人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第七章復(fù)數(shù)教案

7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第七章《復(fù)數(shù)》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念。

本節(jié)課數(shù)系的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時是數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的客觀需求,狂數(shù)的引入是

中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充。

《課標(biāo)》將復(fù)數(shù)作為數(shù)系擴(kuò)充的結(jié)果引入,體現(xiàn)了實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用,

以及數(shù)系擴(kuò)充過程中數(shù)系結(jié)構(gòu)與運(yùn)算性質(zhì)的變化，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生體會理論產(chǎn)生與發(fā)展的過

程，認(rèn)識到數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展既有來自外部的動力，也有來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的動力，從而形成正確的數(shù)學(xué)觀;有助于發(fā)

展學(xué)生的全新意識和創(chuàng)新能力。

復(fù)數(shù)的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中的傳統(tǒng)內(nèi)容.對于復(fù)數(shù)，《課標(biāo)》要求在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體

會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作

用以數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系;理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件;了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何

意義:能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A、了解數(shù)系的擴(kuò)展過程以及i的引入；1.數(shù)學(xué)抽象：，的規(guī)定以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；

B、理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念；2.邏輯推理：復(fù)數(shù)相等；

C、掌握好數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的條件。3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：好數(shù)相等求字母的值；

4.直觀想象：熟悉的擴(kuò)充。

教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點：對i的規(guī)定以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念。

2.教學(xué)難點：復(fù)數(shù)概念的理解。

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新

1.對數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程進(jìn)行概括(教

師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡明扼要的概括和總結(jié))

①10:3=?

②3-5=?通過復(fù)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)

③正方形的面積是2,求該正方形的邊長充過程，引入本節(jié)

新課。建立知識問

④求方程一+1=°的解。

的聯(lián)系，提高學(xué)生

概括、類比推理的

能力。

思考：我們知道，對于實系數(shù)一元二次方程，+1=°,沒有實數(shù)

根.我們能否將實數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得

到圓滿解決呢？通過思考，引

入虛數(shù)單位，提高

【分析】引入新數(shù),，并規(guī)定:學(xué)生分析問題、概

括能力。

(2)實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的

加、乘運(yùn)算律仍然成立.

?叫做虛數(shù)單位。

(-)復(fù)數(shù)的概念

形如"砥〃、Z^R)的數(shù)叫做兔數(shù)，

全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般月字母C表示。

(二)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+萬(八bsR)

其中。叫復(fù)數(shù)z的,b叫復(fù)數(shù)z的o

【答案】實部虛部

練一練：

把下列式子化為。+從(縱beR)的形式，并分別指出它們的實部和

虛部

(1)2-/=:(2)-2/=：

(3)5=；(4)0=o通過練習(xí)題鞏固復(fù)

【答案】⑴2-i=2+(-i),實部2,虛部-1；數(shù)的形式，提高學(xué)

(2)-2/=0+(-2)i,實部0,虛部2生解決問題的能

(3)5=5+0/,實部5,虛部0；力。

（4）0=0+0/,實部0,虛部0。

思考：根據(jù)上述幾個例子，復(fù)數(shù)z=a+bi可以是實數(shù)嗎？滿足什么

條件？

【答案】b=0時，復(fù)數(shù)為實數(shù)。

（三）、復(fù)數(shù)的分類

r實數(shù)（

復(fù)數(shù)純虛數(shù)（）

Zp=aHn

虛數(shù)（廣

.非純虛數(shù)（）

試一試：

1、下列數(shù)中,6182..2

實就9萬?、?甲8。，

虛數(shù)有'f；

其中純虛數(shù)是。

【答案】實數(shù)：2+77,0.618,0,/2；虛數(shù)：

通過練習(xí)題，進(jìn)一

步鞏固復(fù)數(shù)的分

-Z,3-9V2ZJ（1-V3）^4-8；純虛數(shù)：-Z,Z（1-V3）

77類，提高學(xué)生概括

2、判斷下列命題是否正確：問題的能力。

（1）若心匕為實數(shù)，則Z=a+例為虛數(shù)。

（2）若b為實數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)。

（3）若。為實數(shù)，則Z=a一定不是虛數(shù)。

【答案】（1）錯（2）錯⑶對

例1、實數(shù)m分別取什么值時，復(fù)數(shù)z=/n+14-（w-l）z是

⑴實數(shù)；⑵虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。

【解析】

解:（1）當(dāng)即析=】時，女?dāng)?shù)意足實數(shù)?

（2）當(dāng)m-1X0.即時，復(fù)數(shù)之是虛敷?

（3）為，”+|-0.][”j—]￥o,即用1時，”數(shù)n是純電數(shù).

通過例題、練習(xí)

練習(xí)：當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)題進(jìn)一步鞏固復(fù)數(shù)

的分類，提高學(xué)生

z-w2+m-2+（m2-l）ifim€R,

的概括問題的能

是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）零。力、解決問題的能

力。

【解析】（1）當(dāng)加2-1=0即加=±1時，復(fù)數(shù)Z為實數(shù)；

（2）當(dāng)相2—1。0即加0±1時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)；

0

（3）當(dāng)《m~+，1/1—2=即m=-1時，史數(shù)Z為純虛數(shù);

/一I/O

2

(4)當(dāng)F:〃L2=0即團(tuán)=]時，復(fù)數(shù)z為零。

(四)、復(fù)數(shù)相等

如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)通過例題的講解，

相等.讓學(xué)生進(jìn)一步理解

復(fù)數(shù)相等的概念，

若4、b、c、dGR,a+bi=c+dia=c且b=

提高學(xué)生解決與分

注意：兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小。但兩個實數(shù)析問題的能力。

可以比較大小。

例2已知(2彳.1)+2=y_(3_y)i,其中K、y€R,求X與y的

值。

【解析】由已知得I'一]二＞,解得工=2S,y=4。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.判斷正誤

(1)若小6為實數(shù)，則Z=〃+歷為虛數(shù).()

(2)復(fù)數(shù)i的實部不存在，虛部為0.()通過練習(xí)鞏固本節(jié)

(3)”是純虛數(shù).()所學(xué)知識，通過學(xué)

(4)如果兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復(fù)生解決問題的能

數(shù)相等.()力，感悟其中蘊(yùn)含

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)^的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)

2.已知復(fù)數(shù)z=〃一(2—b)i的實部和虛部分別是2和3,則實數(shù)小學(xué)生的應(yīng)用意識。

b的值分別是()

A.,1B.,5C.±,5D.±,1

▲.■一a2=2.

【答案】C【解析】令-2+b=3,得〃=±，力=5.

3.已知丁一則實數(shù)x,y的值分別為________.

x=1[x=-1

【答案】i或,

ly=i3=-1

【解析】???f—)a+2xyi=2i,

A2—y25，[x=1,A-=-1,

???4c解得i或

.2孫=2,b=i,J=.l.

4.實數(shù)/力分別取什么數(shù)值時，亞數(shù)Z=（用2+5/n+6)+(/?-2〃?一15)i

(1)5目取;（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）是0?

【解^5]由加2+56+6=0得，m=—2或，n=-3,由a2-2/〃一15

=0得m=:5或6=-3.

⑴三自加2—2，〃-15=0時，復(fù)數(shù)z為實類3，機(jī)=5或一3.

⑵三自加2—2加一15r0時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)m/5且小羊―3.

m2—2w—15^0,

⑶三r區(qū)+5機(jī)+6=。時'好數(shù)z；是純虛數(shù)，.,.機(jī)=-2.

m2-2m-15=0,

⑷得早蘇+5加+6=。時‘復(fù)數(shù)z是0,m=-3.

四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生

一、數(shù)系的擴(kuò)充；進(jìn)一步鞏固本節(jié)所

二、復(fù)數(shù)有關(guān)的概念：學(xué)內(nèi)容，提高概括能

1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)

2、復(fù)數(shù)的實部、虛部：運(yùn)算能力和邏輯推

3、虛數(shù)、純虛數(shù)；理能力。

4、復(fù)數(shù)的相等。

五、作業(yè)

習(xí)題7.12,3題

教學(xué)反思

1、教師要精心設(shè)計合作的學(xué)習(xí)內(nèi)容

教師課前要花充足的時間，鉆研教材，把握教學(xué)重點、難點,充分認(rèn)識每個學(xué)生的特長與不足。要有針對性

課前預(yù)設(shè)，精心選擇有價值的問題或練習(xí)，提高小組合作學(xué)習(xí)質(zhì)量。并不是所有的教學(xué)內(nèi)容都適合小組合作學(xué)

習(xí)，對于那些開放性的練習(xí)，在學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考之后，再進(jìn)行小組交流，這個過程讓學(xué)生感受到與人合作的快

樂。

2、在合作過程中給學(xué)生足夠的思維時間和空間

合作學(xué)習(xí)之前學(xué)生先獨(dú)學(xué)，有了初步想法后再探究、交流，共同解決問題。這樣做給不愛動腦思考或?qū)W習(xí)

有一定困難的學(xué)生提供進(jìn)步的機(jī)會，讓他們能有話可說，提高討論效率。對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是有很大幫助

的。

【新教材】7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

教學(xué)設(shè)計（人教A版）

教材分析

復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個初步

的、完整的認(rèn)知，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的

過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)：

1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系；

2.掌握實軸、虛軸、模等概念；

3,掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：狂平面及復(fù)數(shù)的幾何意義的理解；

2.邏輯推理：根據(jù)平面與向量的關(guān)系推出復(fù)數(shù)與向量的一一對應(yīng)及復(fù)數(shù)模公式；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點一一對應(yīng)求參數(shù)和求復(fù)數(shù)的模；

4.數(shù)學(xué)建模：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，多方位了解復(fù)數(shù)的幾何意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重難點

重點：理解復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點及向量.

難點：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點及向量.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入

提問：實數(shù)可以與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，類比實數(shù)，復(fù)數(shù)能與什么一一對應(yīng)呢?

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本70?72頁，思考并完成以下問題

1、復(fù)平面是如何定義的，復(fù)數(shù)的模如何求出？

2、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實數(shù)還是虛數(shù)？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.復(fù)平面

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

jixF而

⑴復(fù)數(shù)z=a+〃i(a,b￡R)<------------------?復(fù)平面內(nèi)的點b).

（2）復(fù)數(shù)z=a+歷（a,（￡R）?一一對應(yīng)，平面向量0Z.

［規(guī)律總結(jié)］實軸、虛軸上的點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為（。,0）,它所

確定的復(fù)數(shù)是z=O+Oi=O,表示的是實數(shù).

3.復(fù)數(shù)的模

>

⑴定義：向量0Z的模廠叫做復(fù)數(shù)z=a+bi（〃，b￡R）的模.

⑵記法：復(fù)數(shù)z=a+bi的模記為|z|或|a+bi|.

（3）公式：團(tuán)=|。+加=/=后工P（9，r￡R）.

四、典例分析、舉一反三

題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)關(guān)系

例1求實數(shù)。分別取何值時，復(fù)數(shù)2=下5一+伍2一2-15)i(“￡R)對應(yīng)的點Z滿足下列條件:

(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).

(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.

【答案】(1)〃V—3.(2)〃>5或aV—3.

/一，一6

【解析】(1)點Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，貝小〃+3<'解得。<一3.

02—2。-15>0,

[a2-2a—15>0,

(2)點Z在x軸上方，則，,即(〃+3)3—5)>0,解得a>5或“V—3.

3+3和，

解題技巧(利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)的解題步驟)

(1)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系的實質(zhì)是：愛數(shù)的實部就是該點的橫坐標(biāo)，虛部就是該點的縱坐標(biāo).

(2)已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點滿足的條件求參數(shù)取值范圍時，可根據(jù)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，建立復(fù)

數(shù)的實部與虛部滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.

跟蹤訓(xùn)練一

1、實數(shù)x取什么值時，匆:平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=f+x—6+Q2—2x—15)i的點Z：

(1)位于第三象限；(2)位于直線x—y—3=0上

【答案】(1)-3a<2.(2)x=-2.

【解析】因為x是實數(shù)，所以/+工一6./一射一15也是實數(shù).

f+x-6<0,

(1)當(dāng)實數(shù)x滿足Lc,,八即一3a<2時，點Z位于第三象限.

Jr—2x—15<0,

(2)當(dāng)實數(shù)x滿足(f+x—6)—-21—15)—3=0,即3%+6=0,X=—2時，點Z位于直線工一)，-3=0上.

題型二復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系

---?---?---?

例2已知平面直角坐標(biāo)系中。是原點，向量04,05對應(yīng)的復(fù):數(shù)分別為2—3i,—3+2i,那么向量8A對

應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.-5+5iB.5-5iC.5+5iD.-5一5i

【答案】B.

【解析】向量OA,0B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,—3+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得向量0A=(2,

---?

-3),0B=(-3,2).

>),

由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量BA=OA-OB=(2+3,—3—2)=(5,—5),根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的

--->

點一一對應(yīng)，可得向量84對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-5L

解題技巧：(復(fù)數(shù)與平面向量對應(yīng)關(guān)系的解題技巧)

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點在原點時，句量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向

量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.

(2)解決復(fù)數(shù)與平面向里一一對應(yīng)的題目時，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復(fù)數(shù)、

復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練二

1、在復(fù)平面內(nèi)，A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,—1+2i.

-----?----->----?

U)求向量AB,AC,8c對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

：2)若A8CO為平行四邊形，求。對應(yīng)的復(fù)數(shù).

>------?>

【答案】(1)AB,AC,5c對應(yīng)的兔數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+i.

(2)。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.

【解析】(1)設(shè)。為坐標(biāo)原點，由復(fù)數(shù)的幾何意義知：

--->---?--->--->--->

0A=(1,0),OB=(2,1),0。=(一1,2),所以?=OB—QA=(1,1),

-----?----->-----?----?----->

~AC=OC~OA=(-2,2),BC=OC~OB=(-3,1),

I>>----->

所以AB,AC,對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,—2+2i,—3+i.

(2)因為48co為平行四邊形，所以AO=8。=(-3,1),

。力=04+AD=(L0)+(-3J)=(-2J).所以O(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i

題型三復(fù)數(shù)模的計算與應(yīng)用

例3設(shè)復(fù)數(shù)4=4+3，/2=4-3九

(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)4*2對應(yīng)的點和向量；(2)求復(fù)數(shù)4*2的模，并比較它們的模的大小.

【答案】⑴圖見解析，4，Z2對應(yīng)的點分別為對應(yīng)的向量分別為°Z|,°Z2⑵㈤=5,

閆=5㈤玉|

【解析】(1)如圖，復(fù)數(shù)馬/2對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,對應(yīng)的向量分別為西，西.

2222

(2)|Z1|=|4+3Z|=V4+3=5?|z21=|4-3/1=74+(-3)=5.所以憶|:卜|.

例4設(shè)zwC，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為Z,那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

(1)|z|=l；(2)1<|z|<2.

【答案】(1)以原點。為圓心，以1為半徑的圓.

(2)以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.

【解析】(1)由Iz|=l得，向量反的模等于1,所以滿足條件|z|=1的點Z的集合是以原點。為圓心,

以1為半徑的圓.

z<2,

（2）不等式l<|z|<2可化為不等式

z>1.

不等式|z|<2的解集是圓|z|=2的內(nèi)部所有的點組成的集合,

不等式Iz|>1的解集是圓Iz|=1外部所有的點組成的集合,

這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件l<|z|<2的點Z的集合.容易看出，所求

的集合是以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界（如圖）.

解題技巧（與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的解題技巧）

（1）復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實數(shù)，因此復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小.

⑵根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式|。+歷|=，齊*可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決.

⑶根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義|z|=|0Z\t可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為向量模（即兩點的距離）的問題解決.

跟蹤訓(xùn)練三

1、已知復(fù)數(shù)z=a+bi（〃￡R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且|z|=2,則愛數(shù)z等于

（）

A.-1+V3iB.]+小j

C.-1+小1或1+小1D.-2+小i

【答案】A.

+3=4,_

【解析】由題意得解得。=-1.故z=-l+小i.

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧

六、板書設(shè)計

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

L復(fù)平面例1例2例3例4

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

七、作業(yè)

課本73頁練習(xí)，73頁習(xí)題7.1的剩余題.

教學(xué)反思

本節(jié)重在研究復(fù)數(shù)的幾何意義，顧名思義就是從平面和向量兩方面研究復(fù)數(shù)，得出其幾何意義，內(nèi)容比

較抽象，學(xué)生理解起來有一定難度。所以本節(jié)課定要提前安排好預(yù)習(xí)工作，應(yīng)采用誘思探究式教學(xué)，逐層撥

開其真實面目，讓學(xué)生達(dá)到融會貫通的目的.

【新教材】7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾

何意義教學(xué)設(shè)計（人教A版）

教材分析

復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章的重點，更數(shù)代數(shù)形式的加法的運(yùn)算法則是一種規(guī)定，兔數(shù)的減法運(yùn)算法則是通

過轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的素材.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)：

L掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則；

2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義;

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算；復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及有其幾何意義求相關(guān)問題；

3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用.

教學(xué)重難點

重點：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義.

難點：力"、減運(yùn)算及其幾何意義.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練.

教學(xué)工具：多媒體.

教學(xué)過程

二、情景導(dǎo)入

提問：1、試判斷下列更數(shù)1+4;-2，,6了,-2-0/；7。0,0-3/.在復(fù)平面中落在哪象限？并畫出其對應(yīng)的

向量。

2、同時用坐標(biāo)和兒何形式表示復(fù)數(shù)4=1+4/?與Z?=7-2/?所對應(yīng)的向量，并計算鬲+應(yīng);。

3、向量的加減運(yùn)算滿足何種法則？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本75-76頁，思考并完成以下問題

1、復(fù)數(shù)的加法、減法如何進(jìn)行？復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義如何？

2、復(fù)數(shù)的加、減法與向量間的加減運(yùn)算是否相同？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則

⑴設(shè)4=。+歷，Z2=c+$是任意兩個復(fù)數(shù)，則

①zi+Z2=Q+c)+S+tZ)i；

@Z\—Z2=(4—c)+(b—Ji.

(2)對任意Z1,Z2,z3ec,有

①Z1+Z2=Z2+Z1；

②(z1+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

2.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義

圖3-2-1

如圖3-2-1所示，設(shè)復(fù)數(shù)zi，Z2對應(yīng)向量分別為0乙，0Z2，四邊形0ZZZ2為平行四邊形，向量。Z與復(fù)

—>

數(shù)Z1+Z2對應(yīng)，向量Z2Z1與復(fù)數(shù)Z1—Z2對應(yīng).

思考：類比絕對值拉一即|的幾何意義，|z-zo|(z,zo￡C)的幾何意義是什么？

提示Iz-zo|(z,為￡C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點Z到點Zo的距離.

四、典例分析、舉一反三

題型一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算

例1計算：

(l)(-3+2i)-(4-5i)；

(2)(5-6i)+(—2—2i)—(3+2i)；

(3)(a+bi)+(2。-3加)+4i(a,Z?￡R).

【答窠】⑴-7+7i.(2)-10i.(3)%+(4—2b)i.

【解析】(1)(一3+2i)—(4-5i)=(-3—4)+[2—(一5)]i=-7+7i.

(2)(5—0)+(—2—2。一(3+2i)=[5+(—2)—3]+[(—6)+(-2)-2Ji=-10i.

(3)3+岳)+(2a-3bi)+4i=3+2a)+S-36+4)i=3a+(4-2b)i.

解題技巧(復(fù)數(shù)加減運(yùn)算技巧)

(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算實質(zhì)就是將實部與實部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果

的實部與虛部，因此要準(zhǔn)確地提取復(fù)數(shù)的實部與虛部.

Q)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項式的運(yùn)算(類似于合并同類項)：若有括號，括號優(yōu)先；若無括號，可以從

左到右依次進(jìn)行計算.

跟蹤訓(xùn)練一

1.計算：(l)2i-［3+2i+3(-l+3i)］；

⑵(a+3i)-(30-4加)-5i(。,bWR).

【答案】(1)一9i.(2)—24+(6A—5)i.

【解析】⑴原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-lli=-9i.

⑵原式=—Z?+6Z?i—5i=-2a+(6b—5)i.

題型二復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義

例2根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求匆:平面內(nèi)的兩點21(%1，%)乂2(不，月)1,瓦的距離.

［答案］［Z】Z2l=J(x1-x2y+(y1-y2y.

【解析】因為復(fù)平面內(nèi)的點Zi(%“i),Z2(%2，y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Zi=%i-yii,z2=x2+為上

所以ZiZ之間的距離為IZ1Z2I=|存|=|Zi-Z2|

=1(*1一％2)+仇一、2)1

=--2)2+(%—、2)2

解題技巧：(運(yùn)用復(fù)數(shù)加、減法運(yùn)算幾何意義注意事項)

向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用加

法"首尾相接”和減法”指向被減數(shù)”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù).注意向量對應(yīng)的

匆:數(shù)是Z-z(終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點對應(yīng)的復(fù)數(shù)).

BA

跟蹤訓(xùn)練二

1、已知四邊形ABCZ)是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點A,B,C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)一5—2i,-4+5i,2,求點

。對應(yīng)的復(fù)數(shù)及對角線AC,8D的長.

【答案】D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是l-7i,AC與BD的長分別是病和13.

【解析】如圖，因為AC與8。的交點M是各自的中點，所以有期=三/=衛(wèi)尹，

所以ZD=ZA+ZC-Z8=1—7i,

----?

因為AC:z。一ZA=2一(―5—2i)=7+2i,

所以IAC|=|74-2i|=^/72+22=V53,

----->

因為8。:ZD-ZB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i,

----->

所以IBD|=|5-12i|=^52+122=13.

故點。對應(yīng)的復(fù)數(shù)是l-7i,AC與3。的長分別是相和13.

題型三復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用

例3已知zWC,且|z+3-4i|=l,求|z|的最大值與最小值.

【答案】|z|max=6,|z|min=4.

【解析】由于|z+3-4i|=|z-(—3+4i)|=l,所以在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z

與復(fù)數(shù)一3+4i對應(yīng)的點。之間的距離等于1,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以。(一3,4)為圓心，半徑等于

1的畫.

而團(tuán)表示復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點Z到原點0的距離,又|00=5,

所以點Z到原點O的最大距離為5+1=6,最小距離為5—1=4.

即|zk?=6,|z|min=4.

解題技巧(復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算幾何意義的解題技巧)

(l)|z—z|表示復(fù)數(shù)z,z的對應(yīng)點之間的距離，在應(yīng)用時，要把絕對值號區(qū)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式.

00

(2)|z—z1=7?表示以z對應(yīng)的點為圓心，r為半徑的圓.

oo

(3)涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題，均可從兩點間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷,

然后通過幾何方法進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練三

1.設(shè)Z1，z2ec,已知|Z1|=|Z2|=1，|ZI+Z2|=A/5,求|ZI—Z2].

【答案]\Z]—Z2\=y[2.

【解析】設(shè)Z]=a+bi,Z2=c+「(a,b,ctd￡R),

由題設(shè)知。2+及=1,/+法=1,m+c)2+(b+①2=2,

又(a+c)2+S+t/)2=a2+勿0+/+/+264+1,

可得2ac+2仇7=0.

???|21—22|2=3-。)2+(方-6/)2=，+^+/+心一(2ac+2W)=2,

Z2|=A/2.

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧

六、板書設(shè)計

7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾何意義

1.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算例1例2例3

2.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算的幾何意義

七、作業(yè)

課本77頁練習(xí)，80頁習(xí)題7.2的1、2題.

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是在學(xué)生了解復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義的基礎(chǔ)上，類比實數(shù)的加減運(yùn)算法則探討得出復(fù)數(shù)

的加減運(yùn)算法則，類比平面向量的加減運(yùn)算法則探討得出復(fù)數(shù)加減的幾何意義，使學(xué)生對知識更加融會貫

通.

【新教材】7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

教學(xué)設(shè)計（人教A版）

教材分析

復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章的重點，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與多項式乘法是類似的，不同的是即必須在所得結(jié)

果中把i2換成一1,再把實部、虛部分別合并.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是通過分子分母同時乘分母的共趣復(fù)

數(shù)，將分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的素材.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)：

L掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算；

2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律；

3.理解且會求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則；

2.邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的推導(dǎo)；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算；

4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題.

教學(xué)重難點

重點：復(fù):數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.

難點；求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練.

教學(xué)工具：多媒體.

教學(xué)過程

三、情景導(dǎo)入

前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算，根據(jù)多項式的乘法、除法運(yùn)算法則猜測復(fù)數(shù)的乘法、除法滿足何種

運(yùn)算法則？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本77-79頁，思考并完成以下問題

1、復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則是什么？

2、復(fù)數(shù)乘法的多項式運(yùn)算與實數(shù)的多項式運(yùn)算法則是否相同？如何應(yīng)用共物復(fù)數(shù)解決問題？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

已知zi=a+=,Z2=c+知,小b,cfd￡R,則z/Z2=(a+bi)(c+㈤=(oc-M)+(ad+bc)i.

"是示］復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i?換成一1,再把實部、

虛部分別合并.

2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對于任意Z1，Z2，Z3eC,有

交換律ZrZ2=Z2'Zi

結(jié)合律(Z1-Z2)-Z3=ZI(Z2-Z3)

乘法對加法的分配律Z|⑵+z3)=Z"2+zrZ3

3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則

ac+bd,be—ad

3+bi)：(c+M)=+/+7】?,+&￥())

四、典例分析、舉一反三

題型一復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

例1計算下列各題.

(l)(l-2i)(3+4i)(-2+i)；(2)(2—3i)(2+3i)；(3)(1+i)2.

【答案】⑴-20+155⑵13.(3)2i.

【解析】(1)原式=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.

⑵原式=(2—i)(-1+5i)(3-4i)+2i=4-9i2=4+9=13.

(3)原式=1+2i+i2=1+2i-1=2i.

解題技巧(復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算技巧)

1.兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的--般方法

(1)首先按多項式的乘法展開.

⑵再將i?換成一1.

(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

2.常用公式

(l)3+bip=a2—廬+2abi(a,b^R).

(2)(a+bi)(a一方i)=d+廬伍，8￡R).

(3)(1土i)2=±2i.

跟蹤訓(xùn)練一

1.計算：(l—i)2—(2—3i)(2+3i)=()

A.2-13iB.13+2i

C.13-13iD.-13-2i

【答案】D.

【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.

2.若復(fù)數(shù)(l—i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—co,1)B.(—00,—1)

C.(1,+co)D.(-1>+oo)

【答案】B.

【解析】因為Z=(l—i)3+i)=a+l+(l-a)i,

所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為3+

。+