、多項(xiàng)選擇題9．(2020·新高考全國Ⅰ)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)等于()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))10．(2020·河北衡水中學(xué)考試)已知向量a＝(2sinx，－1)，b＝(sinx＋eq\r(3)cosx,1)，且函數(shù)f(x)＝a·b，則下列說法正確的是()A．若x1，x2是方程f(x)＝1的兩根，則x1－x2是π的整數(shù)倍B．當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，f(x)取得最大值C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間D．將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象11．(2020·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋sinπx，下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)是周期函數(shù)C．f(x)在區(qū)間(0，π)上有三個(gè)零點(diǎn)D．f(x)的最大值為212．設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，則()A．f(x)在(0,2π)上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)B．f(x)在(0,2π)上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上單調(diào)遞減D．ω的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(10,3)))三、填空題13．(2017·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)cos2x，若將其圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ的最小值為________．15.(2020·北京市八一中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,sinωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________.16．(2020·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ω>0，|φ|<\f(π,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))＝0，f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))))恒成立，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,24)))上單調(diào)，則下列說法正確的是________．(填序號(hào))①存在φ，使得f(x)是偶函數(shù)；②f(0)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))；③ω是奇數(shù)；④ω的最大值為3.第2講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系1．同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．誘導(dǎo)公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，則角α的最小正值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(2π,3)【答案】C【解析】角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，即為點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，在第四象限，且滿足cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，故α的最小正值為eq\f(5π,3)，故選C.(2)(2020·山東師范大學(xué)附中模擬)若sinθ＝eq\r(5)cos(2π－θ)，則tan2θ等于()A．－eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(5),3)C．－eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(5),2)【答案】C【解析】∵sinθ＝eq\r(5)cos(2π－θ)，∴sinθ＝eq\r(5)cosθ，得tanθ＝eq\r(5)，∴tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2\r(5),1－\r(5)2)＝－eq\f(\r(5),2).二級(jí)結(jié)論(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα<α<tanα.(2)由(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可知一求二．【拓展訓(xùn)練】1(1)(2020·全國Ⅲ)已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，則tanθ等于()A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2tanθ－eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝7，解得tanθ＝2.(2)已知α∈(0，π)，且cosα＝－eq\f(15,17)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)等于()A．－eq\f(15,17)B.eq\f(15,17)C．－eq\f(8,17)D.eq\f(8,17)【答案】D【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因?yàn)棣痢?0，π)，且cosα＝－eq\f(15,17)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,17)))2)＝eq\f(8,17).即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq\f(8,17).故選D.【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象與【解析】式三角函數(shù)圖象的變換【熱點(diǎn)突破】【典例】2(1)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數(shù)，且f(x)的最小正周期為π，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))等于()A．－2B．－eq\r(2)C.eq\r(2)D．2【答案】C【解析】∵f(x)的最小正周期為π，∴ω＝2.又f(x)＝Asin(2x＋φ)是奇函數(shù)，∴φ＝kπ(k∈Z)，∵|φ|<π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin2x，則g(x)＝Asinx，∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)，即Asineq\f(π,4)＝eq\r(2)，∴A＝2.∴f(x)＝2sin2x，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3π,8)))＝eq\r(2).故選C.(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝sinωx(ω>0)向左平移eq\f(π,5ω)個(gè)單位長度得到函數(shù)f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是________．①f(x)在(0,2π)上有且只有3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)；②f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))上單調(diào)遞增；③ω的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(29,10))).【答案】②③【解析】依題意得f(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5ω)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,5)))，T＝eq\f(2π,ω)，如圖：對(duì)于①，根據(jù)圖象可知，xA≤2π<xB，f(x)在(0,2π)上有3個(gè)極大值點(diǎn)，f(x)在(0,2π)上有2個(gè)或3個(gè)極小值點(diǎn)，故①不正確；對(duì)于③，因?yàn)閤A＝－eq\f(π,5ω)＋eq\f(5,2)T＝－eq\f(π,5ω)＋eq\f(5,2)×eq\f(2π,ω)＝eq\f(24π,5ω)，xB＝－eq\f(π,5ω)＋3T＝－eq\f(π,5ω)＋3×eq\f(2π,ω)＝eq\f(29π,5ω)，所以eq\f(24π,5ω)≤2π<eq\f(29π,5ω)，解得eq\f(12,5)≤ω<eq\f(29,10)，所以③正確；對(duì)于②，因?yàn)椋璭q\f(π,5ω)＋eq\f(1,4)T＝－eq\f(π,5ω)＋eq\f(1,4)×eq\f(2π,ω)＝eq\f(3π,10ω)，由圖可知f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,10ω)))上單調(diào)遞增，因?yàn)棣?lt;eq\f(29,10)<3，所以eq\f(π,10)－eq\f(3π,10ω)＝eq\f(π,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,ω)))<0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))上單調(diào)遞增，故②正確．故②③正確．易錯(cuò)提醒(1)根據(jù)零點(diǎn)求φ值時(shí)注意是在增區(qū)間上還是在減區(qū)間上．(2)注意變換時(shí)“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”的區(qū)別．【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020·全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的最小正周期為()A.eq\f(10π,9)B.eq\f(7π,6)C.eq\f(4π,3)D.eq\f(3π,2)【答案】C【解析】由圖象知π<T<2π，即π<eq\f(2π,|ω|)<2π，所以1<|ω|<2.因?yàn)閳D象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)ω＋\f(π,6)))＝0，所以－eq\f(4π,9)ω＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以ω＝－eq\f(9,4)k－eq\f(3,4)，k∈Z.因?yàn)?<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝eq\f(3,2).故f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3).(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)，ω>0))的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))，在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】B【解析】eq\f(T,4)＝|Px－Qx|＝eq\f(π,4)(Px，Qx分別為P，Q的橫坐標(biāo))，T＝π＝eq\f(2π,ω)，ω＝2；點(diǎn)P為最高點(diǎn)，代入P的坐標(biāo)得eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，則φ＝eq\f(π,6)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，故選B.【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．(2)三角函數(shù)的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(2π,ω)；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,ω).(3)根據(jù)y＝sint的性質(zhì)研究y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的性質(zhì)：由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得增區(qū)間，由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得減區(qū)間；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對(duì)稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)可得對(duì)稱軸．【熱點(diǎn)突破】【典例】3(1)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))，把y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法正確的是()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)B．g(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱C．g(x)的一個(gè)零點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))D．g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，所以g(x)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故A錯(cuò)誤；令2x＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，得對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)，k∈Z，故B錯(cuò)誤；令2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，故μ＝2x＋eq\f(π,6)∈[0，π]，因?yàn)閥＝cosμ在[0，π]上是減函數(shù)，故g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上是減函數(shù)，故D正確．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，其圖象的一條對(duì)稱軸在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))內(nèi)，且f(x)的最小正周期大于π，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B．(0,2)C．(1,2)D．[1,2)【答案】C【解析】由題意得f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)．令ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq\f(π,3ω)＋eq\f(kπ,ω)，k∈Z，因?yàn)閒(x)的圖象的一條對(duì)稱軸在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))內(nèi)，所以eq\f(π,6)<eq\f(π,3ω)＋eq\f(kπ,ω)<eq\f(π,3)，所以3k＋1<ω<6k＋2，k∈Z.又f(x)的最小正周期大于π，所以eq\f(2π,ω)>π，解得0<ω<2，所以ω的取值范圍是(1,2)．故選C.【方法總結(jié)】已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范圍的三種方法(1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．(2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．(3)周期性：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過eq\f(1,4)個(gè)周期列不等式(組)求解．【拓展訓(xùn)練】3(1)(多選)(2020·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝|cosx|－|sin|x||，下列說法正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是周期為π的函數(shù)C．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))上單調(diào)遞減D．f(x)的最大值為eq\r(2)【答案】ABC【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝|cos(－x)|－|sin|－x||＝|cosx|－|sin|x||＝f(x)，知f(x)是偶函數(shù)，故A正確；f(x＋π)＝|cos(x＋π)|－|sin|x＋π||＝|cosx|－|sin|x||＝f(x)，所以f(x)是周期為π的函數(shù)，故B正確；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))時(shí)，f(x)＝－cosx＋sinx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))上單調(diào)遞減，故C正確；當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝cosx－sinx＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))∈[－1,1]，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，f(x)＝－cosx－sinx＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈(－1,1)．又f(x)是周期為π的函數(shù)，所以f(x)的值域?yàn)閇－1,1]，故D不正確．(2)(2020·北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sinωx，g(x)＝eq\r(2)cosωx，其中ω>0，A，B，C是這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且不共線．①當(dāng)ω＝1時(shí)，△ABC的面積的最小值為________；②若存在△ABC是等腰直角三角形，則ω的最小值為________．【答案】①2π②eq\f(π,2)【解析】函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sinωx，g(x)＝eq\r(2)cosωx，其中ω>0，A，B，C是這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)．①當(dāng)ω＝1時(shí)，f(x)＝eq\r(2)sinx，g(x)＝eq\r(2)cosx，如圖所示，所以AB＝2π，高為eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)·eq\r(2)＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)·2π·2＝2π.②若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，則eq\f(2π,ω)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)·\f(\r(2),2)＋\r(2)·\f(\r(2),2)))，解得ω的最小值為eq\f(π,2).專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3,8m)，且sinα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，8m))，所以sinα＝eq\f(8m,\r(9＋8m2))＝－eq\f(4,5)<0，解得m＝－eq\f(1,2).2．已知直線3x－y－1＝0的傾斜角為α，則eq\f(cosα－2sinα,sinα＋cosα)的值為()A．－eq\f(11,10)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(11,4)D．－eq\f(5,4)【答案】D【解析】由3x－y－1＝0得，y＝3x－1，∴tanα＝3，∴eq\f(cosα－2sina,sinα＋cosα)＝eq\f(\f(cosα－2sinα,cosα),\f(sinα＋cosα,cosα))＝eq\f(1－2tanα,tanα＋1)＝eq\f(1－2×3,3＋1)＝－eq\f(5,4).3．若f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx在[－m，m](m>0)上是增函數(shù)，則m的最大值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)【答案】C【解析】∵f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在[－m，m](m>0)上是增函數(shù)，∴－m＋eq\f(π,3)≥－eq\f(π,2)，且m＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2).求得m≤eq\f(5π,6)，且m≤eq\f(π,6)，∴m≤eq\f(π,6)，∴0<m≤eq\f(π,6).故m的最大值為eq\f(π,6).4．已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，則下面結(jié)論正確的是()A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(7π,12)個(gè)單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(7π,12)個(gè)單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，得到曲線C2【答案】C【解析】C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7π,12)))＋\f(π,2)))，C1：y＝cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(7π,12)個(gè)單位長度，得到曲線C2，故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝0，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))min＝eq\f(1,2)，且f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)＋2k，\f(5,6)＋2k))，k∈ZB.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2k，\f(1,6)＋2k))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2kπ，\f(1,6)＋2kπ))，k∈ZD.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋2k，\f(7,6)＋2k))，k∈Z【答案】B【解析】設(shè)f(x)的周期為T，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))min＝eq\f(1,2)，得eq\f(T,4)＝eq\f(1,2)?T＝2?ω＝eq\f(2π,2)＝π，由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π＋φ))＝eq\f(1,2)，即cosφ＝eq\f(1,2)，又0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤πx＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5,6)＋2k≤x≤eq\f(1,6)＋2k，k∈Z.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2k，\f(1,6)＋2k))，k∈Z.6．已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R)的圖象關(guān)于x＝eq\f(π,4)對(duì)稱，則函數(shù)y＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是()A．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱D．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱【答案】D【解析】∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對(duì)稱，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(a－b)＝±eq\r(a2＋b2)，平方得a2＋2ab＋b2＝0，即(a＋b)2＝0，則a＋b＝0，b＝－a，則f(x)＝asinx＋acosx＝eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，又a≠0，則y＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))＝eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)asin(π－x)＝eq\r(2)asinx為奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱．7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))在[0，π]內(nèi)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，則ω的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))【答案】A【解析】函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sinωx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))時(shí)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，∴－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，則π≤ωπ＋eq\f(π,3)≤eq\f(5π,3)，解得eq\f(2,3)≤ω≤eq\f(4,3)，故ω的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))).8．已知函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為eq\f(3,2)，且f(1)＝－eq\r(3)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝eq\f(1,x－2)(－5<x<9且x≠2)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A．16B．4C．8D．12【答案】D【解析】依題意得，函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為3，即eq\f(π,ω)＝3，得ω＝eq\f(π,3)，則f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ))，又f(1)＝－eq\r(3)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝－eq\r(3)，所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z，因?yàn)?<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))，又因?yàn)閒(2)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝0，所以y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，而y＝eq\f(1,x－2)也關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，可知兩函數(shù)共有6個(gè)交點(diǎn)，且都關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，則易知6個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為12.二、多項(xiàng)選擇題9．(2020·新高考全國Ⅰ)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)等于()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))【答案】BC【解析】由圖象知eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，得T＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.又圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，由“五點(diǎn)法”，結(jié)合圖象可得φ＋eq\f(π,3)＝π，即φ＝eq\f(2π,3)，所以sin(ωx＋φ)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，故A錯(cuò)誤；由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))知B正確；由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))知C正確；由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))知D錯(cuò)誤．10．(2020·河北衡水中學(xué)考試)已知向量a＝(2sinx，－1)，b＝(sinx＋eq\r(3)cosx,1)，且函數(shù)f(x)＝a·b，則下列說法正確的是()A．若x1，x2是方程f(x)＝1的兩根，則x1－x2是π的整數(shù)倍B．當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，f(x)取得最大值C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間D．將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象【答案】CD【解析】由題意得f(x)＝a·b＝2sinx(sinx＋eq\r(3)cosx)－1＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).若x1，x2是方程f(x)＝1的兩根，則2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)或2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，解得x＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)或x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，則x1，x2關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)對(duì)稱或x1－x2是eq\f(π,3)的整數(shù)倍，故A錯(cuò)誤；f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sineq\f(π,6)＝1，而f(x)的最大值為2，故B錯(cuò)誤；令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，令k＝0，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故C正確；將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后得函數(shù)y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x的圖象，而函數(shù)y＝2cos2x為偶函數(shù)，故D正確．11．(2020·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋sinπx，下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)是周期函數(shù)C．f(x)在區(qū)間(0，π)上有三個(gè)零點(diǎn)D．f(x)的最大值為2【答案】AC【解析】∵x∈R，f(－x)＝sin(－x)＋sin(－πx)＝－sinx－sinπx＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，故A正確；y1＝sinx的周期T1＝2kπ，k∈Z，y2＝sinπx的周期T2＝2n，n∈Z，∵{T1|T1＝2kπ，k∈Z}∩{T2|T2＝2n，n∈Z}＝?，∴f(x)不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令f(x)＝sinx＋sinπx＝0，得sinπx＝－sinx＝sin(－x)，∴πx＝－x＋2kπ，k∈Z或πx－x＝2kπ＋π，k∈Z，解得x＝eq\f(2kπ,π＋1)，k∈Z或x＝eq\f(2k＋1π,π－1)，k∈Z.又x∈(0，π)，∴x＝eq\f(2π,π＋1)或x＝eq\f(4π,π＋1)或eq\f(π,π－1)，∴f(x)在區(qū)間(0，π)上有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；當(dāng)sinx＝1時(shí)，x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)sinπx＝1時(shí)，x＝2k＋eq\f(1,2)，k∈Z，∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2k＋\f(1,2)，k∈Z))))＝?，∴y＝sinx與y＝sinπx不可能同時(shí)取得最大值1，故D錯(cuò)誤．12．設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，則()A．f(x)在(0,2π)上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)B．f(x)在(0,2π)上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上單調(diào)遞減D．ω的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(10,3)))【答案】CD【解析】因?yàn)閤∈[0,2π]，所以ωx＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2πω＋\f(π,3))).設(shè)t＝ωx＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2πω＋\f(π,3)))，畫出y＝cost的圖象如圖所示．由圖象可知，若f(x)在[0,2π]上有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，則5π<2πω＋eq\f(π,3)≤7π，故f(x)在(0,2π)上可能有5,6或7個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；f(x)在(0,2π)上可能有2或3個(gè)極大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由5π<2πω＋eq\f(π,3)≤7π，可得eq\f(7,3)<ω≤eq\f(10,3)，故D正確；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))時(shí)，ωx＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,6)ω＋\f(π,3))).因?yàn)閑q\f(7,3)<ω≤eq\f(10,3)，所以eq\f(13π,18)<eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,3)≤eq\f(8π,9)，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上單調(diào)遞減，故C正確．三、填空題13．(2017·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．【答案】1【解析】f(x)＝1－cos2x＋eq\r(