2022年江蘇新高二數(shù)學暑假教材講練（蘇教版2019選擇性必修第一冊）第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題（含詳解）

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題

弊【學習目標】

1.掌握求平面向量范圍與最值問題的基本方法

2.掌握求解三角形中范圍與最值問題的基本方法和常見的模型

3

k'【基礎(chǔ)知識】

知識點一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

1.定義法

第一步:利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運用基木不等式求其最值問題

第三步:得出結(jié)論

2.坐標法

第一步：根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳?yīng)點的坐標

第二步：將平面向量的運算坐標化

第三步:運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

3.基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標

第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

4.幾何意義法

第一步：先確定向量所表達的點的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

知識點二.極化恒等式

1.平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

DC

AaB|￡+翻+|￡-討=2(|￡|2+出|2)證明：不妨設(shè)通=￡,而=瓦

則前二￡+b,DB=a-^|Xc|2=AC2=(?+=同?+2a-b+|邛(I)

阿=加=(1,=/—275+呼(2)

(1)(2)兩式相加得：

明?+|方］=2(@+粕=2(網(wǎng),+|而?.極化恒等式：

上面兩式相減，得：；［(￡+,-(￡-耳］--------極化恒等式

(1)平行四邊形模式：a-b=^\AC\"-\DB^

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線''與“差對角線”平方差

的L

4

(2)三角形模式：=砰(”為8。的中點)

知識點三.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)

容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍

限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

■G【考點剖析】

考點一：定義法

列1.若AABC中，45=2,其重心G滿足條件：而.而=。，則(方2十麗)麗?就取值范圍為()

A.(-80,160)B.(-80,40)

C.(-40,80)D.(-160,80)

考點二：坐標法

例2.在矩形A8CO中，A8=2,BC=l,點E為邊A8的中點,點尸為邊3c上的動點，則詼.而

的取值范圍是()

D__________________________C

\A.[2,4]B.[2,3]C.[3,4]D.[1,4]

AEB

考點三：基底法

例3.如圖，已知點P(2,0),正方形ABC。內(nèi)接于0O:/+y2=2，M、N分別為邊A3、8。的

中點，當正方形ABCO繞圓心。旋轉(zhuǎn)時，麗?麗的取值范圍是()

(_P,A.[-1,1]B.[-71y/2]

c-[-2,2]D.咚岑

考點四：幾何意義法

八、例4.在“IBC中，AB=68c=4,B=3O。，P為邊上4。的動點,則而?旃的取值范圍是()

A.[6,16]B.[12,16]

C.[4,12]D.[6,12]

考點五：極化恒等式

住1例5.已知圓C的半徑為2,點A滿足時卜4,民尸分別是C上兩個動點，且同=2。則荏.而

的取值范圍是（）

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【真題演練】

N星8c中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸為“18C所在平面內(nèi)的動點，旦PC=1,則麗?麗的取值范

圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,41D.[-4,6]

2.已知產(chǎn)是邊長為2的正六邊形〃內(nèi)的一點，則A戶月的取值范圍是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（T6）

3.已知箭是單位向量，2?萬=0.若向量2滿足卜-〃-司=1,則同的取值范圍是（）

A.[72-1,,V2+1]B.[>/2-1?>/2+2]

C.[L,V2+1]D.[L,V2+2]4.如圖，在平面四邊形A8CO中，

4BJ.BC,A。J.CD,/BA。=120,AB=AZ）=1,

若點E為邊C。上的動點，則通?屁的最小值為（）

5.已知“8。是邊長為2的等邊三角形，『為平面ABC內(nèi)一點，則雨?（麗+畫的最小值是（）

34

A.-2B.--C.--D.-1

23

6.已知麗,祝，|而卜;，|而卜匕若P點是所在平面內(nèi)一點，且八尸二儡+則聞?無的

最大值等于（）.

A.13B.15C.19D.21

7.已知向量詞滿足向=響=2,則|叫+*@的最小值是,最大值是.

8.設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形4人…人的邊A4上，則中:+禹2+…+品的取值范圍是.

9.已知。是平面內(nèi)的單位向量，若向量5滿足瓦3-&=0,則|5|的取值范圍是.

10.如圖，已知點O（0,0）,A（1,0）,B（0-1）,P是曲線y=Jj二7上一個動點，則而?麗的取值范圍是

11.在等腰梯形A8co中，已知A8//OC,AB=2,8C=1,/A8C=60,動

點E和尸分別在線段8。和九上，且旗二施商修反，則通員的最小值為

12.已知向量|。|=1,區(qū)=2,若對任意單位向量e，均有|a.c|+區(qū).e|＜。6,則〃石的最大值是

13.已知平面向量萬，B,|?|=1,1^1=2,ab=\.若，為平面單位向量，則|萬1|+出包|的最大值是

函【過關(guān)檢測】

］黑!488中,AB=2,BC=l,ZDAB=60°,若E為口ABCD內(nèi)一動盡（含邊界），則荏.而的最大值

是（）

A.1B.2C.幣D.@

2

2.已知點P是邊長為2的正三角形的邊8c上的動點，則而?（而+而）=（）

A.最大值為6B.為定值6C.最小值為3D.為定值3

3.已為向量［、坂的夾角為（，\b\=2\a\=2,向量c=xa+y坂且x,y￡口,2］.則向量鼠［夾角的余弦值的最

大值為（）

A02>/7「右3V21

?-----DR?-----lz?1Un?-----

77214

4.已知正方形ABC。的邊長為2,M為正方形ABC。的內(nèi)部或邊界上任一點，則MUM。的最大值是（）.

A.1B.2C.3D.4

3-------/、

5.在AABC中，cosA=-t。為△45C的內(nèi)心，^AO=xAB+yAC（x,yeR）,則x+y的最大值為（）

A26-x/6r7-V7n8-2V2

A.-D.------C.------U.------

3567

6.在矩形ABC。中，AB=\tAD=2,動點尸在以點4為圓心的單位圓上.若麗=4而+〃而（Z〃￡R）,

則4+〃的最大值為（）

A.3B.逐C.正D.2

2

7.已知單位向量3,坂滿足￡石=0,若（14倒一"）=0,并且。=心+〃力，那么4+〃的最大值為（）

3

A.2B.2&C.y/2D.-

3--------9

8.在“ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,cosC=—,若CBC4=2,貝"的最小值為（）

A.2

B.4

C.721

D.17

9.已知P是等邊三角形A8C所在平面內(nèi)一點，且鉆=26，BP=l,則麗?麗的最小值是（）

A.1B.72C.>/3D.2

10.如圖所示，點。在以O(shè)為圓心2為半徑的圓弧48上運動，且NAOB=12d,則圍&的最小值為（）

A.TB.-2C.0D.2

11.飛鏢運動于十五世紀興起于英格蘭，二十世紀初，成為人們在酒吧日常休閑的必備活動.某熱愛飛鏢

的小用友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢，該十字飛鏢由四個全等的四邊形拼成.在四邊形A3C。中，

OAA.OCtOA=OC=4,AC±BC,AC=8C,點尸是八邊形ABCDfiFG〃內(nèi)（不含邊界）一點，則方.衣

的取值范圍是（）

B.(-48,16)C.(-I6>/5,48>/5)D.(-48^,165/5)

12.如圖，已知四邊形ABC。為直角梯形，ABIBC,AB//DC,AB=\,AD=3,^BAD=—f設(shè)點尸為

直角梯形ABC。內(nèi)一點（不包含邊界），則麗.Q的取值范圍是（

A-B.卜川C.（。，|）D.回

13.如圖，已知點尸在由射線0。、線段。A,線段84的延長線所圍成的平面區(qū)域內(nèi)（包括邊界），且。。

與融平行，若麗=1而+），麗，當時，y的取值范圍是（）

A.【MB.「5’」dD.05

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題

與蹄【學習目標】

1.掌握求平面向量范圍與最值問題的基本方法

2.掌握求解三角形中范圍與最值問題的基本方法和常見的模型

【基礎(chǔ)知識】

知識點一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

1.定義法

第一步:利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運用基木不等式求其最值問題

第三步:得出結(jié)論

2.坐標法

第一步：根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳?yīng)點的坐標

第二步：將平面向量的運算坐標化

第三步:運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

3.基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標

第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

4.幾何意義法

第一步：先確定向量所表達的點的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

知識點二.極化恒等式

1.平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

DC

AaB|￡+翻+|￡-討=2(|￡|2+出|2)證明：不妨設(shè)通=￡,而=瓦

則前二￡+b,DB=a-^|Xc|2=AC2=(?+=同?+2a-b+|邛(I)

阿=加=(1,=/—275+呼(2)

(2)(2)兩式相加得：

明?+|方］=2(@+粕=2(網(wǎng),+|而?.極化恒等式：

上面兩式相減，得：；［(￡+,-(￡-耳］--------極化恒等式

(1)平行四邊形模式：a-b=^\AC\"-\DB^

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線''與“差對角線”平方差

的L

4

(2)三角形模式：=砰(”為8。的中點)

知識點三.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)

容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍

限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

■G【考點剖析】

考點一：定義法

住1例1.若中，45=2,其重心G滿足條件：而.而=0,則(方2+歷)而?就取值范圍為()

A.(-80,160)B.(-80,40)

C.(-40,80)D.(-160,80)

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)G為重心，W.BGAG=0f利用中線定理得到8=3,再分別在dDC和△皈?中，利用余弦定理

得到/+從=20,由(57屈］AB-BC=-20accosB求解.

【詳解】

解：如圖所示：

因為AB=2,G為重心，且而.而=0,

所以3=：4?=1,又々7:切=2:1,則C￡>=3,

在AADC中，有=AD2+CD2-2ADCD-CQS4ADC=10-6cosNJZT，

在中，有位2+勿2-2BD,CD?cos4BDC=10-6cos乙BDC，

兩式相加得CT+CB~=20，

“u?6?2+1-9冰-8ncf,

在ABDC中，cosB=----------=-------,,0.2<CB<4?

2CB2cB

所以岳2）茄.茄=_20|阿?|畫?cos6,=-20（CB2-8）€（-160,80）,

故選：D

考點二：坐標法

例2.在矩形ABCO中，48=2,8c=1,點E為邊A3的中點，點尸為邊8c上的動點，則詼.而

的取值范圍是()

B.[2,3]C.[3,4]D.[1,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

以A為坐標原點可建立平面自角坐標系，設(shè)產(chǎn)(2,/n)(0V/nG),由平面向量數(shù)量枳的坐標運算可表示出

詼.而，結(jié)合小范圍可求得詼.而的取值范圍.

【詳解】

以A為坐標原點，而，而正方向為乂丁軸，可建立如圖所示平面.宜角坐標系，

DF=（2,/n-l）,

:.DEDF=2I1=3m-vO<w<l,.\2<3-m<3f即詼.麗的取值范圍為[2,3].

故選：B.

考點三：基底法

小1例3.如圖，已知點尸(2,0),正方形ABCD內(nèi)接于。0:/+丁=2,M、N分別為邊A8、BC的

中點，當正方形ABCD繞圓心。旋轉(zhuǎn)時，麗.兩的取值范圍是()

C.[-2,2]D.一冬日

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意易知ON=L將麗表示為瓦再結(jié)合數(shù)量積的運算律計算艮]可.

【詳解】

解：由題意可知正方形"C。的邊長為2,

則QV=1,

?：OMLON,??西?麗=0,

設(shè)而，麗的夾角為，，則。目0,司,

二.兩?兩=（而+而）?兩=所?兩=2xlxcose=2cos0w[-2,2].

故選：C.

考點四：幾何意義法

例4.在AABC中，AB=6BC=4,3=30。，尸為邊上AC的動點，則冊.喬的取值范圍是（）

A.[6,16]B.[12,16]

C.[4,12]D.[6,12]

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義求解.

【詳解】

如圖，作AE_LBC于E,作尸尸J_8c于尸，由已知得4￡；=*，BE=1（6）2_§2=；,

瑟.麗=網(wǎng)網(wǎng)85/尸80=4.，

當P在線段AC上運動時地，尸在線段EC上運動，1<?F<4,所以6W4|司M16,

故選：A.

考點五：極化恒等式

g已知圓C的半徑為2,點A滿足|碼=4,石"分別是C上兩個動點，且同=2技則荏.而

的取值范圍是（）

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,221D.[4,24]

【答案】C

【解析】

【分析】

借助于垂徑定理處理，結(jié)合向量整理可得荏?赤=|而+兩『_3,再根據(jù)向量的加法“J"得

3<\AC+CM\<5.

【詳解】

取所的中點M,連接CM,則之河二,22_陰2=]，

痔通=（兩+碼?（麗+礪）=（赤+碼（初_函=赤2_砥2=獷_3■/+兩『_3,

XIIACI-ICMII^JIAC+CMI|AC|+|CW|,所以3<恁+叫45,

所以64荏?而422，

當且僅當向量衣與西共線同向時，荏.正取得最大值22；向量衣與兩共線反向時，通.而取得最

小值6,

故選：C.

【真題演練】

1.在AABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.尸為“1BC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則中.方的取值范

圍是1)

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[T6]

【答案】D

【解析】

【分析】

依題意建立平面直角坐標系，設(shè)P(cos&sinO),表示出可，而，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及

正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

【詳解】

解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則C(0,0),A(3,0),8(0,4),

因為PC=1,所以尸在以C為圓心，1為半徑的圓上運動,

設(shè)P(cos0,sin6),6e[0,2司,

所以幺=(3-cos6,-sin。)，PB=(-cos0A-sin0),

所以小?PB=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin0)x(-sin0)

=cos2<9-3cos^-4sin^+sin2^=1-3cos。-4sin6=l-5sin(6+。)，其中sine=g,cos^?=-,

因為T?sin(6+0)41,所以-441-5sin(J+*)M6,即麗麗4-4,6]；

故選：D

2.已知P是邊長為2的正六邊形48coM內(nèi)的一點，則而.而的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到所在麗方向上的投影的取值范圍是(-1，3),利用向

量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】

4月的模為2,根據(jù)正六邊形的特征,

可以得到而在通方向上的投影的取值范圍是(T3),

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

可知福?福等于福的模與Q在通方向.上的投影的乘積，

所以麗?福的取值范圍是(-2,6),

故選：A.

【點睛】

該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式,

屬于簡單題目.

3.已知3)是單位向量，排3=0.若向量2滿足k-〃-同=1,則同的取值范圍是()

A.[五-1,,應(yīng)+1]B.[&-1,,四+2]

C.D.應(yīng)+2]

【答案】A

【解析】

【詳解】

因為上一“一同二1,卜-5+利=1,做出圖形可知，當且僅當^與3+方方向相反且同-卜+4=1時，同取

到最大值；最大值為夜+1：當且僅當。與3+母方向相同且忸+司-同=1時,同取到最小值；最小值為

V2-1.

4.如圖，在平面四邊形ABCO中，4B_LBC,AO_LCO,N84O=120,AB=AZ)=l,

若點E為邊CD」：的動點,則亞.詼的最小值為

21

A.C.

16B-?

【答案】A

【解析】

【詳解】

分析：由題意川得為等腰三角形，△88為等邊三角形，把數(shù)量積荏.礪分拆，設(shè)

DE=rDC(0^t^l),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于I的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點為O,可知△ABO為等腰三角形，而A8_L3C,AO_LCO,所以△8CO為等邊三

角形，BD=y/3.設(shè)方E=r或(0WY1)

AE.BE=(AD+DE)<BD+DE)=ADBD+DE(AD+Bb)+DE2=^+BDDE+DE2=3t2-^t+^

(0<r<l)

所以當工=；I時，上式取最小值2§1,選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。

同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

5.已知AABC是邊長為2的等邊三角形，尸為平面48c內(nèi)一點，貝1」萬?（而+前）的最小值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可.

【詳解】

建立如圖所示的坐標系，以8c中點為坐標原點，

則A(0,6),B(-I,o),C(1,O),設(shè)P(x,y),則而=(_x,Q_y),pg=(-l-x,-j),PC=(\-xf-y),

則PA^PB+PC)=2?-2⑶+2y2=2[f+(y-$-j

.?.當R=0，尸立33

時，取得最小值2X（-：）=F

24Z

|AB|=y,\AC\=tf若尸點是“IBC所在平面內(nèi)一

).

A.13B.15C.19D.21

【答案】A

【解析】

【詳解】

以A為坐標原點,建立平面直角坐標系，如圖所示，則刀(一,0),。(0/),/=(1,0)+4(0,即K1,4),

即工=；時

【答窠】426

【解析】

【詳解】

設(shè)向量工石的夾角為6，由余弦定理有：p-^|=Vl2+22-2xlx2xcos^=V5-4cos^,

|tz+5|=yj\2+22-2x1x2xcos(^-^)=j5+4cos。,則：

卜+,+卜-4=j5+4cos：+\/5-4cos。,

令y=j5+4cos。+j5-4cos。,則y?=g+2V25-16cos2e[16,20],

據(jù)此可得：(卜+q+卜一皿=>/^=2后(k+,+卜一同)=\/\6=4,

即B+.+W叫的最小值是4,最大值是2G

【名師點睛】

本題通過設(shè)向量癡的夾角為6,結(jié)合模長公式，可得,+即歸一閘=>/5+4856+j5-4cos6,再利用三

角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求.

8.設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A4-A的邊A4上，則而:+%2+…+⑸;的取值范圍是.

【答窠】[12+2夜,16]

【解析】

【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點，4A所在直線為x軸，AA所在直線為了軸建立

平面直角坐標系，即可求出各頂點的坐標，設(shè)尸。。)，再根據(jù)平面向量模的坐標計算公式即可得到

麗;+而;+…+忒=8(Y+/)+8,然后利用cos22.5wOP區(qū)1即可解出.

【詳解】

以圓心為原點，44所在直線為％軸，AA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：

A（o,i）,等）,4（1,0）,孝，一日），4（0,—1）,4卜日，一母）,4（—1Q）,設(shè)P*,y）,

于是西;+PA，2-1---hPSJ-8（x2+）；）+8,

因為8s22.5。4|OP區(qū)1,所以1+C^S45<x2+/<l,故⑸:+序;+.??+居的取值范圍是U2+2夜,16].

故答案為：[12+20,16].

9.已知土是平面內(nèi)的單位向量，若向量5滿足瓦3-5)=0,貝iJ|B|的取值范圍是.

【答案】01]

【解析】

【詳解】

本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運算問題.依題了(6-■)=(),即

ba-^|2=0,???|洲可cose=|W且。€[0,,.,又,為單位向量，???同=1,

???忸卜cos夕6e[0,1].A|5|G[0,1].

10.如圖，已知點O(0,0),A(1,0),B(0,-1),P是曲線y=J[37上一個動點，則麗?麗的取值范圍是

【答案】T偽

【解析】

【詳解】

試題分析：由題意，設(shè)P(cosa,sina),ae[0,冗],則麗=(cosa,sina),又放=(1,1),所以

OP-BA=cosa+sina=>/2sin(a+—)G[-1,V2].

4

【考點】

數(shù)量積的運算、數(shù)形結(jié)合思想

【名師點睛】

本題解答時利用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化到單位圓中，從而轉(zhuǎn)化成平面向量的坐標運算，利用三角函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，得到而?麗的取值范圍.本題主要考查考生的邏輯推理能力、基本運算求解能力、數(shù)形結(jié)合

思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.

11.在等腰梯形A8CZ)中，已知44〃￡>CAB=2,5C=l,ZA8C=60，動點E和尸分別在線段BC和。。

上，且，屁=義前,而=工反,則荏.標的最小值為_______________________.

92

29

【答案】歷

【解析】

【詳解】

—?1------------.1————.—1——1-92-1-92—

=—DC,DC=-AB,CF=DF-DC=—DC-DC=^-^DC=AB,

9/12929A182

___._.—.1-9；-.I+92—.

AE=AB+BE=AB+ABC^AF=AB+BC+CF=AB+BC+——AB=——AB+BC,

1o/l1o/l

荏通=（而+；1配）.（上絲麗+而］=匕絲通2+4配2+（1+/1.上出］麗欣

'f［182）184I182）

_1+92-19+92.1lono21,17、J21,1729小口內(nèi)文2_11日口】_2

————X4+4H-------x2x1xcos120=----1—AH>2./-----XH=—1且僅.ITTV一1之即4一二時

18，189A218V9A218189A23

荏.喬的最小值為弓29.

lo

12.已知向量"A\a\=L區(qū)=2＞若對任意單位向量e,均有己.)+6.e|＜。6,則分坂的最大值是.

【答案】y

【解析】

【詳解】

試題分析：|0+電-工上屏0+,工卜卡=＞|￡+刷＜#=忖|2+出『+2￡/《6=￡石＜；,即最大值為

【考點】

平面向量的數(shù)量積.

【易錯點睛】

在歸+4?指兩邊同時平方，轉(zhuǎn)化為|片+|邛+2)/46的過程中，很容易忘記右邊的遙進行平方而導(dǎo)致錯

誤.

13.已知平面向量萬，6,|?|=1,|^|=2,ab=\.若“為平面單位向量，則I萬心|+出心|的最大值是.

【答案】77

【解析】

【詳解】

試題分析：由已知得(萬萬)=60。，不妨取4=(1,0),5=(cosa,sina),設(shè)e=(cosa,sina),

則B?同+忸?目二|cosa\+|cosa+逐sina卜|cosa\+|cosa|+石|sina\

=2|cosa|+V3|sina|,取等號時cosa與sina同號.所以

娶8sa+泵na

2|cosa|+A/3|sina|=|2cosa+x/3sin<2f|=幣=V^sin(a+創(chuàng)(其中

2°△

sin6="3S”后,取。為銳角）.

顯然、行卜in（a+。）區(qū)占，

易知當Q+”］時，卜in（a+6）|取最大值1,此時。為銳角，sina,8sa同為正，

因此上述不等式中等號能同時取到，故所求最大值為五.

【考點】

平面向量的數(shù)量積和模.

【思路點睛】

先設(shè)小5,和巨的坐標，再將|不列+|尻即轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，進而用輔助角公式將三角函數(shù)進行化簡，最

后用三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角函數(shù)的最大值，進而可得修心|+出包|的最大值.

O

中，A8=2,8C=1,N￡>A8=6O。，若E為口ABCD內(nèi)一動點、（含邊界），則通?前的最大值

是（）

A.1B.2C.y/7D.叵

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可設(shè)荏=工通+y而且0Vx,y?1,代入結(jié)合數(shù)量積運算處理.

【詳解】

根據(jù)題意可得而?而=|同|碼cos/DAB=1

^AE=xAB+yAD^O<x,y<\

.??荏辰=［而+y而）.而=x而?而+y而2=x+yK2故選：B.

2.已知點P是邊長為2的正三角形△ABC的邊8。上的動點，則麗?（通+配）=（）

A.最大值為6B.為定值6C.最小值為3D.為定值3

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)施=￡,衣=瓦而=f而,根據(jù)向量的加減運算表示出AP，進而將而?（荏+AC）轉(zhuǎn)化為

（而+而）?（而+/），結(jié)合數(shù)量積的運算律，可求得答案.

【詳解】

設(shè)麗=**=反而=/而，^\BC=b-a，

貝|」而=而+而=￡+/色一￡）,

故存?（荏+硝=（麗+而）?（而+砌=[￡+而-￡）卜（￡+可

—2———2I

=（1T）。+ab+tb=4（l-?）+2x2x—+4r=6,

2

故選：B

3.已為向量的夾角為3，I引=2y|=2,向量2=茄+）石且%,丁引1,2].則向量人工夾角的余弦值的最

大值為（）

A歷R2萬n3亞

77214

【答案】C

【解析】

【分析】

由題設(shè)，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律可得72=x+），、|"|=4?+2Q，+4），2,根據(jù)85<。,。>=￡^及參數(shù)范

1。1?

圍求最大值.

【詳解】

—?—??c——————九2

f

rhcos<atc>=―—―,而|Z?|=21a|=2,則a3=|a||b|cosw=l,\a-c=ci-（xa+yb）=xa4-ya-b=x+y

klkl3

由c~=（xa+yb）2=x2+2xy+4y2,則Ic1=\fx2+2xy+4y2,

—x+y1

cos<a,c>=/-=]

所以Jd+2盯+49]+」,

要使余弦值最大且X,ye[1,2],只需土最大，且為2,此時最大COS<N">=也.

y2

故選：C

4.已知正方形A8C。的邊長為2,M為正方形A8CD的內(nèi)部或邊界上任一點，則祝?麗的最大值是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標系，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標系，

因為正方形的邊長為2,所以。（2,2）,。（0,2）,

因為祝=(2—x,2—y),而=(一Z2-y),

所以就.而=T(2—x)+(2_y)2=(x_l)2+(y_2)2_],

因為04x,y42,所以-14x-lWl,-24y-2K0,

因此祝.礪=(x—l)2+(y—2產(chǎn)一141+4—1=4,當且僅當x=0,2,y=0時取等號,

3__一一,、

故選：D5.在△48C中，cosA=-,。為aABC1的內(nèi)心，^AO=xAB+yAC（xtyeR）,則x+y的最大值

為（）

A26-瓜7-778-2x/2

A?二oR.----------Cr.---------1nJ.----------

3567

【答案】D

【解析】

【分析】

146）AO

設(shè)而=4布="麗+心正，根據(jù)三點共線可得x+y=：=*=.八=八,結(jié)合圖像分析運算.

XADAO+OD

【詳解】

加圖：圓O在邊A及8cl?的切點分別為連接。瓦。廠,延長AO交AC于點。

設(shè)N0A8=。，則854=8526=1-25皿2。=3,貝ijsin?="

44

]§：AD=AAd=AxAB+AyAC

???氏DC三點共線，則"+心=1,即x+y=：

\AOAOAO11118-272c/6

—==--------W---------=-------=-------=-------==-=-------8-2U2

2ADAO+ODAO+OF[+”]+笠1+sin。&7n^x+y^―--

AOAO1+彳7

故選：D.

6.在矩形ABC。中,AB=i,AD=2f動點尸在以點A

為圓心的單位圓上.若Q=a瓦+〃亞(4〃wR),則4+〃的最大值為()

A.3B.x/5C.@D.2

2

【答案】C【解析】

【分析】

cos0=2〃，

構(gòu)建直角坐標系，令Q=(cose,sine),。口0,2幻，根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標表示列方程組得

sin"%”

合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.

【詳解】

構(gòu)建如下直角坐標系：麗=(0,1),而=(2,0),令/=(cose,sin。)，6e[0,2萬),

cos。=2〃

sin=A

所以當sin(e+0)=i時，的最大值為它.

2

故選：c

7.已知單位向量入B滿足￡$=0,若(￡-@?,一")=0,并且;心+/,那么義+〃的最大值為(