2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義拓展三：空間向量中動點的設(shè)法(詳解版)

拓展三：空間向量中動點的設(shè)法

三目標(biāo)導(dǎo)航

立體幾何是高考必考的核心問題之一，每年都會考查一道大題，主要考查點線面位置關(guān)系的判定、體積問

題、空間角、動點問題.其中最復(fù)雜的是將動點加入到要考查的問題中，立體幾何中的動點問題因其能夠較

好地考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力而受到命題者青睞.求解此類動點問題采用向量法（坐標(biāo)法）

來求解可以避開復(fù)雜的中間分析過程，將待求目標(biāo)表示成變量的函數(shù)模型，借助函數(shù)求值域的方法求出最

值.

含'高頻考點

-（三）雙動點

'三知識梳理

知識點1空間向量可解決的立體幾何問題

用表示直線。力的方向向量，用m,n表示平面。的法向量

1、判定（證明）類

(1)線面平行：a//b<s>a//b

線面垂直：a±b<i>a±b（3）面面平行：而〃日

(4)面面垂直：=

2、計算類:

利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角：設(shè)直線/,機的方向向量分別為。涉，平面4尸的法向量分別為

m,n,則

①兩直線/,〃?所成的角為cos,，弓=

②直線/與平面a所成的角為。（Owesin。=cos（a,mam

③二面角a-/—力的大小為。（OWew〃）,|cosO|I=nMi-M?I

Imiln|

cos6=cos=gpr或cos6=—cos（而,耳=一露j（視平面角與法向量夾角關(guān)系而定）

④點到平面距離：設(shè)A為平面a外一點，p為平面a上任意一點，則A到平面?的距離為dA_a

即AP在法向量〃上投影的絕對值.

知識點2空間向量動點的設(shè)法

在立體幾何解答題中常常涉及點的存在性問題，即是否在某條線上存在一點，使之滿足某個條件，本

講主要介紹使用空間向量解決該問題時的方法與技巧：

1、理念：先設(shè)再求——先設(shè)出所求點的坐標(biāo)（x,y,z）,再想辦法利用條件求出坐標(biāo)

2、解題關(guān)鍵：減少變量數(shù)量——（x,y,z）可表示空間中的任一點，但題目中所求點往往是確定在某條線或

者某個平面上的，所以使用三個變量比較“浪費”（變量多，條件少，無法求解），要考慮減少變量的個數(shù)，

最終所使用變量的個數(shù)可根據(jù)如下條件判斷：

（1）直線（一維）上的點：用一個變量就可以表示出所求點的坐標(biāo)

（2）平面（二維）上的點：用兩個變量可以表示所求點坐標(biāo)

規(guī)律：維度=所用變量個數(shù)

3、如何減少變量：

（1）直線上的點（重點）：平面向量共線定理——若"〃Bom4eR使得￡=（2設(shè)問法）

例：已知A。,3,4）,網(wǎng)0,2,1）,那么直線4P上的某點/（x,y,z）坐標(biāo)可用一個變量表示，方法如下：

W=（x-l,y-3,z-4）,AP=（-l,-l,-3）——三點中取兩點構(gòu)成兩個向量

因為M在AP上，AM//AP=>AM=AAP——共線定理的應(yīng)用（關(guān)鍵）

x—1=-Ax=\-2

,y_3=-A=>,y=3-A,即Af（1—43—44—3兄）---僅用一個變量X表示

z—4=—32z—4—3A

注：①若點在x軸上可設(shè)點為（7,o,o）,若點在y軸上可設(shè)點為（0/0）,若點在z軸上可設(shè)點為（o,o,t）,注

意根據(jù)具體題目給出t的范圍。（點落在與％y,z軸平行的直線處理方式大致相同）

②若點在直線/上，且直線/在k。，平面上，則點的豎坐標(biāo)為o,若已知直線/上的兩點坐標(biāo)，除了使用

力設(shè)問法，還可以在X。）,平面上表示出直線/的方程，得到％，y的關(guān)系，則引入一個參數(shù)x（注意給出參

數(shù)的范圍）即可表示點的坐標(biāo)。（同理若直線在Mz,yoz平面上也適用，不適用于在空間中的斜線）

③若點在面上，有時也可利用向量共線定理解決。

（2）平面上的點：平面向量基本定理——若aB不共線，則平面上任意一個向量Z，均存在2,0GR,使

得：c=Mi+8b

例：已知A（l,3,4）,P（0,2,l）,Q（2,4,0）,則平面APQ上的某點M（x,y,z）坐標(biāo)可用兩

個變量表示，方法如下：AM=(x-l,y-3,Z-4),AP=(-l,-l,-3),Pe=(2,2,-l),

x—1=—A,+2/？x=1—^+2/？

故AM=AAP+^PQ即<y-3=—A4-2(3=><y=3—4+2/?

z—4=—3A—Pz=4—3/1—

考點精析

考點一動點的設(shè)法

（-）動點在x,y,z軸上

若點在X軸上可設(shè)點為0,0）,若點在）'軸上可設(shè)點為（0/0）,若點在Z軸上可設(shè)點為（0,0"）,注意

根據(jù)具體題目給出t的范圍。(點落在與x,y,z軸平行的直線處理方式大致相同)

【例1-1】在邊長為2正方體AG中:

(1)求證AC|_L平面4c3；

(2)求直線CC與平面6C4所成角的正弦值;

5

(3)線段AB上是否存在一點M(不與端點重合，使得二面角4-MC-G所成平面角的余弦值為

V26

若存在，求I的值，若不存在，請說明理由.

變式1：如圖，且AO=2BC,ADLCD>EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG>。6_1_平

ffiABCD,DA=DC=DG=2.

(1)若加為。尸的中點，N為EG的中點，求證：MN〃平面CDE；

C

(II)求二面角E-BC-F的正弦值；

(ID)若點P在線段。G上，且直線3尸與平面AZJGE所成的角為60。，求線段。尸的長.

變式2：(2019?天津卷)如圖，AE_L平面ABC。>CF//AE，AD//BC>ADLAB>AB=AD=1，

I)求證：〃尸〃平面AOE；

(II)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值

(IH)若二面角E-BD-F的余弦值為3>求線段CF的長.

(二)動點在雙9平面的直線上

若點在直線I上,且直線I在W平面上,則點的豎坐標(biāo)為0,若已知直線I上的兩點坐標(biāo)，除了使用；I設(shè)問法,

還可以在xoy平面上表示出直線/的方程，得到x，y的關(guān)系，則引入一個參數(shù)X(注意給出參數(shù)的范圍)

即可表示點的坐標(biāo)。(同理若直線在mz,yoz平面上也適用，不適用于在空間中的斜線)

【例1-2］如圖>在三棱錐P-4BC中，AB=BC=2y/2，PA=PB=PC=AC=4>。為AC的中點.

(I)證明：尸。_1_平面ABC；

R

(II)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

(三)動點在空間的斜線上

平面向量共線定理——若￡〃另=>三義eR,使得a="設(shè)問法)

【例1-3】在四棱錐P—ABCZ)中，平面平面ABCD,△尸AD為等邊三角形，AB^AD=^CD,

ABLAD,AB//CD,點M是尸C的中點.

(1)求證：M3〃平面E4O；

(2)求二面角尸—BC—O的余弦值；

PN

(3)在線段P5上是否存在點N,使得DV_L平面PBC?若存在，請求出=的值；若不存在，請說明理

由.

變式1：如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCO是菱形，PA=BD=6AB=26且PB=PD.

(1)證明：平面尸AC,平面ABCO；

片---------%

(2)若Q4_LAC,棱PC上一點M滿足求直線8D與平面43例所成角的正弦.

變式2：如圖，三棱柱ABC-45G中，側(cè)棱必，平面A5C,△MC為等腰直角三角形，ZBAC=9Q°,

且A6=A4=2,E,F分別是CC-BC的中點.

(I)若。是AA|的中點，求證：3。//平面AEF;

(H)線段4E(包括端點)上是否存在點使直線81M與平面AE尸所成的角為60°?若有，確定點M

的位置；若沒有，說明理由.

變式3：如圖，三棱柱4BC-ABC中，他1_側(cè)面8片。,，已知NCBG=90,BC=1,AB=ClC=2,點

E是棱G。的中點.

(1)求異面直線AE與80所成的角的余弦值;

⑵在棱C4上是否存在一點“，使得與平面AAE所成角的正弦值為Ml,若存在，求出署的值;

11CA

若不存在，請說明理由.

變式4：如圖，在四棱錐S-ABCQ中，側(cè)面SAZ)為等邊三角形，底面ABC。為等腰梯形，且AB=BC=CO=1,

AD=2,SA=SB

(1)證明：平面SADJ_平面ABC。；

TTDM

⑵若點M在棱叼上，且二面角M-M-D的大小為“求訴的值?

動點在面內(nèi)【例1-4】四棱錐5-ABC。中，SAJ?平面ABCD,底面四邊形A3CD為直角梯形，AB//CD,

AD1DC,SA=AD=DC=2,AB=1.

(0)求證：平面SAO_L平面SCO；

(E)求二面角S—BC-D的余弦值;

(0)例為SC中點，在四邊形ABC。所在的平面內(nèi)是否存在一點N,使得MNJ?平面SBD,若存在，求三

角形AZW的面積；若不存在，請說明理由.

變式1：已知四棱錐P-ABCD的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=#),BC=2AD=2,E為

(1)證明:平面P8OJ_平面ABC￡＞；

TT

⑵若PB=P＞改與平面AB。所成的角為“試問”在側(cè)面尸。內(nèi)是否存在一點M使得平面

PCO?”若存在，求出點N到平面48CZ)的距離；若不存在，請說明理由.

考點二與動點有關(guān)的最值問題

(-*)單個動點，動點坐標(biāo)含一個變量

對于單個動點的動態(tài)問題，一般是設(shè)出該動點的坐標(biāo)，如果該動點的坐標(biāo)只含有一個變量，則將目標(biāo)

函數(shù)表示成該變量的一元函數(shù)模型，借助函數(shù)求最值的方法求解.要特別注意變量的取值范圍.

【例2-1】如圖：正方體ABCQ-A耳GR的棱長為2,M,N分別為棱AB,BC的中點，若點P為線段AN

上的動點(不包括端點)，設(shè)異面直線GP與MN所成角為凡貝Ucos，的取值范圍是

【例2-2】已知，如圖四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZABC=60°,

AB=PA=2,PAL平面ABC。，E,M分別是BC,中點，點尸在棱PC上移動.

(1)證明：無論點尸在PC上如何移動，都有平面向，平面PA。；

(2)是否存在點尸，使得直線"'與平面PCD所成的角最大，若存在，試確定點下的位置.

變式1：如圖，在四棱錐P-A3CD中，PA_L底面ABC。，AD//BC,AB_LAP,點M在棱槽上，PM=2MB,

2

點N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

(1)若CN=2NP,。為/Y)的中點，求證：A,M,N,。四點共面;

(2)求直線PA與平面AMN所成角的正弦的最大值.

(二)單個動點，動點坐標(biāo)含兩個變量

對于單個動點的動態(tài)問題，一般是設(shè)出該動點的坐標(biāo)，如果該動點的坐標(biāo)含有兩個變量，則考慮兩個

變量的幾何意義，或者借助減元的思想減少變量.

【例2-3】如圖，在正四棱柱ABCO-AgCQ中，AB=3,M=4,P是側(cè)面BCG4內(nèi)的動點，且,

記AP與平面BCC向所成的角為巴貝!jtan。的最大值為()

25

C.2D.~9

變式1:已知直四棱柱ABC。-ABC。的高為4,底面邊長均為2,且ZBW=60。，尸是側(cè)面8CC內(nèi)

內(nèi)的一點，若。則”的最小值為.

（三）雙動點

對于雙動點問題，一般是設(shè)出其中一個較為簡單的動點的坐標(biāo)（此時含一個變量），對于另外一個較

為復(fù)雜點的坐標(biāo)，則不必設(shè)出，可以借助向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化，從而得到所需的向量（用坐標(biāo)表示，

此時還有一個變量）.最后將待求目標(biāo)表示成為含兩個變量的函數(shù)模型，借助完全平方式的性質(zhì)求出最值.

【例2-4】如圖，在菱形ABCD中，AB=2拒,Zfi4D=60°,沿對角線比）將折起，使點A,C之

間的距離為3應(yīng)，若P，。分別為線段BO,CA上的動點，則線段PQ的最小值為一.

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1、如圖所示，在三棱柱ABC—中，平面ABC,然=4。=6。=4,ZACB=90°,￡是

CG的中點.

（1）求直線A3與平面所成角的正弦值;

（2）在棱CG上是否存在一點P,使得平面R鉆與平面4BE所成二面角為45。？若存在，求出P點的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2、直三棱柱A3C-A/5/G中，ABLAC,且AC=AB=/L4/=2.

(1)求證A/8,5/C；

⑵M、N分別為棱CG、BC的中點，點尸在線段4小上，是否存在點P,使平面PMN與平面ABC所成

角的余弦值為坦，若存在，試確定點尸的位置，若不存在，請說明理由.

21

3、已知梯形BEEC如圖1所示，其中BF//EC,EC=3,BF=2,四邊形ABC。是邊長為1的正方形，

沿AO將四邊形EDAF折起，使得平面平面ABCD,得到如圖2所示的幾何

(1)求證：平面AEC，平面BOE；

(2)若點”在線段3。上，且E”與平面巫尸所成角的正弦值為邁，求線段的長度.

9

4、如圖，在三棱柱ABC-AAG中，四邊形A4CC是邊長為4的正方形，平面ABC_L平面MG。，

AB=3,BC=5

(1)求證：平面ABC

(2)求二面角\-BC.-B,的余弦值;

BD

(3)證明：在線段Bq上存在點。，使得AOJ.AB,并求百丁的值.

LJ?

題組B能力提升練

5、如圖，在四棱錐P—ABC。中，B4_L平面ABCD,ZABC=ZBAD=90°,AZ>=A尸=4,

AB=BC=2,“為PC的中點.

(1)求異面直線PO與所成角的余弦值;

(2)點N在線段AD上，當(dāng)AN為何值時，直線MN與平面PC。所成角的正弦值為立？

3

2

6、如圖所示，在三棱錐A—BCD中，側(cè)棱A6_L平面BCD,尸為線段50中點，ZBCD=-7T,Afi=3,

BC=CD=2.

(1)證明：。尸，平面4加％

⑵設(shè)。是線段4。上一點'二面角A-BQ-C的正弦值為乎'求篝的值.

7、如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AAt=AB=AC=\,ABrAC,M,N分別是棱CG，BC的中點，點尸

在線段4蜴上.

(1)當(dāng)直線PN與平面A，BC所成角最大時，求線段\P的長度;

⑵是否存在這樣的點尸'使平面衣與平面ACC所成的二面角的余弦值為當(dāng)'若存在'試確定點尸的位

置，若不存在，說明理由.

8、如圖，在直四棱柱AB8-ABCQ中，底面ABC。為菱形，NABC=60。,AA=AB=2.

⑴點尸為直線GC上的動點，求證：BDVA.P.

⑵點P為直線GA上的動點，求直線AC與平面所成角正弦值的最大值.

題組C培優(yōu)拔尖練

9、如圖，在四棱錐P—ABCD中，24_1面M。。.Q4=A5=AD=2,四邊形A6CD滿足4?_LAD,

BC//AD,3c=4,點/為PC中點，點E為8C邊上的動點

DM〃平面PAB.

2

(II)是否存在點E,使得二面角P-的余弦值為§?若存在，求出線段3E的長度；若不存在,

說明理由.

10、在四棱柱ABCD-A4GA中，底面A8CD是正方形，且BC=BB[=6,4,AB=N41Ao=60。.

(1)求證：BDA.CC,；

(2)若動點￡在棱G2上，試確定點E的位置，使得直線DE與平面3。瓦所成角的正弦值為立.

11、直四棱柱AB8-ABCA中，底面ABC。是邊長為4的正方

B

形，A4,=26.點M是側(cè)面8CC4內(nèi)的動點(不含邊界)，AM1MC,則AM與平面

BCC其所成角的正切值的取值范圍為.

12、已知正四棱柱ABC。-44G〃中，AB=2,A4,=6.若例是側(cè)面BCC￡內(nèi)的動點，且A〃_LMC,

則14加|的最小值為.

13、如圖，在四棱錐中，底面488為直角梯形，AD//BC,ZAQC=90,平面口，底面A8CO,

。為AO的中點，"是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=^AD=\,CD=B

(1)求證：平面"Q8"L平面PA。；

⑵若PM=3PC,求異面直線AP與BM所成角的余弦值；

⑶在線段PC上是否存在一點M,使二面角M-BQ-C大小為30?若存在，請指出點M的位置,若不存在,

請說明理由.

14、已知四棱錐P-43C。的底面A8CO是直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=C,BC=2AD=2,E為CD

R

的中點，PBYAE.

(1)證明：AEJ_平面

jr

(2)若依=尸。，尸C與平面458所成的角為二，試問〃在側(cè)面PC。內(nèi)是否存在一點N,使得BN,平面

PCD?若存在，求出3N的長度；若不存在，請說明理由.

15、如圖所示，四棱錐S-A8C。的底面為等腰梯形，ABAD^2ZABC=4AABD=\20°,二面角S—8D-A

為直二面角.

(1)求證：CD1SB

⑵若△S8C為等邊三角形,當(dāng)點M在棱5c上運動時,記直線SM與平面SAD所成角為。,

當(dāng)cos。最小時，求槳的值.

DC

拓展三：空間向量中動點的設(shè)法

三目標(biāo)導(dǎo)航

立體幾何是高考必考的核心問題之一，每年都會考查一道大題，主要考查點線面位置關(guān)系的判定、體積問

題、空間角、動點問題.其中最復(fù)雜的是將動點加入到要考查的問題中，立體幾何中的動點問題因其能夠較

好地考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力而受到命題者青睞.求解此類動點問題采用向量法（坐標(biāo)法）

來求解可以避開復(fù)雜的中間分析過程，將待求目標(biāo)表示成變量的函數(shù)模型，借助函數(shù)求值域的方法求出最

值.

含'高頻考點

-（三）雙動點

'三知識梳理

知識點1空間向量可解決的立體幾何問題

用表示直線。力的方向向量，用m,n表示平面。的法向量

1、判定（證明）類

(1)線面平行：a//b<s>a//b

線面垂直：a±b<i>a±b（3）面面平行：而〃日

(4)面面垂直：=

2、計算類:

利用空間向量求立體幾何常考查的夾角：設(shè)直線/,機的方向向量分別為。涉，平面4尸的法向量分別為

m,n,則

①兩直線/,〃?所成的角為cos,，弓=

②直線/與平面a所成的角為。（Owesin。=cos（a,mam

③二面角a-/—力的大小為。（OWew〃）,|cosO|I=nMi-M?I

Imiln|

cos6=cos=gpr或cos6=—cos（而,耳=一露j（視平面角與法向量夾角關(guān)系而定）

④點到平面距離：設(shè)A為平面a外一點，p為平面a上任意一點，則A到平面?的距離為dA_a

即AP在法向量〃上投影的絕對值.

知識點2空間向量動點的設(shè)法

在立體幾何解答題中常常涉及點的存在性問題，即是否在某條線上存在一點，使之滿足某個條件，本

講主要介紹使用空間向量解決該問題時的方法與技巧：

1、理念：先設(shè)再求——先設(shè)出所求點的坐標(biāo)（x,y,z）,再想辦法利用條件求出坐標(biāo)

2、解題關(guān)鍵：減少變量數(shù)量——（x,y,z）可表示空間中的任一點，但題目中所求點往往是確定在某條線或

者某個平面上的，所以使用三個變量比較“浪費”（變量多，條件少，無法求解），要考慮減少變量的個數(shù)，

最終所使用變量的個數(shù)可根據(jù)如下條件判斷：

（1）直線（一維）上的點：用一個變量就可以表示出所求點的坐標(biāo)

（2）平面（二維）上的點：用兩個變量可以表示所求點坐標(biāo)

規(guī)律：維度=所用變量個數(shù)

3、如何減少變量：

（1）直線上的點（重點）：平面向量共線定理——若"〃Bom4eR使得￡=（2設(shè)問法）

例：已知A。,3,4）,網(wǎng)0,2,1）,那么直線4P上的某點/（x,y,z）坐標(biāo)可用一個變量表示，方法如下：

W=（x-l,y-3,z-4）,AP=（-l,-l,-3）——三點中取兩點構(gòu)成兩個向量

因為M在AP上，AM//AP=>AM=AAP——共線定理的應(yīng)用（關(guān)鍵）

x—1=-Ax=\-2

,y_3=-A=>,y=3-A,即Af（1—43—44—3兄）---僅用一個變量X表示

z—4=—32z—4—3A

注：①若點在x軸上可設(shè)點為（7,o,o）,若點在y軸上可設(shè)點為（0/0）,若點在z軸上可設(shè)點為（o,o,t）,注

意根據(jù)具體題目給出t的范圍。（點落在與％y,z軸平行的直線處理方式大致相同）

②若點在直線/上，且直線/在k。，平面上，則點的豎坐標(biāo)為o,若已知直線/上的兩點坐標(biāo)，除了使用

力設(shè)問法，還可以在X。）,平面上表示出直線/的方程，得到％，y的關(guān)系，則引入一個參數(shù)x（注意給出參

數(shù)的范圍）即可表示點的坐標(biāo)。（同理若直線在Mz,yoz平面上也適用，不適用于在空間中的斜線）

③若點在面上，有時也可利用向量共線定理解決。

（2）平面上的點：平面向量基本定理——若aB不共線，則平面上任意一個向量Z，均存在2,0GR,使

得：c=Mi+8b

例：已知A（l,3,4）,P（0,2,l）,Q（2,4,0）,則平面APQ上的某點M（x,y,z）坐標(biāo)可用兩

個變量表示，方法如下：AM=(x-l,y-3,Z-4),AP=(-l,-l,-3),Pe=(2,2,-l),

x—1=—A,+2/？x=1—^+2/？

故AM=AAP+^PQ即<y-3=—A4-2(3=><y=3—4+2/?

z—4=—3A—Pz=4—3/1—

考點精析

考點一動點的設(shè)法

（-）動點在x,y,z軸上

若點在X軸上可設(shè)點為0,0）,若點在）'軸上可設(shè)點為（0/0）,若點在Z軸上可設(shè)點為（0,0"）,注意

根據(jù)具體題目給出t的范圍。(點落在與x,y,z軸平行的直線處理方式大致相同)

【例1-1】在邊長為2正方體AG中:

(1)求證AC|_L平面4c3；

(2)求直線CC與平面6C4所成角的正弦值;

5

(3)線段AB上是否存在一點M(不與端點重合，使得二面角4-MC-G所成平面角的余弦值為

V26

若存在，求IAMI的值，若不存在，請說明理由.

【解析】(D以點A為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

40,0,0),0(2,2,2),4(2,0,2),C(2,2,0),￡),(0,2,2)

ACi=(2,2,2),B^C=(0,2,-2),的=(-2,2,0)設(shè)平面B.CD,的法向量為萬=(x,y,z)

2y-2z=0

，則無=(1,1,1)

-2x+2y=0

又超=2萬，ACJ/n

則AG_L平面與C2

(2)CCi=(0,0,2)

CCi-n二|品昌則直線cc,與平面B.CD,所成角的正弦值為辛

'肥西

(3)設(shè)痂=4礫0”<1,5(2,0,0),則M(2Z0,0)

即福=(2,0,0),說=(2/1,0,0),電=(2/1,0,-2),而=(2,2,-2)

GW=(22-2,-2,0),Cq=(0,0,2)

設(shè)平面的法向量為*=（N，X，ZJ

J4M?4=0f2/tXj-2Zj=0

，則]=(L/l—LX)

[AjC-zij=02%j+2yt—2zt=0

同理可得出平面MC}C的法向量為2=（1,%-1，0）

__________1+(__1)2__________

|cos(萬”為)==，=即12；12+/1一1=0,解得4=一:（舍），九=!

I7I+M-I)2+A2-7I+(>L-I)2V263-4

即存在\AM|=|使得二面角A-^C-C,所成平面角的余弦值為會

變式1：如圖，AD//BC且AD=2BC,ADVCD，EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG>OGJ_平

ffiABCD,DA=DC=DG=2.

I）若M為C尸的中點，N為EG的中點，求證：MN〃平面CDE；

（II）求二面角E-BC-F的正弦值；

（III）若點P在線段OG上，且直線BP與平面AZJGE所成的角為60。，求線段。尸的長.

【解析】（I）證明：依題意以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以示、或、反;的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立

空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

可得。(0,0,0),4(2,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),E(2,0.2),F(0,1,2),

，1)'N(l，0,2).

G(0,0,2),

依題意，Dt=(0,2,0),防=(2,0,2).

設(shè)m)=(x,y,z)為平面COE的法向量，

"o?反'=2y=0?

t不妨令z=-1,可得"o=(l,0,—1),

{no-DE=2x+2z=O'

3

又加=(1,—2?1),可得向兒〃o=0.又因為直線MNC平面CDE，

所以MN〃平面CDE.

(H)依題意，可得成■=(-1,0,0)>Bk=(l,-2,2),肆=(0,-1,2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量，

n-Bt=—x=0'

則不妨令z=l,可得"=(0,1,1).

n-Bi=x—2y+2z=0

設(shè)桁=(x,y,z)為平面BCF的法向量，

m?前=—x=0>

則’-不妨令z=l,可得，”=(0,2,1).

jtfCF=—y+2z=0'

nrn3^1^

因此有cos{m,n)=而而=10,

yio

于是sin{m,n)=1().

Vio

所以二面角E-BC-F的正弦值為io.

(HI)設(shè)線段OP的長為//G/0,2/)，則點尸的坐標(biāo)為(0,0,h),

可得勵=(-1,-2,%)，而應(yīng)=(0,2,0)為平面AOGE的一個法向量,

一呼虎|2

故總〈昉，.〉尸防便「訴行

2_亞亞

由題意，可得亞行=5加60。=2，解得％=3G[。，2].

更

所以線段。尸的長為3.

變式2：(2019?天津卷)如圖，AEJ_平面ABCD，CF//AE，AD//BC-ADA.AB，AB=AD=i>

(II)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

1

(ID)若二面角E-BD-F的余弦值為5>求線段CF的長.

【解析】依題意，建立以4為原點，分別以油，Ab，油的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角

坐標(biāo)系（如圖），則4（0>0>0）1B（\，0，0），C（1，2，0），。（0，1，0），E（0>0'2）.設(shè)CF=h（h>Q）>則

（I）證明：依題意14^=（1?0>0）是平面ADE的法向量1又肝=（0'2'h）'可得呼-W&=0,又因為

直線8Ht平面ADE，所以8尸〃平面ADE.

（U）依題意，Bb=（~l，1，0），>0>2）?Cfe=（-1，-2>2）.

\n-Bb=0，

設(shè)M=（X，j，z）為平面BDE的法向量，則

〃?施=0>

—x+j=0，

即-x+2z=0，不妨令z=l'可得”=(2*2,1).

電“4

因此有cos〈注“〉=鬲了-

4

所以直線CE與平面8OE所成角的正弦值為祝

（田）設(shè)m=（x，j，z）為平面BDF的法向量，

—X+J=0，

則?。?1，

nvBp—2y-\-hz=Q'

2

可得m=(\>1>—h)>

2

依山|4-—I1

由題意'|cos{m'n)|=|/?|.|H|=I4=3

3*72+必

8

解得〃=，.經(jīng)檢驗，符合題意.

8

所以線段CF的長為不

（二）動點在工。）‘平面的直線上

若點在直線/上，且直線/在%。）'平面上，則點的豎坐標(biāo)為0,若已知直線/上的兩點坐標(biāo)，除了使用

力設(shè)問法，還可以在北少平面上表示出直線/的方程，得到％，y的關(guān)系，則引入一個參數(shù)x（注意給出參

數(shù)的范圍）即可表示點的坐標(biāo)。（同理若直線在wz,yoz平面上也適用，不適用于在空間中的斜線）

【例1-2]如圖，在三棱錐P-A5C中，AB=BC=2y[2>PA=PB=PC=AC=4>。為AC的中點.

（II）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

【解析】（I）證明：因為PA=PC=AC=4，。為4c的中點，所以P0J_4C，且尸。=2巾.連接OB>因為

S1

AB=BC=2AC＞所以A45c為等腰直角三角形，且OB±AC，OB=iAC=2.

所以PO2+OB2=PB2，所以PO±OB.

又因為O8ruc=。，所以PO_L平面ABC.

以。為坐標(biāo)原點，仍，流，舁的方向分別為X軸、y軸、z軸正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),4(0,-2,0),C(0，2，0),P(0,

0,2aA>=(0,2,2^3).

取平面RIC的一個法向量加=(2,0,0).

設(shè)M(a,2-a,0)(0Va=2)，貝!|堿=(a,4~a,0).

設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z)?

A>n=0，j2y+2小z=0，

由[而.〃=()，得(4-")產(chǎn)。，

令y=，5a,得z=-a,x=y/3(a—4),所以平面RIA1的一個法向量為〃=[5(。-4),y/3a,—a]9

2小(。一4)

所以cos(彷，加=2/(a—4)2+3/+了

Y亞

由已知可得|cos{OB?n)1=2'

、2由HIV5

所以(a—4)2+3a2+a2-2，

4

解得a=3或a=-4(舍去).

8巾4^34

所以M=(—3*31—3)-

8/8小

3+3亞

又網(wǎng)'=(0)2*—273))所以cos限'it)——/641616=4.所以PC與平面PAM所成角

14+12,3+3+9

亞

的正弦值為4.

方法二：建立以。為坐標(biāo)原點，。8,。。,。尸分別為犬》*軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A((),-2,0),

m0,273),C(0,2,0),B(2,0,0),設(shè)麗=2前=(-22,2/1,0)(04幾Vl),則

AM=BM-BA=(-2A,,24,0)-(-2,-2,0)=(2-2A,22+2,0),

則平面PAC的法向量為m=(1,0,0),

設(shè)平面MPA的法向量為=(x,%z),則PA=(0,-2,-26),

n-PA=-2y-2-j3z=0,n-AM=(2—24)x+(24+2)y=0,

(4+1)6

令z=1,貝!Jy=一x=

1-2

°J3

—面角M—PA—C為30°9cos30=i_..?—---

rrH29

即_____一=B,解得八！或2=3(舍),

J(丁卜石產(chǎn)+1+3xl2

設(shè)平面MR4的法向量萬=(2>/3,-V3,l),PC=(0,2,-2^),

...訪_?|-2石-2百|(zhì)4>/3石

設(shè)尸C與平面小例所成的角為0，貝!pn'=|cos<PC,n>\=^==-^=^=—=—

所以尸C與平面出〃所成角的正弦值為3.

平面向量共線定理——若a//b=>弘eR,使得￡=篇"設(shè)問法)

【例1-3】在四棱錐P—ABCZ)中，平面力山，平面ABC。，APAD為等邊三角形,AB=A￡>=:C。，

2

ABrAD,AB//CD,點M是PC的中點.

C(1)求證：MB〃平面相O；

B

(2)求二面角尸—BC—。的余弦值；

PN

(3)在線段尸8上是否存在點N,使得。N_L平面尸8C?若存在，請求出——的值；若不存在，請說明理

PB

由.

【解析】(1)取尸。中點"，連結(jié)M",AH.因為M為PC中點，所以HM//CD,HM=-CD.

2

因為所以且所以四邊形A8MH為平行四邊形，

2

所以BM//AH.

因為BMC平面PAD,AHu平面PAD,所以3M〃平面PAD.

(2)取AO中點0,連結(jié)尸O.因為《4=尸。，所以P0L4。.

因為平面%￡>"￡平面A8CD,平面RIOn平面4BCD=A。，POu平面R1O,所以PO_L平面ABCD.

取BC中點K,連結(jié)OK,貝?。?K〃A3.

以。為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A5=2,

則4(1,0,0),8(1,2,0),。(一1,4,0),力(一1,0,0)/倒,0,右)，

BC=(-2,2,()),而=(1,2,—石),，則平面BCD的法向量9=((),(),有)，

設(shè)平面P5c的法向量3=(x,y,z),

BCn=Q,-2x+2y=0

由,一,得〈廠令1=1,則

PBn=Qx+2y-J3z=0.

3

n=(1,1,5/3).cos<OP,n>=_O_P_n_______叵

\OP\\n\~y/3xy/5~5,

由圖可知，二面角尸-BC-。是銳二面角,

所以二面角P-8C-O的余弦值為史

5

(3)在線段尸8上是不存在點M使得。平面PBC.

設(shè)點N(x,y,z),且=,則麗=彳而，所以(x,y,z-G)=九(1,2,-出).則

PB\7