2022年江蘇新高二數(shù)學(xué)暑假教材知識點講練（蘇教版2019選擇性必修第一冊）第02講 玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題（解析版）

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題

今書【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

i.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所

成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細(xì)心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想。

3.掌握各種距離和距離的求解方法.

【基礎(chǔ)知識】

知識點1.求點線、點面、線面距離的方法

(1)若P是平面a外一點，。是平面a內(nèi)的一條直線，過P作平面a的垂線PO,O為垂足，過O作

OA_La,連接布，則以而_La.則線段用的長即為P點到直線。的距離(如圖所示).

巨____________/(2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直

線與平面的距離.

(3)求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.

知識點2.異面直線所成角的常用方法

求異面直線所成角的一般步驟：

(1)找(或作出)異面直線所成的角一用平移法，若題設(shè)中有中點，?？紤]中位線.

(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)⑵所求角大小為夕若(Tv〃＜90。，則。即為所求；若90。＜，＜180。，則180。-。即為所

求.

知識點3.直線與平面所成角的常用方法

求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟⑴確定斜線與平面的交點(斜足)；

⑵通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角：

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.

知識點4.作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則NAOB

為二面角Q-//的平面角.

圖①圖②圖③(2)垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面

與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖②，ZAOB為二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂線法：過二面角的一-個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為3,由點8向二面角

的棱作垂線，垂足為0,連接4。，則NA08為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③，NAOB為二面角a-l-Q

的平面角.

知識點5.求體積的常用方法

選擇合適的底面，再利用體積公式求解.

.【考點剖析】

考點一：異面直線所成的角

△1J1.在空間四邊形48co中，E,F,G,H分別是48,BC,CD,D4的中點，^AC=BD=2,

且AC與8。所成的角為60。，則EG的長為()

A.1或0B.0或6C.1或萬D.■或日

【答案】C

【解析】

【分析】

連接E凡FG,EG,根據(jù)異面直線所成角的意義，在AEFG中分情況計算作答.

【詳解】

A

連接E『，F(xiàn)G,EG,如圖,

依題意，EF//AC,FG//BD,且斯二』AC=1,/G=！8￡>=1,

22

因AC與跳）所成的角為60°,則NEFG=60?；騈EFG=120,

當(dāng)N￡FG=60。時，△曰7G是正三角形，EG=\,

當(dāng)/EFG=120時，EG=2EFcosNFEG=2cos30°=石，

所以EG的長為1或

故選:C

考點二；線面角

2.如圖，在三棱柱ABC-A夕C中，底面A8C是正三角形，44」底面4BC,且AB=1,A4r=2,

則直線BC與平面所成角的正弦值為

【答案】叵林1屈

1010

【解析】

【分析】

取A8的中點O,連接OCOB，則CC_L平面A'B'C,CO±A5，由4T〃C'C,得CO_LA4',從而ZCBO

是直線BC與平面ABffS所成角，由此能求出直線BC與平面4班W所成角的正弦值.

【詳解】

解t取的中點O,連接OCQA.

因為在三棱柱ABC-A8'C中，底面A8C是等邊三角形，且A4'_L底面A8C,

所以CC_L平面ABC,CO_LAfff,

因為/U'〃C'C，所以CO_LA4',

所以NCBO是直線BC與平面ABB^A所成角，

因為A8=1,A4，=2,

所以6C=>/i77F=6，co=R4,

亞/—/iT

所以sinNC50=C9=W=姮，所以直線8C與平面A8氏4'所成角的正弦值為"，

BCy[51010

故答窠為：叵.

10

二面角

ZABC=60°,E4_L平面A8CQ,PA=AB=2.

(2)求二面角尸-8-A的正弦值.

【答窠】(1)證明見解析

⑵乎

【解析】

【分析】

(1)作輔助線，證明AC_L8。，PAtBD，即證明8D_L平面秒1C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及可證明結(jié)論；

(2)取CQ中點為點F,連接AF,PE證明CD_L平面PAF,從而說明NA/f是二面角P-CD-A的平面角.解

直角三角形APF,即可求得答案.

(1)

證明：連接4C交于8。點0,

因為底面4BC乃是菱形，

所以ACJ.80.

又因為E41平面4BCD,平面A8CD,

PA1BD，

又因為PAC|AC=A,

所以6。，平面附。，PCu平面B4C,

所以2W)_LPC.

(2)

取C。中點為點凡連接ASPF,

因為底面488是菱形，ZABC=ZADC=60\

所以八48是等邊三角形，

所以AbJ_a>.

因為姑_L平面A8C￡>,CDu平面A8CD

所以以_LCO,

而PA^AF=

所以CO_L平面以凡尸產(chǎn)u平面附凡

所以C0J.P尸，

所以aSP是二面角尸-8-A的平面角.

因為AD=B4=2,則4廣=G,

因為R4J_AF,

所以尸尸=亞幣=近，

所以sinZA產(chǎn)P=3=2且.

幣7

所以二面角P-CD-A的正弦值為逆.

7

考點四：距離問題

在1例4.如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，A8_LBC,AA=AC,4B=2BC=2,E,尸分別是AG，48

的中點.

(1)證明：AE〃平面4cL.

⑵求點c到平面4G尸的距離.

【答案】(1)詳見解析.

⑵畫

6

【解析】

【分析】

(1)取4G的中點G,連接EG,FG,易得四邊形EG曲是平行四邊形，從而AE〃尸G,再利用線面平行

的判定定理證明；

(2)根據(jù)匕//=%/?，利用等體積法求解.

(1)

證明：如圖所示:

取6c的中點G,連接EG,FG,

則EG//AW,且EG=A產(chǎn)，

所以四邊形EGFA是平行四邊形,

所以4E//bG,乂平面4c7，"Gu平面&GF,

所以4E〃平面5c尸;

Q)

因為_LBC,乂AB2BB】B,

所以8C_L平面A83M，因為4G//3C,

所以4G，平面48片A，則

因為償=AC,A8=2BC=2,

所以AC=石，BF=4BB：+BF2=瓜,

則2MF=|BGXB\F=乎,5遇“=gB￡XCG=乎

因為^C-ByCfF=匕■-瑪GC?

所以三力xS西C、F=§BFxS^cc,

解得/,=我，

6

即點C到平面的距離為：號

6

考點五：體積問題

5.如圖，在四棱錐P-ABC。中，Q4_L平面ABCD,四邊形A8CZ)為正方形，點尸為線段PC上

的點，過4,。，尸三點的平面與P5交于點￡

(1)證明：EF//T?ABCD；

(2)若E為尸8中點，且4B=A4=2,求四棱錐尸-的體積.

【答案】(1)證明見解析；

⑵1.

【解析】

【分析】

(1)利用線面平行的判定證明A。//平面P8C,再利用線面平行的性質(zhì)、判定推理作答.

(2)利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明A￡>_L平面進(jìn)而證得依_L平面AD正，再借助錐體體積公式計

算作答.

(1)

正方形A8co中，AD!IBC,而BCu平面P6C,平面尸8C,AD//平面P8C,

又Mu平面ADFE，平面「3Cn平面ADFE=FE,則有EFI/AD,而ADu平面ABCD,EF仁平面ABCD,

所以斯〃平面ABCD

⑵

因E4L平面45a>,">u平面ABC。，則AD_L/<4,乂AD_LAB,AB(^PA=A,AB,曰u平面叫B,

則ADJL平面BAB.

尸及AEu平面Q4B,于是得AE_L">,PB±AD,^AB=PA=2,E為P8中點，則P3_LA￡,

PE=AE=y/i，

而AEn4O=A，AEAOu平面4)自E，因此，PBL平面ADFE，

由(1)知EF〃BC.則有防=1AC=1.梯形AO在面積S=4(EF+4Z)).AE=￡Z,

222

所以四棱錐P—A曰力的體積V='S，E='X￡^X&=1.

332

【真題演練】

1.在正方體458-中，p為44的中點，則直線也與AR所成的角為()

71C?！肛冗

A.—B.—C.—D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

平移直.線A2至BC},將匕線PB與AD,所成的角轉(zhuǎn)化為口與所成的角，解三角形即可.

如圖，連接BG，PG，P8,因為AR〃BG，

所以NPBG或其補(bǔ)角為直線依與AR所成的角，因為84_L平面A4G。，所以B局_L「G，又PCJB。,

BB、cB。=B、,

所以PG1平面依司，所以PG1PB,

設(shè)正方體棱長為2,則8G=2A/5,PG=；A4=&,

sinZPBC,=^S.=1,所以/PBG=g.

故選：D

2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD_L底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.AC±SB

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

【答案】D

【解析】

【詳解】

試題分析：A中由三垂線定理可知是正確的；B中AB,CD平行，所以可得到線面平行；C中設(shè)AC,BD相

交與0,所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角分別為44SO,NCSO?;SA=SC所以兩

角相等，D中由異面直線所成角的求法可知兩角不等

考點：1.線面平行垂直的判定；2.線面角，異面直線所成角

3.已知四棱錐S-AB8的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段48上的點（不含端點），設(shè)SE與BC

所成的角為4，SE與平面4BCD所成的角為冬，二面角S-48-C的平面角為4,則

A.0,<0z<<9,B.O3<02<C.Ox<03<02D.O2<03<G.【答案】D

【解析】

【分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.

【詳解】

設(shè)。為正方形A3CD的中心，M為中點，過E作8C的平行線所，交CO于尸，過。作ON垂直E尸于N,

連接S。、SN、OM,則S。垂直于底面ABC。，垂直于A3,

因此NSEN=4，NSEO=仇/SMO=4，

什門SNSN八SO八SO

從I3tan4=——=-r-r,tan0=——Jan名=-r—,

ENOM2EOOM

因為SNNSO,EO>OM,所以tanaztanqztaiM，即已2名之名，選D.

線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.

4.在正方體ABC。-A旦GR中，E為棱CG的中點，則異面直線AE與CO所成角的正切值為

A.正B.且C.在D.五

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方體ABCO-AMGR中，CD〃/3：將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線A3與AE所成角的正切值，在A4BE中

進(jìn)行計算即可.

【詳解】在正方體ABCD-ABIG。中，CD//AB,所以異面直線AE與C。所成角為NE4B,

設(shè)正方體邊長為射，則由E為棱CG的中點，可得CE=a,所以8E=6,

則tan卸嚼?？脊蔬xC.

求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所

在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余

弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.

5.已知正方體A8CO-44GA中，E、尸分別為CG的中點，那么異面直線AE與所成角的余

【解析】

DiG

【詳解】

如圖連接。尸，律，則OFXE,所以0F與OF所成的角即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的邊長為2,

<+?-43

則D尸==在，在三角形DDXF中cosD/D=--==-.

2x^/5x^/55

6.如下圖，在四棱錐S-ABC。中，底面A8CO是正方形，平面SAO_L平面48CZ),SA=SD=2,AB=3.

(1)求SA與8C所成角的余弦值;

(2)求證：AB1SD.

3

【答案】(1)；;(2)證明見解析.

4

【解析】

【分析】

(1)由題意可得即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】(1)因為AD//BC,因此NSW即為S4與所成的角，在中，SA=SD=2,

4-AD2-9D2?2□,V—?23

乂在正方形ABCD中AO=A8=3,因此cosNSAD=—―==-,

2SAAD2x2x34

3

因此SA98C所成角的余弦值是，

4

(2)因為平面S4O_L平面A8CD,平面SADc平面AD,在正方形A3CD中，AB1AD,

因此48_L平面又因為SOu平面弘。，因此A6J.S0.

7.如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

P

BC=3.DAC

A---------------------B

（1）證明：BC//平面PDA；

（2）證明:BC1PD；

（3）求點C到平面PDA的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）地.

2

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是長方形可證BC〃AD,進(jìn)而可證BC//平面PDA：（2）先證BC_LCD,

再證BC_L平面PDC,進(jìn)而可證BC_LPD：（3）取CD的中點E,連接AE和PE,先證PE_L平面ABCD,

再設(shè)點C到平面PDA的距離為力，利用V」姍SDA=匕拽1mACD可得〃的值，進(jìn)而可得點C到平面PDA的距

離.

試題解析：（1）因為四邊形ABCD是長方形，所以BC〃AD,因為BCa平面PDA,ADu平面PDA,所

以BC，/平面PDA

（2）因為四邊形ABCD是長方形，所以BC_LCD,因為平面PDCJ■平面ABCD,平面PDCfl平面

ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BC_L平面PDC,因為PDu平面PDC,所以BC_LPD

C（3）取CD的中點E,連接AE和PE,因為PD=PC,所以PE_LCD,在

RtAPED中，PE=A/PD2-DE2

==近，因為平面PDC_L平面ABCD，平面PDCPI平面ABCD=CD，PEu平面PDC，所以PE_L

平面ABCD,由（2）知：BC_L平面PDC,由（1）知：BC//AD,所以AD_L平面PDC,因為PDu平面PDC,

所以AD_LPD,設(shè)點C到平面PDA的距離為萬，因為V三校推C-PDA=V三極傕p_ACD，所以衿DA/jSgPE,

S^gPE丁3x6x77平，所以點C到平面PDA的距離是乎

即〃

-x3x4

2

考點：1、線面平行；2、線線垂直；3、點到平面的距離.

8.如圖，在圓錐P0中，已知PO=0,圓。的直徑48=2,點C在A8上，且NC48=3(T,。為AC的

中點.

(I)證明：AC_L平面尸OD：

(II)求直線0C和平面P4C所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑺當(dāng)

【解析】

【分析】

(I)由等腰三角形的性質(zhì)可得4C_L。。、PO_LAC,再由線面垂直的判定艮J可證結(jié)論.

(II)由(D結(jié)合面面垂直的判定可得平面PODJ■平面PAC,過。作OH_LPD于H,連結(jié)8,易得8是

OC在面PAC上的射影，進(jìn)而找到直線和平面PAC所成角的平面角，即可求其正弦值.

【詳解】

(I)因為OA=OC,PA=PC,。為AC的中點，則4C_LOO且尸。_LAC,

又。且ORPOu平面POO.

所以4c_L平面POD.

(II)由⑴，AC_L平面POD,又ACu平面PAC,

所以平面POD1平面PAC,

在面POD中，過。作O〃_LPQ于〃，則O”_L面PAC,連結(jié)C”,則8是OC在面PAC上的射影,

所以ZOCH是直線0C和平面PAC所成角的平面角.

八〃POOD_V2

在POD中，OH=i

y^PO2+OD2一3，

則在M△0"C中sinZOCH=—=—.

OC3

9.如圖，P是邊長為1的正六邊形A8CDEF所在平面外一點,PA=\,P在平面ABC內(nèi)的射影為B尸的中

點。

（I）證明小J_BF；

（II）求面APB與面。心所成二面角的大小的余弦值.

3,5457

【答案】（1）證明見解析;

1819

【解析】

【分析】

（I）由已知得AO為限在平面ABF內(nèi)的射影，再由AO_L8尸可得證;

（H）過。在平面P08內(nèi)作0〃_LP5于從連A”、DH,則有NAHD為所求二面角平面角，解三角形可求

得答案.

【詳解】

解：（I）在正六邊形488E尸中，△"尸為等腰三角形，

?“在平面ABC內(nèi)的射影為O,?,?POJ_平面A8F,???40為用在平面48F內(nèi)的射影；

:。為B尸中點，：.AOLBFt：.PA]_BF.（II）?.,PO_L平面A8憶,平面P8RL平面ABC；

而。為3尸中點，A8COE尸是正六邊形，?,洛、0、。共線，且直線AOJ_8立平面PB/c平面

則AO_L平面PBF；

又;正六邊形ABCDEF的邊長為1，

??.A0=\DO",30=立

222

過O在平面POB內(nèi)作0H上PB于H,連4”、DH,則DH±PB,

所以ZAHD為所求二面角平面角.

1

AO7

在M/O中，0H=—ftan/AHO

7OH

7

3

在△OH0I」，tan/O〃°=腎=稼721

Un\J2lr

~1~

7y/2\_

2歷24x2816V21

而tanZA/7Z)=tan(ZAHO+NDHO)=

叵一雨9

2V212

所以8S—需

所以面加出與面所成二面角的大小的余弦值為-亞豆

1819

10.在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為正方形，平面24。_L平面ABC。,

點M在線段PB上，尸?！ㄆ矫鍹AC,PA=PD.

⑴判斷M點在PB的位置并說明理由；

r)/z

(2)記直線。M與平面出。的交點為K,求少的值;

(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為斗,求二面角M-CD-A的平面角的正切值.

【答案】(l)M為P8中點，理由見解析

⑵匹=2

KM

明或等

【解析】

【分析】

(1)連接BD交AC于0,連0M,由平面平行的性質(zhì)可得答案；

(2)連接0P,則K=OPcOM,可得點K為△尸瓦)重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案；

(3)取A。中點H,連接取中點G,連接MG,GC,可得MG〃P”,取A8中點N,可知〃口4,

NCMV或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得平面A8CQ,MG_L平面

ABCD,令PH=t,4)=2,由余弦定理可得CG,在直角ZXMCG中，求出CM,MN=；PA,由余弦定

理得cosNCMV,從而得到3--28『+25=0,解方程求出匕過G作G。JLC。交CZ)于0,連接M。，可

得CO1平面MGQ,CD1MQ,在直角AMQG中可得tanNMQG.

(1)

連接6。交4C于O，連接OM，

因為尸￡)〃平面MAC,QMu平面尸BD,

平面M4Cc平面。8O=OM,則尸Q〃OM,

又因為。為8。中點，所以M為PB中點

⑵

如圖所示，連接OP,則平面尸ACPI平面PD8=P。，K=OPcDM,

M

因為。為8。的中點，M為尸8的中點，所以點K

D

為△尸8￡＞重心，

由三角形重心的性質(zhì)，可得少=2.

⑶

取40中點H,連接P〃，HB,取H8中點G,連接MG,GC,可得MG〃PH.

取AB中點M連接MMNC,可知MN//R4,

所以NCMN或其補(bǔ)角就是異面直線CM與八戶所成角，如圖所示,

因為平面RWJ■平面A8CZ),平面「ADn平面

ABCD=AD^又PA=PD,所以

所以P〃_L平面ABC。，因此MG_L平面A8CQ,令PH=t,AD=2,

Fh/W〃MG,且M為P8的中點，可得=

22

在ABCG中，可得BC=2,BG=—,cosZCBG=—,由余弦定理，可得CG=巫,

252

在直角ZWCG中，CM=JCG?+MG?=、,

解得為4—28r+25=0,解得尸=1或等，即E或生叵，

33

過G作GQ_LCD交CO于。，連接MQ,由MG1.CD,且GQ「］何Q,

可得CQJ_平面MGQ,所以CD_LMQ,

所以NMQG就是所求二面角的平面角，如圖所示，

在直角AMQG中，可得tanNMQG=^=：=!或

CrQ3J

5G

~9~

11.如圖，在長方體A5CO—中，AD=\,4B=AA=2,H,尸分別是棱GA，8片的中點.

（1）判斷直線"P與平面ABC。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求直線，尸與平

⑶在線段”產(chǎn)上是否存在一點Q,使得點Q到平面A8C"的距離是&'若存在,求出翳的值；若不存在,

說明理由.

【答窠】（1）破〃面A6cA，證明見解析:

⑵冬

3

（3）不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）。為CR,OG的交點，連接"0,80,易得8尸”0為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)、線面平行判

定即可證”/〃面ABCA.

（2）由（1）只需求8。與面4BCD所成角的正弦值，根據(jù)已知條件求值即可.

（3）由（B知”尸上任意一點到面A8CA的距離都相等，只需求尸到面A8CR的距離,利用長方體的結(jié)構(gòu)

特征求距離即可.

（I）

若。為CR,DG的交點，連接”0,80,又從F分別是棱G。，的中點,

由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：產(chǎn)且HO=B尸，故為平行四邊形,

所以"尸"80,加0面A8CR,8Ou面A8c。，則面ABCR.

⑵

由（1）知：與面ABC。所成角，即為8。與面A/3CQ所成角，

長方體中，。到面ABC。的距離為爭=1,BO=V12+12+12=75*

所以80與面ABC。所成角正弦值為無，即”“與面48C。所成角的正弦值為正.

33

⑶由（1）知：HF"面ABCR,即〃f上任意一點到面AMR的距離都相等，

所以只需求尸到面ABCD、的距離d,而與至I」面ABC"的距離為2d=應(yīng)，

所以尸到面A8cA的距離巫，故”尸上不存在Q，使得。到平面A8C。的距離是VL

2

喇

【過關(guān)檢測】

1.在長方體ABC。-A8cA中，AB=AAi=2,AD=3,點E、尸分別是棱A3、AA,的中點，E、

Gw平面。，直線ARP!平面。=?，則直線3P與直線CR所成角的余弦值為（）

A.在B.述C.在D.叵

3399

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行定理對直線進(jìn)行平移、從而實現(xiàn)在三角形內(nèi)求解角度.

【詳解】

如圖，連接收并延長，交線段8人的延長線于點G,連接GG交4。于

點P.

則易知=連接84，

因為〃即，所以異面直線9與CA所成的角為NP8A.

在冊/明中，易得AP=1,A8=2&,BP=3,

則cos/PBA=純=—.

1PB3

故選：B.2.在正方體ABC。-中，E,尸分別為棱40,4用的中點，則異面直線￡尸與CR夾角

的余弦值為（）

A.3B.也C.也D.也

6363

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)棱的中點為G,連接/G,EG,BE.AB,根據(jù)〃/G,CD.//A.B,得到C?！ㄊ珿,進(jìn)而得到

/EFG為異面直線EF與CD、所成的角求解.

【詳解】

解：如圖，

設(shè)棱的中點為G,連接FG,EG,BE,.

B

因為48〃產(chǎn)G,CD\〃,

所以CR〃產(chǎn)G,

故ZEFG為異面直線EF與CD.所成的角.

設(shè)正方體ABCO-AQGA的棱長為2,

則FG=&，AE=BE=BEF=EG=R.

FG

在等腰三角形稗G中，ss/EFG=五也,

EF6

故異而直線EF與夾角的余弦值為由.

6

故選：A

3.如圖所示，二棱錐尸-MC的底面A8C是等腰直角二角形，ZACB=90，且E4=P8=A8=2,PC=2近,

則PC與平面必8所成角的余弦值等于（）

576B.史C.D.—

1233

B

【答案】A

【解析】

【分析】

取A3的中點尸，連P〃、CF,過C作PF的垂線，垂足為E,可證CEJ?平面A4B,則NCP廠是PC與平

面以8所成的角.在APC尸中，用余弦定理可求出結(jié)果.

【詳解】

取AB的中點尸，連尸尸、CF,過。作嚴(yán)的垂線，垂足為七，

因為P4=AB=R4=2,所以=

因為4C=8C,AF=BF,所以A8J_C產(chǎn)，

因為PA=PB，AF=BF，所以ABJLFF,

因為p〃nb=尸，所以ABJ_平面Pb,

因為CEu平面PC尸，所以

因為CE_LH"CE1AB,PF[}AB=F,

所以CE_L平面E44,所以NCPF是尸。與平面附8所成的角.在&PCF中,

PC2+PF2-CF28+3-15瓜

cosDCPF=

2PCPF4近石一12

故選：A.

4.在空間四邊形A8C。中，E,凡G,H分別是A8,BC,CD,OA的中點，若AC=8D=2,且AC與

8。所成的角為60。，則EG的長為（）

A.1或應(yīng)B,丘或&C.1或后D.g或日

【答案】C

【解析】

【分析】

連接EEFG,EG,根據(jù)異面直線所成角的意義，在△比G中分情況計算作答.

【詳解】

連接EEFG,EG,如圖，

,4

依題意，EF//AC.FG//BD,且M=；AC=1,尸G=；BQ=1,

因AC與8。所成的角為60。，則AEFG=60?；騈EFG=120,

當(dāng)NEFG=60°時，△瓦G是正三角形，EG=1,

當(dāng)NEFG=120時，EG=2EFcosNFEG=2cos30=6，

所以EG的長為1或8.

故選：C

5.在樓長為1的正方體A88-AqG。中，。為正方形ABCQI的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.BOLAC

B.8。〃平面AC。

C.點B到平面AC"的距離為"

D.直線80與直線AR的夾角為？

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定定理證明AC_L平面，可判斷A;連接BZ）,交AC于瓦連接。E,證明BO〃AE,根據(jù)線

面平行的判定定理，可判斷B;利用等體機(jī)法，求得點8到平面AC"的距離，判斷C;采用作平行線的方法,

求出直線80與直線AA的夾角，可判斷D.

【詳解】

對于A,如圖，連接42AG,則4A，AG交丁點O,

正方體48co-A4GA中，AC//±

平面AgCQ，ACu平面ABC",

故AGiBB,，而AG-LBR,BRCBBi=g,媯u平面BB,D\、

故AG_L平面即。，故AC_L平面88Q,而8Ou平面88Q,

故ACJLBO,D|IBOLAC,故A正確;

A

對于B,連接BQ,交AC于反連接REMBE〃OD1,BE=OD-

故四邊形BOD.E是平行四邊形，故BO〃D\E,D\Eu平面ACDrBO不在平面AC。.

故50〃平面ACR,故B正確;

對于C,設(shè)點8到平面ACR的距離為d,因為％“=%_八8,

te|xixlxlxl=lxlxV2xV2xsin60xj,解得］=立，故C錯誤；

32323

對于D,連接80,則A"〃8G，NOBG即為直線8。與直線AR的夾角或其補(bǔ)角,

在△BOG中，80=與BO=Q1+吟）2=曰,3G=&,所以

cosN°BCI=B°雷】=專，則N08￡=?，故D錯誤

28OBC2x必及26

2

故選：CD

6.在正方體ABC。-44Gd中，瓦EG分別為8C,CC，8片的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）

B.二面角尸-AE-C的正切值為立C.異面直線AG與E戶所成角的余弦值為叵

210

D.點G到平面AEF的距離是點C到平面AEF的距離的2倍

【答窠】BCD

【解析】

【分析】

由于在正方體中，D\DMA\A,AA與"不垂直，故。。與瓶不垂直，判斷選項A；過點C作CM_L4E,

交AE的延長線于M，連接尸M,設(shè)正方體的棱長為2,??.tanNQWC=華，判斷選項B；取瑪G的中點”，

連接A”,G〃，則GH//M,AG與律所成角即為直線AG所成角NAG”，在△A。。中用余弦定

GN

理，判斷選項C；連接CG交E產(chǎn)于點N,則點G到平面AEr的距離與點C到平面型'的距離之比為三；,

CN

而AGNESACNE,判斷選項D.

【詳解】

在正方體48C。—A4Goi中，顯然有RO//4A,且在正方體ABC。-ABCa中，AA與.不垂直,

故4。可.不垂直，選項A錯誤;

過點。作CMJ.AE,交AE的延長線于M,連接QVf,由二面角的定義

1x2_25/5

可知，NFMC即為二面角尸-AE-C的平面角，不妨設(shè)正方體的樓長為2,則C尸=1,CM

CM2752，選項B正確;

5

取8c的中點”，連接A〃，G，，則G”〃M,

故異面直線AG與EF所成角即為直線AG與GH所成角幺G"而人”=后石=石，4。=V?+i=石,

GH=V12+12=72

故在△AGG中，由余弦定理可得

任3二Ml一二1二一迎,選項c正確;

cosZ^GH

2A.GGH2x石X夜一10

GN

連接CG交EF于點、N,則點G到平面AEF的距離勺點C到平面AEF的距離之比為大；，而4GNFs4E

CN

故桀=g=2,選項D正確.

CNCE

故選：BCD.

7.如圖，A5是半球的直徑，。為球心，43=4,M,N依次是半圓4B上的兩個三等分點，P是半球面上一

⑴證明：平面尸8M_L平面PON；

(2)若點尸在底面圓內(nèi)的射影恰在BM上,求二面角A—PB—N的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;

嗚

【解析】

【分析】

(1)連接OM,MN,證明。NJ.M8,再利用線面、面面垂直的判定推理作答.

(2)確定點尸在底面圓內(nèi)的射影點位置，再作出二面角A-M-N的平面角，然后解三角形作答.

(1)

連接。M,MM如圖，M,N是半圓AB二的兩個三等分點，貝J有NMON=NNO8=60，

而OM=ON=OB=2,即有△MQV/NO5都為正三角形，因此，MN=NB=BO=OM,

四邊形OA/N8是菱形，ON工MB,而PNLMB,PNcON=N,PNQNu平面PON,

因此，MBJ_平面PON,BWu平面P8W，

所以平面PBMJ_平面PON.

（2）

由（1）知，平面PQN_L平面。平面PONC平面。仞V8=QV,則點P在底面圓內(nèi)的射影在ON上,

因點P在底面圓內(nèi)的射影在上，因此，點尸在底面圓內(nèi)的射影是ON與