河南省鄭州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期期末考試試題文含解析

PAGE20-河南省鄭州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期期末考試試題文（含解析）留意事項：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考試時間120分鐘，滿分150分.考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交卷時只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.兩個變量與的回來模型中，分別選擇了4個不同模型，它們殘差平方和如下，其中擬合效果最好的模型是（）.A.0.09 B.0.13 C.0.21 D.0.88【答案】A【解析】【分析】依據(jù)殘差的概念推斷．【詳解】殘差平方和越小，說明估計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)越接近，擬合效果更好，故選：A．【點睛】本題考查殘差的概念，屬于簡潔題．2.用反證法證明“若，，則，至少有一個為0”時，假設正確的（）.A.，中只有一個為0 B.，全為0C.，至少有一個不為0 D.，全不為0【答案】D【解析】【分析】依據(jù)用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，應先假設命題的否定成立，即可得解；【詳解】解：依據(jù)用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，應先假設命題的否定成立，而命題：“若，，”，則“，至少有一個為0”的否定為“若，，”，則“，全不為0”.故選：D．【點睛】本題考查反證法，考查學生分析解決問題的實力，屬于基礎題．3.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學中的天橋”.若復數(shù)，則（）.A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用歐拉公式求出，然后再求其?！驹斀狻拷猓河深}意得，，所以，故選：C【點睛】此題考查了復數(shù)的三角形式及其運算，考查了復數(shù)的模，屬于基礎題.4.下列框圖中，可作為流程圖的是（）A.整數(shù)指數(shù)冪→有理指數(shù)冪→無理指數(shù)冪B.隨機事務→頻率→概率C.入庫→找書→閱覽→借書→出庫→還書D.推理→圖像與性質(zhì)→定義【答案】C【解析】【分析】利用結(jié)構(gòu)圖、流程圖的定義干脆對各選項進行分析.【詳解】視察選項，只有C滿意一個工作過程的詳細步驟，屬于流程圖，而選項A、B、D不屬于流程圖.故選：C【點睛】本題主要考查了流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義，辨析結(jié)構(gòu)圖和流程圖是解題的關鍵，屬于基礎題.5.點的直角坐標為，則點的極坐標為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用直角坐標與極坐標的互化公式求解即可【詳解】解：設點的極坐標為，因為的直角坐標為，所以，即，解得，因為點在其次象限，所以，所以點的極坐標為故選：B【點睛】此題考查直角坐標與極坐標的互化，屬于基礎題.6.視察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A.3125 B.5625 C.0625 D.8125【答案】C【解析】【分析】依據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關系，歸納其改變規(guī)律求解.【詳解】因為，視察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【點睛】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的實力，屬于中檔題.7.2024年初，新型冠狀病毒（）引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機構(gòu)實行了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效某地起先運用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：周數(shù)（）12345治愈人數(shù)（）21736103142由表格可得關于的回來方程為，則此回來模型第4周的殘差（實際值與預報值之差）為（）.A.5 B. C.13 D.0【答案】C【解析】【分析】設，求出，的值，由最小二乘法得出回來方程，代入，即可得出答案.【詳解】設，則，，所以.令，得.故選：C【點睛】本題考查回來分析的應用，重在計算，屬于中檔題.8.德國數(shù)學家萊布尼茲于1674年得到了第一個關于的級數(shù)綻開式，該公式于明朝初年傳入我國.我國數(shù)學家、天文學家明安圖為提高我國的數(shù)學探討水平，從乾隆初年（1736年）起先，歷時近30年，證明白包括這個公式在內(nèi)的三個公式，同時求得了綻開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計算開創(chuàng)先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于的級數(shù)綻開式計算的近似值（其中表示的近似值）”.若輸入，輸出否的結(jié)果可以表示為（）.

A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第9次循環(huán)：，此時滿意判定條件，輸出結(jié)果，故選：D.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中仔細審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎題.9.以平面直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，則曲線（為參數(shù)）上的點到曲線的最短距離是（）.A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，計算出直線的直角坐標方程，然后假設曲線上隨意一點，依據(jù)點到直線的距離公式以及協(xié)助角公式進行計算即可.【詳解】由，則曲線的直角坐標方程為設曲線曲線（為參數(shù)）上的隨意一點位則點到直線的距離位所以當時，故選：B【點睛】本題考查極坐標方程與一般方程的轉(zhuǎn)化以及運用參數(shù)方程來解決點到直線的最值問題，重在計算，考查邏輯推理以及計算實力，屬中檔題.10.某校甲、乙、丙、丁四位同學參與了第34屆全國青少年科技創(chuàng)新大賽，老師告知只有一位同學獲獎，四人據(jù)此做出揣測：甲說：“丙獲獎”；乙說：“我沒獲獎”；丙說：“我沒獲獎”；丁說：“我獲獎了”，若四人中只有一人推斷正確，則推斷正確的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意知甲和丙的說法沖突，因此兩人中有一人推斷正確，據(jù)此推斷得到答案.【詳解】由題意知，甲和丙的說法沖突，因此兩人中有一人推斷正確，故乙和丁都推斷錯誤，乙獲獎，丙推斷正確.故選：C.【點睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的邏輯推理實力.11.分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦??曼德爾布羅特()在20世紀70年頭創(chuàng)立的一門新學科,它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題供應了全新的思路．下圖依據(jù)的分形規(guī)律生長成一個樹形圖,則第13行的實心圓點的個數(shù)是()

A.55個 B.89個 C.144個 D.233個【答案】C【解析】分析：一一的列舉出每行的實心圓點的個數(shù)，視察其規(guī)律，猜想：，得出結(jié)論即可，選擇題我們可以不須要完整的理論證明．詳解：行數(shù)12345678910111213球數(shù)01123581321345589144，由此猜想：，故選C．點睛：視察規(guī)律，把行數(shù)看成數(shù)列的項數(shù)，個數(shù)看作數(shù)列的項，盡可能的多推導前面有限項看出規(guī)律．12.若，則，，的大小關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】,則欲比較大小的三個式子結(jié)構(gòu)相同，可以構(gòu)造函數(shù)，再利用其單調(diào)性即可推斷答案.【詳解】設函數(shù)，則，當時，，單調(diào)遞減.由，可得，則，所以，即.故選：D.【點睛】本題考查導數(shù)應用，利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大小.遇到比較結(jié)構(gòu)相同(或可以化成相同)的式子的大小，可以構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，，…，互不相等）的散點圖中，若全部樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為________.【答案】；【解析】【分析】由全部樣本點都在一條直線上，可知這組樣本數(shù)據(jù)完全負相關，結(jié)合相關系數(shù)的意義，可得出答案.【詳解】由題意，全部樣本點都在直線上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全負相關，即相關系數(shù)為-1.故答案位：-1.【點睛】本題考查相關系數(shù)，考查正相關及負相關，屬于基礎題.14.化簡：________.【答案】【解析】【分析】利用的冪的性質(zhì)化簡即可得答案.【詳解】，，所以原式.故答案為：.【點睛】本題考查復數(shù)的計算.合理利用常見結(jié)論可使計算簡便，如，，，，，，等等.15.劉徽是中國古代最杰出的數(shù)學家之一，他在中國算術(shù)史上最重要的貢獻就是注釋《九章算術(shù)》，劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細所失彌少，割之又割以至于不行割，則與圓合體而無所失矣”，體現(xiàn)了無限與有限之間轉(zhuǎn)化的思想方法，這種思想方法應用廣泛.如數(shù)式是一個確定值（數(shù)式中的省略號表示按此規(guī)律無限重復），該數(shù)式的值可以用如下方法求得：令原式，則，即，解得，取正數(shù)得.用類似的方法可得________.【答案】2；【解析】分析】依據(jù)題干中給出的提示，利用和自身的相像性列出方程求解?！驹斀狻坑深}得，令原式，則，化簡為，解得：.故答案為：2【點睛】本題考查了學問遷移實力，是一道中檔題.16.已知數(shù)列的通項公式為，這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2024項和為________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)數(shù)陣,求得,設,前和為,即可求得,依據(jù)裂項求和,即可求得答案.【詳解】數(shù)列的通項公式為,將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個數(shù)的和設,前和為故答案為：【點睛】本題的解題關鍵是駕馭裂項相消求數(shù)列的前和的方法,考查了分析實力和計算實力,屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟）17.設實部為正數(shù)的復數(shù)，滿意，且復數(shù)在復平面上對應的點在其次、四象限的角平分線上.（1）求復數(shù)；（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設，且，由條件可得①，②．由①②聯(lián)立的方程組得、的值，即可得到的值；（2）依據(jù)實部為0，虛部不為0即可求解．【詳解】解：（1）設，，.由題意：.①，得，，②①②聯(lián)立，解得，得.（2）由（1）可得所以由題意可知解得且且所以【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．18.在新冠肺炎流行期間，為了指導不同人群科學合理選擇和運用口罩，現(xiàn)在對口罩的運用范圍進行調(diào)查.現(xiàn)隨機抽取40人進行調(diào)查，其中45歲以下的有20人.在接受調(diào)查的40人中，對于這種口罩了解的占50%，在了解的人中45歲以上（含45歲）的人數(shù)占.（1）將答題卡上的列聯(lián)表補充完整；了解不了解總計45歲以下45歲以上（含45歲）總計40（2）推斷是否有99%的把握認為對這種口罩的了解與否與年齡有關.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）答案見解析；（2）有99%的把握認為對這種口罩的了解與否與年齡有關.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意先計算出對于這種口罩了解的人有20人，其中45歲以上（含45歲）的人數(shù)有5人，完成表格；（2）由題意先求出，然后再作推斷.【詳解】（1）由題意可得對于這種口罩了解的人數(shù)為，則45歲以上人對這種口罩了解的人數(shù)為.故列聯(lián)表如下：了解不了解總計45歲以下1552045歲以上（含45歲）51520總計202040（2）由題意可得，因為，所以有99%的把握認為對這種口罩的了解與否與年齡有關.【點睛】本題考查完善列聯(lián)表，考查獨立性檢驗，屬于基礎題.19.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的一般方程和曲線的直角坐標方程；（2）過點作直線的垂線，交曲線于，兩點，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出直線的一般方程，由曲線的極坐標方程，依據(jù)求出曲線的直角坐標方程．（2）首先求出過點與直線垂直的直線的參數(shù)方程，再代入拋物線方程，依據(jù)直線的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義計算可得；【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，曲線的極坐標方程為，所以依據(jù)，所以曲線的直角坐標方程為.（2）過點與直線垂直的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，可得設，對應的參數(shù)分別為，∴，，，異號故【點睛】本題考查簡潔曲線的極坐標方程，考查參數(shù)方程化一般方程，關鍵是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．20.對于命題：存在一個常數(shù)，使得不等式對隨意正數(shù)，恒成立.（1）試給出這個常數(shù)的值（不須要證明）；（2）在（1）所得結(jié)論的條件下證明命題.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，利用特別值法，令可得，，分析即可得的值；（2）由分析法的思路：先證明，再類比可以證明，綜合即可得證明；【詳解】解：（1）依據(jù)題意，由于對隨意正數(shù)，恒成立，令得：，故；（2）先證明.∵，，要證上式，只要證，即證，即證，這明顯成立.∴.再證明.∵，，要證上式，只要證，即證，即證，這明顯成立.∴.【點睛】考查用分析法證明不等式，考查學生分析解決問題的實力，找出的值，是解題的突破口，屬于中檔題．21.在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線的極坐標方程為，射線的極坐標方程為.（1）寫出曲線的極坐標方程，并指出是何種曲線；（2）若射線與曲線交于、兩點，射線與曲線交于、兩點，求面積的取值范圍.【答案】（1）；曲線是以為圓心，2為半徑的圓；（2）.【解析】【分析】（1）先把曲線的參數(shù)方程為化為一般方程，再將一般方程化為極坐標方程；（2）由題意令，則，從而得，進而可求出面積的取值范圍.【詳解】解：（1）由（為參數(shù)）化為一般方程為，整理得極坐標方程曲線是以為圓心，2為半徑的圓.（2）令，∵，∴，∴.面積的取值范圍為【點睛】此題考查了參數(shù)方程化為一般方程，一般方程化極坐標方程，利用極坐標的幾何意義表示弦長，考查了運算實力，屬于中檔題.22.某芯片公司為制定下一年研發(fā)投入安排，需了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點圖及