必修一至五(高中數(shù)學(xué))知識點總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)

集合

函數(shù)

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零：2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零：3、對數(shù)的真數(shù)大于零：4、指數(shù)函

數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1：5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中工wZ)：余切

函數(shù)y=cotx中；6、如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法：2、換元法；3、待定系數(shù)法：4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法：2、配方法；3、判別式法：4、幾何法：5、不等式法：6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法：3、不等式法：4、幾何法：5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)函

數(shù)

2、若f(X)為增(減)函數(shù),則一/(X)為減(增)函數(shù)

3、若/(%)及g(x)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù)：若/(x)及g(x)的單調(diào)性不同,

則y=/[g*)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)乂是

偶函數(shù)，則/(/)=0(反之不成立)

2、兩個奇（偶）函數(shù)之和（差；為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)及一個偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)y=/（〃）和〃=g（x）復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，則該復(fù)合函數(shù)就

是偶函數(shù)：當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f（X）的定義域關(guān)于原點對稱，則/（X）可以表示為

/（X）=-[/（%）+/（-%）]+-[/（x）-/（-x）],該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的

第函數(shù)），=xa（aeR）

aJ

a<00<a<la>1a=\

q

/

一

〃為奇數(shù)\a.i)./

,/a,。

4為奇數(shù):/奇函數(shù)

?/

[a,”

P為奇數(shù):J

4為偶數(shù)f_

I

P為偶數(shù)

(-bi)A

9為奇數(shù)偶函數(shù)

???不

第一象限過定點

減函數(shù)增函數(shù)

性質(zhì)(0,1)

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

一、直線及方程

(1)直線的傾斜角

定義：”軸正向及直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線及*軸平行或重合

時，我們規(guī)定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是0°WaV180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。

即攵=1血?！阈甭史从持本€及軸的傾斜程度。

當(dāng)a￡時，A:>0：當(dāng)a￡(90。,180°)時，k<0；當(dāng)a=90°時，k不存

在。

②過兩點的n線的斜率公式：々:乃一'區(qū)豐J，2)

注意下面四點：(D當(dāng)玉=超時，公式右邊無意義，宜線的斜率不存在，傾斜角為90°：

⑦k及R、月的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

（3）直線方程

①點斜式：y-必=左（工一2）直線斜率A,且過點&,y）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0,直線的方程是尸

當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因/上每一點的橫坐

標都等于汨，所以它的方程是產(chǎn)小。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為h直線在y軸上的截距為方

XX）

③兩點式：———=-（工產(chǎn)工2，）'產(chǎn)為）直線兩點&，X），（x2,y2）

必一乂/一七

④截矩式：-+^-=1

ab

其中直線/及x軸交于點3,0）,及y軸交于點（06），即/及x軸、y粕的截距分別為a,b。

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,4不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于“軸的直線：y=b（8為常數(shù)）：平行于j，軸的直線：x=a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（一）平行直線系

平行于已知直線4/+綜/+。0=。＜4,叫）是不全為o的常數(shù)）的直線系：

4x+Boy+C=O（。為常數(shù)）

（二）過定點的直線系

（i）斜率為〃的直線系：y-yQ=k（x-xQ）,直線過定點（%,%）；

（ii）過兩條宜線4:Ax+Bj+G=0,4:4人+與N+6=0的交點的點線系方

程為

（Ax+qy+G）+4（4x+82y+G）=0（九為參數(shù)），其中直線4不在直線系中。

(6)兩直線平行及垂直

當(dāng)4：y=#/+4,Z2:y=k2x+b2^f

注意：利用斜率判斷直線的平行及垂直時，要注意斜率的存在及否。

<7)兩條直線的交點

§:Aix+Bly+Cl=0Z2-A2x+B2y+C2=0相交

交點坐標即方程組1AA媯y+G=°的一組解。

々y+C2=0

方程組無解。4〃4：方程組有無數(shù)解0/］及4重合

(8)兩點間距離公式：設(shè)A(%,y),3(修,必)是平面直角坐標系中的兩個點，

則IAB|=J(七一內(nèi):+(%一%)2

(9)點到直線距離公式：一點戶(%,%,)到直線4：AT+gy+C=0的距離d=14。+叫+4

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標準方程(.1一々)2+(丁一/?)2=/，圓心(。力)，半徑為r；

(2)一般方程X?+y2+瓜+@+產(chǎn)=。

當(dāng)+七2-4/>0時，方程表示圓，此時圓心為12,_二)，半徑為「=；)￡>2+七2_4尸

當(dāng)。2+石2-4/=0時，表示一個點；當(dāng)。2+七2-4/<0時，方程不表示任何圖

形。

(3)求圓方程的方法:

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。

3、直線及圓的位置關(guān)系：

直線及圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(D設(shè)直線/:Ax+3y+C=0,圓C:—十①一城1=/，圓心C(〃,b)到/的距離

為生竺竺上勺，則有d>ru>/與Cffl離：d=ro/與C相切：dvro/與交

互+/

(2)設(shè)直線/:Ax+3y+C=0,l?IC:(x-6r)2+(y-/?)2=r2,先將方程聯(lián)立消元，得到

一個一元二次方程之后，令其中的判別式為△,則行

氏如果圓心的位置在原點，可使用公式XTo+yXo=/去解直線及圓相切的問題，其中

(%o，M))表示切點坐標,r表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

①圓加+性)，圓上一點為(x。，浦，則過此點的切線方程為XX。+?()=-2(課本命題).

②圓(x-a)2(y-b)2=V,圓上一點為(x?,y°),則過此點的切線方程為(x0~a)(x-a)(y0-b)(y~b)=/(課

本命題的推廣).

4、圓及圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，及圓心距(辦之間的大小比較來確定。

222222

設(shè)圓G：(x-)+(y-b1)=r?C2:(x-a2)+{y-b2)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，及圓心距(④之間的大小比較來確定。

當(dāng)d>R+r時兩圓外離，此時有公切線四條；

當(dāng)4=氏+r時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)R-rvdvR+r時兩網(wǎng)相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線：

當(dāng)d=|R—r|時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線：

當(dāng)-時，兩圓內(nèi)含：當(dāng)d=。時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱A3CDE-AZ'C'O'E'或用對角線的端點字母，如五棱柱AD'

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形：側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等：

平行于底面的截面是及底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所國成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐尸一A'8COZ'

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形：平行于底面的截面及底面相似，其相似比等于頂點到截面距

離及高的比的平方。

（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五楂臺產(chǎn)一A‘8'C'O'E'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓：②母線及軸平行；③軸及底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個

矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點：③側(cè)面展開圖是一個扇形。

（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截留錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。

<7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓：②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；惻視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度：

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖一斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來及x軸平行的線段仍然及x平行且長度不變：

②原來及y軸平行的線段仍然及y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積及體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，1為母線）

(3)柱體、錐體、臺體的體積公式

(4)球體的表面積和體積公式*V球=：乃川：S球面=4萬R2

4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說明：B.平面是無限伸展的：

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、丫表示，如平面a(通常寫在一個銳角內(nèi))：

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點及平面的關(guān)系：點/在平面。內(nèi)，記作Aea；點A不在平面a內(nèi)，記作A任a

點及直線的關(guān)系：點力的直線,上，記作：/￡/：點力在直線/外，記作月走心

直線及平面的關(guān)系：宜線/在平面a內(nèi)，記作/UQ：直線，不在平面a內(nèi)，記作/(ZQ。

(2)公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗桌面是否平：判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：A￡/,8￡/,Aea,Hea=>/ua

(3)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面：兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個不重合的平面有一?個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面a和B相交，交線是a,記作anB=a。

符號語言：PeAClBnApBu，，尸￡/

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線及兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。

③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù).

(5)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

(6)空間直線及直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何?個平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點及平面內(nèi)一點的直線及平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線8、少是異面直線，經(jīng)過空間任意一點0,分別引直線a'Ha,b'//b,

則把直線a'和。'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和力所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,

90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

說明：(1)判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義：②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點。是任取的，而和點0的位置元關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊

的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩角相等或互補。

（8）空間直線及平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點.

三種位置關(guān)系的符號表示：aUaaAa=Aa

（9）平面及平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點：a〃B

相交一一有一條公共直線。

5、空間中的平行問題

（1）直線及平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線及此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線及此平面平行。

線線平行=>線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

則這條直線和交線平行。線面平行=>線線平行

（2）平面及平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行

（線面平行一面面平行），

（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，則這兩個平面平行。

（線線平行一面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，

兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個平面平行，則某一個平面內(nèi)的直線及另一個平面平行。（面面平行一線面平行）

（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，則它們的交線平行。（面面平行一線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖

形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。

(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直這個平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

(1)直線及直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0，

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點0,分別作及兩條異面直線,6平行的直線a',br.

形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線及平面所成的角：規(guī)定為0°。②平面的垂線及平面所成的角：規(guī)定為90。。

③平面的斜線及平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的毓魚，叫做這條直線和

這個平面所成的角。

求斜線及平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。

在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，

在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：(1)斜線上一點到面的垂線；(2)過斜線上的一點或過

斜線的平面及已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的

棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意?點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這

兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，則這兩個平面垂宜；反過來，如果兩個平面垂直，則

所成的二面角為直二面角

④求:面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂宜于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面及兩個面的交線所成的角為二面角

的平面角

7、空間直角坐標系

(1)定義：如圖，08coABC是單位正方體.以A為原點，

分別以O(shè)D,0A,0B的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。

這時建立了i個空間直角坐標系Oxyz.

1）。叫做坐標原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸

正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）

叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M（x,y,z）（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z

叫做點M的豎坐標）

222

（4）空間兩點距離坐標公式：d=7（X2-xi）+（y2-yl）+（z2-Z.）

額外補充：

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后

側(cè)視圖：從左往右

俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積及體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面趨ITCTI+2^r2

3圓錐的表面積S="/+勿二

4圓臺的表面積S="/+亞-+成/+兀R~

5球的表面積5=4成2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積V=S底xh

2錐體的體積底x/z

3臺體的體積V=g（S上+JS上S下+S下）x1

4

4球體的體枳V二一成3

3

第二章直線及平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,

銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面

B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點

的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線在此平面內(nèi)

符號表示為

AEL、

BWL=〉L卜C

AWaJ

Bea

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

C

符號表示為：A、B、C三點不共淺=>有且只有一個平面a,

使A￡a、Bea、Cea0

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：peanp=>anB=L,HP￡L/3\

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

空間中直線及直線之間的位置關(guān)系\/

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

r相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點：

共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點:

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

2公用4：平行干同一條百線的兩條百線百相平行.

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

}=>a//c

c〃b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個角相等或互補

4注意點：

①a'及b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，及O的選擇無關(guān)，為了簡便，點O一般

取在兩直線中的一條上；乃

②兩條異面直線所成的角0e（o,2）；

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb；

④兩條直線互相垂直，有共而垂直及異面垂直兩種情形：

⑤計算中，通常把兩條異面宜線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

一2.1.4空間中直線及平面、平面及平面之間的位置關(guān)系

1、直線及平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個公共點

（2）直線及平面相交一一有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線及平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a表示

a。仁aOa=Aa〃a

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

直線及平面平行的判定

1、直線及平面平行的判定定理：平面外一條直線及此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線及此平面平

行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

aa，,

bB=>仁a

a〃b

平面及平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線及另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aBU、

bBCI

aOb=P6〃a

a.//a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理：

（3）垂直于同??條直線的兩個平面平行。

-2.2.4直線及平面、平面及平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線及一個平面平行，則過這條直線的任一平面及此平面的交線及該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a//a、

A

a3Ca〃b

aA0=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時及第三個平面相交，則它們的交線平行。

符號表示：

a〃Br

A

aAY=aa/7b

J

Bny=b

作用：可以由平面及平面平行得出直線及直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

直線及平面垂直的判定

1、定義

如果直線L及平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L及平面a互相垂直，記作L_La,

直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線及平面垂直時,它們唯?公共點P叫做垂

足。

L

P

2、判定定理：一條直線及一個半海內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線及此平面垂直。

注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這T條件不可忽視;

b）定理體現(xiàn)了“直線及平面垂直”及“直線及直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

平面及平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

2、:面角的記法：：面角aT-B或a-AB-B

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線及平面、平面及平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線及另一個平面垂直。

本章知識結(jié)構(gòu)框圖

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線1及X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正向及直線1向上方向之

間所成的角0叫做直線1的傾斜角.特別地，當(dāng)直線1及X軸平行或重合時，規(guī)定a=0°.

2、傾斜角a的取值范圍：0°<180°.

當(dāng)直線1及x軸垂直時，a=9C0.

3、直線的斜率：

一條直線的傾斜角。(?^90°)的正切值叫做這條直畿的斜率，斜率常用小寫字母k表示，也就是

k=tana

⑴當(dāng)直線1及x軸平行或市合時，a=0°,k=tanOa=0;

(2)當(dāng)直線1及x軸垂直時，a=90°,k不存在.

由此可知，一條直線1的傾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

4、宜線的斜率公式：

給定兩點Pl(xl,yl),P2(x2,y2)：xlWx2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：

斜率公式：

兩條直線的平行及垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，則它們的斜率相等：反之，如果它們的斜率相等,

則它們平行，即L"。Ok]=k?

注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成

立.即如果kl=k2,則一定有L1〃L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為

1

i>lbo如=---ok|k3?-1

負倒數(shù)，則它們互相垂直，即

直線的點斜式方程

1、直線的點斜式方程：直線/經(jīng)過點入（工0，丁0），且斜率為左

2、、直線的斜截式方程：已知直線/的斜率為攵，且及y軸的交點為（0,〃）

直線的兩點式方程

1、直線的兩點式方程：已知兩點6（%,工2），￡（工2，〉2）其中（為。工2，乂

2、直線的截距式方程：已知直線/及x軸的交點為A（〃,0）,及y軸的交點為B（O,b）,其中

。wO,bwO

直線的一般式方程

1、直線的?般式方程：關(guān)于蒼y的二元一次方程Ax+gy+C=0（A,B不同時為o）

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點坐標及距離公式

兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

LI：3x+4y-2-0

LI：2x+y+2=0

3x+4y-2=0

解：解方程組《

2x+2y+2=0

得x=-2,y=2

所以□及L2的交點坐標為M（-2,2）

3.3.2兩點間距離

兩點間的距離公式

3.3.3點到直線的距離公式

1.點到直線距離公式：

,\Ax（}+By.}+Cl

點P*o,打）到宜線/:Ax+By+C=0的距離為：d=--:?

VA2+B2

2,兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線/,和/2的一般式方程為/,：Ar+By+q=0,

/：

2Ax+By+C2=0,則及4的距離為d

第四章圓及方程

圓的標準方程

1、I員I的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=，

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點M(%,%)及圓(%一。)2+(>-6)2=r2的關(guān)系的判斷方法：

(1))2+(%—6)2>「2,點在圓外

222

(2)(x0-a)+(y0-Z?)=r,點在圓上

222

(3)(x0-a)+(y0-b)<r,點在圓內(nèi)

圓的一般方程

1、圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

2、圓的一般方程的特點：

U)①X2和y2的系數(shù)相同，不等于0.

②沒有xy這樣的二次項.

(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.

(3)、及圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征陜顯，圓的標準方程則指出

了圓心坐標及半徑大小，幾何特征較明顯。

圓及圓的位置關(guān)系

1、用點到直線的距離來判斷直線及圓的位置關(guān)系.

設(shè)直線/：ax+by+c=0,圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓的半徑為r,圓心

(-一n，-E二)到直線的距離為d,則判別直線及圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

22

(1)當(dāng)「時，直線/及圓C相離；

(2)當(dāng)d=z?時，直線/及圓C相切;

（3）當(dāng)dvr時，直線/及圓C相交：

圓及圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系.

設(shè)兩圓的連心線長為/,則判別則及圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

（1）當(dāng)/>八+々時，圓G及圓02相離：

（2）當(dāng)/="+，2時，圓G及圓外切；

（3）當(dāng)|4—GK/<r1+「2時，圓G及圓G相交；

（4）當(dāng)/=|。一，2I時，圓C［及圓C2內(nèi)切；

（5）當(dāng)/<|叫一七|時，圓G及圓c2內(nèi)含；

直線及圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標系解決直線及圓的位置關(guān)系；

2、過程及方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化

為代數(shù)問題：

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

空間直角坐標系

1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上

的坐標

2、有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,對應(yīng)著空間宜角坐標系中的一點

3、空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐

標系中的坐標，記M（x,y,z）,x叫做點V的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標。

空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點6(X,,M,Z])到點P2(%2，%，Z2)之間的距離公式

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算法初步

秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計算逐步得出高次多項式的值，對于一個n次多項式，只要作n

次乘法和n次加法即可。表達式如下：

例題：秦九韶算法計算多項式3x6+4X54-5X4+6X3+7X2+8X+1,當(dāng)x=0.4時，

需要做幾次加法和乘1煙算？答案：6,6

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣

泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法…

(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言(本書指偽代碼).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。

沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一定時間內(nèi)可以

完成，在時間上有一個合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)

構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的

一種圖形程序，它宜觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛笛和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往

臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再

考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時，，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨

界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的A,B兩語句

可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該

語句，也不執(zhí)行其它語句。

W.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(until)和

當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(即不知道循環(huán)次數(shù)時)用當(dāng)型

循環(huán)。

基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseud。code),且是使用BASIC語言編寫的，是介于自然

語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書

寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用x=y,

也可以用x—y;表示兩變量相乘時可以用“*"，也可以用“X”

I.賦值語句(assignmentstatement)：用<—表示，如：Xy,表示將y的值賦給x,其

中x是一個變量，y是一個及x同類型的變量或者表達式.

一般格式「變量一表3太式”.有時在偽代碼的書寫時也可以用“R=y”,但此時的“="

不是數(shù)學(xué)運算中的等號，而應(yīng)理解為一個賦值號。

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達式，右邊可以是常數(shù)或者表達式。具

有計算功能。如：3=a,b+6=a,都姑錯誤的，而a=3*5-1,a=2a+3

都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

P<-X

pX

x<—y

Xi-y同樣的如果交換三個變量x,y,z的值：

y-z

Z<—p

II.輸入語句(inputstatement):Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語句(outstatement)：Printx,y表示一次輸出運算結(jié)果x,y

注?1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read語句輸入的只能是變量而不是表達式

3.Print語句不能起賦值語句，意旨K能在Print語句中用“="4.Print語句可以輸出常量和表達

式的值.5.有多個語句在一行書寫時用“；”隔開.

例題：當(dāng)x等于5時，Print"x=”；x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5

HI.條件語句(conditionalstatement)：

1.行If語句：IfAThenB注：沒有EndIf

2,塊If語句：注：①不要忘記結(jié)束語句EndIf,當(dāng)有If語句嵌套使用時，有幾個If,

就必須要有幾個End【「②.Elself是對上一個條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外Elself后面

也要有EndIf③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為

了使得書寫清晰易?憧，應(yīng)縮進書寫。格式如下：

IfAThenIfAThen

例題：用條件語句：B、算法.B

ElseElseIfCThen

Reada,b,cD

Ifa-bThenReada,b,c

Ifa>cThen―IfaNbandaNcThen

PrintaPrinta

Else小的數(shù)。ElseIfb》cchen

PrintcPrintb