陜西省西安重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE20-陜西省西安重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在集合{a，b，c，d}上定義兩種運(yùn)算和如下：那么dA.a B.b C.c D.d【答案】A【解析】2.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為那么它的直角坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用，即可得出直角標(biāo)準(zhǔn)．【詳解】解：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，可得它的直角坐標(biāo)，．即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．3.若，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】因?yàn)椋?，然后依?jù)復(fù)數(shù)幾何意義推斷即可.【詳解】因?yàn)椋詚在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4.下列敘述中正確的是（）A.若a，b，，則“”的充分條件是“”B.若a，b，，則“”的充要條件是“”C.命題“對(duì)隨意，有”的否定是“存在，有”D.錢大姐常說“好貨不便宜”，她的意思是：“好貨”是“不便宜”的充分條件【答案】D【解析】【分析】依據(jù)充分、必要條件定義，以及全稱命題的否定是特稱命題，即可推斷出各選項(xiàng)的真假．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，若，不肯定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)可以推出，但是不肯定可以推出，比如，，所以“”的必要不充分條件是“”，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“對(duì)隨意，有”的否定是“存在，有”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依據(jù)充分條件的定義可知，“好貨”是“不便宜”的充分條件，D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分、必要條件的定義的理解和應(yīng)用，以及全稱命題的否定是特稱命題的理解，屬于基礎(chǔ)題．5.若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B.（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C.[﹣1，0） D.[0，+∞）【答案】B【解析】【分析】依據(jù)在沒有零點(diǎn)列不等式，解不等式求得取值范圍.【詳解】當(dāng)x＞0時(shí)，因?yàn)閘og21＝0，所以有一個(gè)零點(diǎn)，所以要使函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)即可，當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.6.下圖是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖：在此流程圖中，①、②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法匹配正確的是（）A.①綜合法，②反證法 B.①分析法，②反證法C.①綜合法，②分析法 D.①分析法，②綜合法【答案】C【解析】【分析】由分析法和綜合法的證明思路即可得到答案．【詳解】由已知到可知，進(jìn)而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法；由未知到需知，進(jìn)而找到與已知的關(guān)系為分析法，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查分析法和綜合法的證明思路，屬于基礎(chǔ)題．7.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)在處無意義，由圖像看在軸右側(cè)，所以，，由即，即函數(shù)的零點(diǎn)，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的圖像8.以下命題正確的是（）①冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過②冪函數(shù)的圖像不行能出現(xiàn)在第四象限③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是兩條射線（不含端點(diǎn)）④是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)A.①② B.②④ C.②③ D.①③【答案】C【解析】【分析】形如，的函數(shù)是冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象過點(diǎn)，并且在第一象限是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只過定點(diǎn)，并且在第一象限是減函數(shù)，依據(jù)冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，得到正確答案.【詳解】①冪函數(shù)不經(jīng)過原點(diǎn)，所以①不正確；②形如，的函數(shù)是冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象不行能出現(xiàn)在第四象限，所以②正確；③的定義域是，，所以時(shí)，的圖象是兩條射線（不含端點(diǎn)），所以③正確；④是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域是，函數(shù)在是減函數(shù)，在也是減函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，所以④不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象嫻熟駕馭.9.某單位為了了解用電量（度）與氣溫（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了比照表：氣溫（℃）﹣1101318用電量（度）64383424由表中數(shù)據(jù)得線性回來方程，預(yù)料當(dāng)氣溫為﹣4℃時(shí)用電量度數(shù)為（）A.65 B.67 C.78 D.82【答案】D【解析】【分析】先求出樣本中心點(diǎn)為，然后將其代入，得到，從而得到線性回來方程為，再把代入，求出即可得解．【詳解】解：，，把樣本中心點(diǎn)代入，得：，所以，即，當(dāng)時(shí)，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線性回來方程的特征，樣本中心點(diǎn)肯定在回來直線上．10.設(shè)、、，，，，則、、三數(shù)（）A.都小于 B.至少有一個(gè)不大于C.都大于 D.至少有一個(gè)不小于【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式計(jì)算出，于此可得出結(jié)論.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與沖突，即、、三數(shù)至少有一個(gè)不小于，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查反證法的基本概念，解題的關(guān)鍵就是利用基本不等式求最值，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.11.設(shè)f(x)＝lg(＋a)是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)是（）A.(－∞，＋∞)上的減函數(shù)B.(－∞，＋∞)上的增函數(shù)C.(－1，1)上的減函數(shù)D.(－1，1)上的增函數(shù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可得f(0)＝0，代入求出a，并驗(yàn)證為奇函數(shù)，再求出函數(shù)的定義域，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函數(shù)f(x)的定義域是(－1，1)，，所以f(x)＝lg為奇函數(shù)，在此定義域內(nèi)f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2在(－1，1)是增函數(shù).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12.已知定義在R上的函數(shù)對(duì)隨意的x都滿意，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)恰有6個(gè)不同零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由條件確定函數(shù)的周期，在同一坐標(biāo)系下做出函數(shù)和的圖象，分和兩種狀況探討軸左右兩側(cè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，列式求的取值范圍.【詳解】由條件可知函數(shù)恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與恰有6個(gè)不同的交點(diǎn)，，的周期，且時(shí)，，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，如圖，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)和的圖象，①當(dāng)時(shí)，圖象如圖所示，軸左側(cè)有4個(gè)交點(diǎn)，右側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)滿意，解得；②當(dāng)時(shí)，與在軸左側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，右側(cè)有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)滿意，解得：；綜上可知，的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查奇偶性，對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算實(shí)力，屬于較難型.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，把答案填在答題卡中相應(yīng)的橫線上.）13.若的三邊之長(zhǎng)分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則的面積為.依據(jù)類比思想可得：若四面體的三個(gè)側(cè)面與底面的面積分別為、、、，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為__________.【答案】【解析】【分析】由合情推理中的類比推理，由平面圖形類比空間圖形，由二維到三維，由面積到體積，由圓到球，即可得出結(jié)論.【詳解】三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑．二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理中的類比推理，考查了推理，歸納實(shí)力，屬于簡(jiǎn)單題．14.馬林·梅森是17世紀(jì)法國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人探討的基礎(chǔ)上對(duì)形如的數(shù)作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作.人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是__________.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)程序框圖寫出每次循環(huán)運(yùn)行的結(jié)果即可求解.【詳解】由，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體；，，輸出的值為，不滿意條件，結(jié)束循環(huán).其中為素?cái)?shù).故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.15.若，則__________.（選“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）【答案】＞【解析】【分析】作差，分析差的正負(fù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，又所以所以，故答案為?gt;【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較法推斷兩個(gè)式子的大小，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.16.若函數(shù)有最大值3，則實(shí)數(shù)a值為__________.【答案】2【解析】【分析】令，由已知可得有最小值，利用二次函數(shù)的最值可得答案.【詳解】令，則，由題意有最大值3，則有最小值，所以且，解得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.隨著手機(jī)的普及，學(xué)生運(yùn)用手機(jī)的人數(shù)也越來越多，手機(jī)是否影響學(xué)生的學(xué)習(xí)，是備受爭(zhēng)辯的問題，某學(xué)校從學(xué)生中隨機(jī)抽取60人進(jìn)行訪問調(diào)查，結(jié)果表明：有手機(jī)的36人中有24人認(rèn)為手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響，另外12人認(rèn)為無影響，在無手機(jī)的24人中有8人認(rèn)為手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響，另外16人認(rèn)為無影響.試依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，指出有多大把握認(rèn)為手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響.有手機(jī)無手機(jī)合計(jì)有影響無影響合計(jì)參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0052.7022.7063.8415.0246.6357.879【答案】填表見解析；有97.5%的把握認(rèn)為手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響.【解析】【分析】首先依據(jù)題中所給的條件和數(shù)據(jù)，填入表中相應(yīng)的位置，得到列聯(lián)表，依據(jù)公式計(jì)算的值，與表中臨界值比較得出結(jié)果.【詳解】有手機(jī)無手機(jī)合計(jì)有影響24832無影響121628合計(jì)362460.所以有97.5%的把握認(rèn)為手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有列聯(lián)表，計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題目.18.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由可得,即,求解即可；（2）將寫為分段函數(shù)的形式,再由一次函數(shù)的性質(zhì)推斷單調(diào)性,即可求得最值.【詳解】解:（1）因?yàn)?則,即,解得,即（2）由題,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以【點(diǎn)睛】本題考查解含肯定值的不等式,考查求分段函數(shù)的最值.19.（1）已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A又在函數(shù)的圖像上，求不等式的解集；（2）已知，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）首先求的值，再解對(duì)數(shù)不等式；（2）通過換元，設(shè)，并且求變量的取值范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值.【詳解】（1）由題意知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴解得.∴.∴由得，.∴.∴.∴.∴不等式的解集為.（2）由得令，則，.∴當(dāng)，即，時(shí)，，當(dāng)，即，時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，指對(duì)數(shù)不等式，以及換元法求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型.20.如圖，相互垂直的兩條馬路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點(diǎn)C，其中米，米.記三角形花園APQ的面積為S.（1）當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是多少時(shí)，S最??？并求S的最小值；（2）要使S不小于1600平方米，則DQ的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）；；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)米（）,依據(jù)三角形相像可得的長(zhǎng),依據(jù)三角形面積公式用表示出,再用基本不等式求其最值即可;（2）解不等式即可．【詳解】（1）設(shè)米（），則，∵，∴，∴.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（2）由，得解得或.答：（1）當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是20米時(shí)，S最??？且S的最小值為1200平方米（2）要使S不小于1600平方米，則DQ的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)解析式，基本不等式，解一元二次不等式，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.21.已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式；（3）若關(guān)于t的方程至少有4個(gè)根，求參數(shù)k的取值范圍.（干脆給出答案，不用書寫解答過程）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)不等式的解集，可以設(shè)，依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸，可以確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值，從而求得，從而求得函數(shù)解析式；（2）分類探討，依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，確定出的表達(dá)式；（3）依據(jù)的表達(dá)式，確定出的函數(shù)的圖象的走向，進(jìn)而確定出k的取值范圍.【詳解】（1）是二次函數(shù)，且的解集是，∴可設(shè)，可得在區(qū)間在區(qū)間上函數(shù)是減函數(shù)，區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性，可知在區(qū)間上的最大值是：，得.因此，函數(shù)的表達(dá)式為.（2）由（1）得，函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸為.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最小值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小值，此時(shí)，.③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值；綜上所述，得的表達(dá)式為：.（3）依據(jù)，畫出的圖象，由圖