高二數(shù)學(xué)·選修2-2課程教案

PAGEPAGE1§1．4．1生活中的優(yōu)化問題舉例(1)【學(xué)情分析】：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：1.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的基本方法。2.提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.提高學(xué)生綜合、靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決生活中問題的能力3．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.【教學(xué)重點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．【教學(xué)難點(diǎn)】：將生活中的問題轉(zhuǎn)化為用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題，再用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，從而得出問題的最優(yōu)化選擇?！窘虒W(xué)突破點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：解決數(shù)學(xué)模型作答解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案【教法、學(xué)法設(shè)計(jì)】：【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖(1)復(fù)習(xí)引入：提問用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的基本步驟學(xué)生回答：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的基本步驟為課題作鋪墊.(2)典型例題講解例1．海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為。求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當(dāng)時(shí)，<0；當(dāng)時(shí)，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。選擇一個(gè)學(xué)生感覺不是很難的題目作為例題，讓學(xué)生自己體驗(yàn)一下應(yīng)用題中最優(yōu)化化問題的解法。(3)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：生活中的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題立數(shù)學(xué)模型（勿忘確定函數(shù)定義域）利用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)最值問題使學(xué)生對(duì)該問題的解題思路清析化。(4)加強(qiáng)鞏固1例2．飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響（1）你是否注意過，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？【背景知識(shí)】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問題：（１）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最?。拷猓河捎谄孔拥陌霃綖?，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是令解得（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低．（1）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值．（2）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大．換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時(shí)，，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正值．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最?。箤W(xué)生能熟練步驟.(5)加強(qiáng)鞏固2例3．磁盤的最大存儲(chǔ)量問題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．是不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲(chǔ)量×（1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大．（2）為求的最大值，計(jì)算．令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為提高提高問題的綜合性，鍛煉學(xué)生能力。(6)課堂小結(jié)建立數(shù)學(xué)模型（確立目標(biāo)函數(shù)）是解決應(yīng)用性性問題的關(guān)鍵要注意不能漏掉函數(shù)的定義域注意解題步驟的規(guī)范性(7)作業(yè)布置:教科書P104A組1,2,3。(8備用題目：1、要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為，要使其體積最大，則其高為（A）ABCD2、設(shè)正四棱柱體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為（A）ABCD3、設(shè)8分成兩個(gè)數(shù)，使其平方和最小，則這兩個(gè)數(shù)為4。4、用長(zhǎng)度為的鐵絲圍成長(zhǎng)方形，則圍成的最大面積是4。5、某廠生產(chǎn)產(chǎn)品固定成本為500元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品增加成本10元。已知需求函數(shù)為：，問：產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：先求出利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式：再求導(dǎo)函數(shù)：求得極值點(diǎn)：q＝80。只有一個(gè)極值點(diǎn)，就是最值點(diǎn)。故得：q＝80時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)是：注意：還可以計(jì)算出此時(shí)的價(jià)格：p＝30元。6、用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器.先在四角分別截去一個(gè)小正方形.然后把四邊翻轉(zhuǎn)90度角，再焊接而成（如圖）.問容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器高為xcm，容器的體積為V(x)，則令令

§1．4．2生活中的優(yōu)化問題舉例（2）【學(xué)情分析】：在基本方法已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上，本節(jié)課重點(diǎn)放在提高學(xué)生的應(yīng)用能力上?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：1．掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的基本方法。2.提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.提高學(xué)生綜合、靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決生活中問題的能力3．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.【教學(xué)重點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．【教學(xué)難點(diǎn)】：將生活中的問題轉(zhuǎn)化為用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題，再用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，從而得出問題的最優(yōu)化選擇?！窘谭?、學(xué)法設(shè)計(jì)】：練講練.【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖(1)復(fù)習(xí)引入：建立數(shù)學(xué)模型（確立目標(biāo)函數(shù)）是解決應(yīng)用性性問題的關(guān)鍵要注意不能漏掉函數(shù)的定義域?yàn)檎n題作鋪墊.(2)典型例題講解例1、用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積。解:設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為(x+0.5)m,高為(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m則3.2–2x>0,x>0,得0<x<1.6.設(shè)容器體積為ym3,則y=x(x+0.5)(3.2–2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6)y'=-6x2+4.4x+1.6,令y'=0得x=1或x=-4/15(舍去），∴當(dāng)0<x<1時(shí)，y'>0,當(dāng)1<x<1.6時(shí)，y'<0,∴在x=1處，y有最大值，此時(shí)高為1.2m,最大容積為1.8m3。選擇一個(gè)學(xué)生感覺不是很難的題目作為例題，讓學(xué)生自己體驗(yàn)一下應(yīng)用題中最優(yōu)化化問題的解。(4)加強(qiáng)鞏固1例2、有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的兩側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。浚ㄗⅲ翰挥?jì)河寬）解：設(shè)，（0<<）,.設(shè)總的水管費(fèi)用為().依題意,有()=）+.()==.令()=0,得.根據(jù)問題的實(shí)際意義,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,此時(shí),,,,即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省。使學(xué)生能熟練步驟.(5)加強(qiáng)鞏固2例3、已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為C=（元），問：要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：（1）設(shè)平均成本為y元，則..令,得,當(dāng)在附近左側(cè)時(shí),<0;在=1000附近右側(cè)時(shí),>0,故當(dāng)=1000時(shí),y取得最小值,因此,要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品.(2)利潤(rùn)函數(shù)為,.令,解得.當(dāng)在附近左側(cè)時(shí),>0;在附近右側(cè)時(shí),<0.故當(dāng)時(shí),L取得極大值.由于函數(shù)只有一個(gè)使的點(diǎn),且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值,那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值.因此,要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品.提高提高問題的綜合性，鍛煉學(xué)生能力。(6)課堂小結(jié)讓學(xué)生自己總結(jié)生活中的最優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)背景主要有：立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等。自變量的引入不是固定的，要注意引入自變量的技巧。(7)作業(yè)布置:教科書P104A組4,5,6。(8備用題目：1、用邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各剪去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角剪去的正方形的邊長(zhǎng)為（B）ABCD3、做一個(gè)容積為底面為正方形的無蓋長(zhǎng)方體水箱，它的高為4時(shí)，最省料。4、某公司規(guī)定：對(duì)于小于或等于150件的訂購合同，每件售價(jià)為280元，對(duì)于多于150的訂購合同，每超過一件，則每件售價(jià)比原來減少1元，當(dāng)公司的收益最大時(shí)訂購件數(shù)為215。5、某賓館有５０個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為１８０元時(shí)，房間會(huì)全部住滿；房間的單價(jià)每增加１０元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館每天每間需花費(fèi)２０元的各種維修費(fèi)．房間定價(jià)多少時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？解:設(shè)賓館定價(jià)為(180＋10x)元時(shí)，賓館的利潤(rùn)Ｗ最大其中6、一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知速度為每小時(shí)10km,燃料費(fèi)是每小時(shí)6元,而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元,求這艘輪船在以何種速度航行時(shí),能使航行1km的費(fèi)用總和最小?解:設(shè)船速為(>0),航行1km的費(fèi)用總和為,設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)為則.（其中）；.令,解得.當(dāng)，即以每小時(shí)20公里的速度航行時(shí)，航行1km的費(fèi)用總和最小。

定積分高考試題精選1、（2013江西卷（理））若則的大小關(guān)系為 （）A． B．C． D．【答案】B2、（2013北京卷（理））直線l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于 （）A． B．2 C． D．【答案】C3、（2013湖南卷（理））若_________.【答案】34、（2013湖北卷（理））一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止，在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：)是（）A．B．C．D．【解析】令，則。汽車剎車的距離是，故選C?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用5、【2012湖北理3】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)圖像可得：，再由定積分的幾何意義，可求得面積為.6、【2012江西理11】計(jì)算定積分___________。【答案】【命題立意】本題考查微積分定理的基本應(yīng)用。【解析】。7、【2012山東理15】設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為，則______.【答案】【解析】由已知得，所以，所以。8、【2012上海理13】已知函數(shù)的圖象是折線段，其中、、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為。【答案】【解析】當(dāng)，線段的方程為，當(dāng)時(shí)。線段方程為，整理得，即函數(shù)，所以，函數(shù)與軸圍成的圖形面積為。9、【2012福建理6】如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為A.B.C.D.【答案】Ｃ.【解析】根據(jù)定積分的幾何意義可知陰影部分的面積，而正方形的面積為１，所以點(diǎn)Ｐ恰好取自陰影部分的概率為．故選Ｃ．10、(2011新課標(biāo)卷理科9)由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為（A）（B）4（C）（D）6【答案】C解析：因?yàn)榈慕鉃?，所以兩圖像交點(diǎn)為，于是面積故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分的概念、幾何意義、運(yùn)算及解決問題的能力。求曲線圍成的圖形的面積，就是要求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的定積分。11、(2011湖南卷理科6)由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為A.B.1C.D.答案：D解析：由定積分的幾何意義和微積分基本定理可知S=。故選D評(píng)析：本小題主要考查定積分的幾何意義和微積分基本定理等知識(shí).12、(2011陜西卷理科11)設(shè)，若，則【答案】1【解析】13、（2010山東卷理科7）由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（A） (B) (C) (D)【答案】A【解析】由題意得:所求封閉圖形的面積為,故選A?！久}意圖】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識(shí)，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積。14、(2010湖南卷理科5)等于（）A、B、C、D、【解析】因?yàn)?，所以，故選D15、(2010寧夏卷13）設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分，先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)和，由此得到N個(gè)點(diǎn)，再數(shù)出其中滿足的點(diǎn)數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分的近似值為?！敬鸢浮縳yO13解析：的幾何意義是函數(shù)的圖像與軸、直線和直線所圍成圖形的面積，根據(jù)幾何概型易知．xyO1316、（2010陜西卷理科13）從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)取自陰影部分的概率為.【解析】本題屬于幾何概型求概率，∵，，∴所求概率為.17、(09福建理4)等于A．B.2C.-2D.+2答案：D解析：∵.故選D

§2.3數(shù)學(xué)歸納法(1)【學(xué)情分析】：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法，在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取無限多個(gè)正整數(shù)的情形?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。（2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、提出問題1.問題1：盒子里有八個(gè)乒乓球，如何證明里面的球全為白色？以試驗(yàn)的方式，從盒子中先取5次球，觀察顏色并猜想其余球的顏色，判斷猜想是否正確（完全歸納法）？2.考察部分對(duì)象，得到一般結(jié)論的方法，叫做不完全歸納法。不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確?？疾烊繉?duì)象，得到一般結(jié)論的方法，叫做完全歸納法。完全歸納法得到的結(jié)論一定正確。3.舉2個(gè)小例子說明不完全歸納法不一定正確。小明的爸爸有3個(gè)兒子，老大說：“我叫1毛”，老二說：“我叫2毛”，老三說————？（我聲明，我不叫3毛，我叫小明）。因?yàn)榫匦闻c正方形的對(duì)角線都相等且互相平分，所以說所有四邊形的對(duì)角線都相等且互相平分。4.問題2：請(qǐng)大家回憶，課本是如何得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的？（板書）歸納出的結(jié)論——正確。5.問題3：對(duì)于數(shù)列{an}，已知（n=1,2,……），求出，我們猜想其通項(xiàng)公式為。這個(gè)結(jié)論正確嗎？生：討論、交流。6.提出問題：很多時(shí)候用完全歸納法證明結(jié)論是否正確是不合適的，我們借助不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)或猜想結(jié)論，那么如何解決不完全歸納法存在的問題呢？（只有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。）通過實(shí)際例子了解不完全歸納法與完全歸納法的概念復(fù)習(xí)回顧提出問題，引發(fā)思考通過一系列的問題引出新課二、數(shù)學(xué)歸納法原理1.由多米諾骨牌引入數(shù)學(xué)歸納法[投影]多米諾骨牌游戲提出兩個(gè)問題：若第一塊不倒，出現(xiàn)什么情況？若中間某塊倒下，不能使其下一塊倒下，出現(xiàn)什么情況？所以多米諾骨牌游戲能進(jìn)行下去要滿足兩個(gè)條件。（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。2．參照多米諾骨牌的原理，我們?cè)O(shè)想：在證明某些與正整數(shù)有關(guān)問題時(shí)，先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1或2)時(shí)，命題成立（即骨牌的第一塊能倒），然后假設(shè)只要由n=k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，就能推出n=k+1時(shí)命題也成立（即只要某一塊倒下，就能使其下一塊也倒下），那么就證明這個(gè)命題成立（所有骨牌都能倒下）。我們稱這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。（嚴(yán)謹(jǐn)，一而二，二而三，……以至無窮）數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍、原理電腦多媒體課件能夠強(qiáng)化對(duì)學(xué)生感觀的刺激，它創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、形象、直觀的教學(xué)情景，可以極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加大一節(jié)課的信息容量，幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)三、應(yīng)用給出問題3的數(shù)學(xué)歸納法的證明，將每一步驟標(biāo)號(hào)。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路和步驟。數(shù)列{an}中，已知（n=1,2,……），則猜想其通項(xiàng)公式為。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)已知及假設(shè)，所以即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。由（1）（2）可以斷定，等式對(duì)一切n∈N*都成立強(qiáng)調(diào):要用到歸納假設(shè)；列出證明n=k+1成立時(shí)的目標(biāo)通過此例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。詳細(xì)的板書推導(dǎo)利于學(xué)生總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟及更進(jìn)一步地理解原理四、歸納明確數(shù)學(xué)歸納法的“起動(dòng)步驟”和“遞推步驟”這“兩個(gè)步驟”以及“一個(gè)結(jié)論”。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是：(1)（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)時(shí)命題成立；(2)（歸納遞推）假設(shè)n=k(k∈N*且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的自然數(shù)n都正確。強(qiáng)調(diào)：（1）上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者缺一不可。 （2）第一步要證明，n=k+1時(shí)也要證明，且過程中一定要用到假設(shè)。閱讀課本：P93倒數(shù)第5行至P94例1上方。培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力培養(yǎng)閱讀習(xí)慣五、應(yīng)用例1用數(shù)學(xué)歸納法證明 板書解答過程，注意解題規(guī)范，嚴(yán)防出現(xiàn)“依次類推”式的不完全歸納法；強(qiáng)調(diào)n=k成立必須應(yīng)用在證明n=k+1成立的過程中，不可應(yīng)用等差數(shù)列求和公式證明n=k+1成立。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=1，右式=12，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立即成立則當(dāng)n=k+1時(shí)所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立綜合（1）（2）知，等式對(duì)于任意n∈N*都成立。演示此求證式的含義保證學(xué)生及時(shí)地在充分理解的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)歸納法的解題方法及步驟六、練習(xí)鞏固P95.練習(xí)1.實(shí)物投影學(xué)生解答過程，及時(shí)點(diǎn)評(píng)。（學(xué)生板演練習(xí)）通過講評(píng)可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中存在的問題，予以更正。七、知識(shí)小結(jié)適用：與正整數(shù)有關(guān)的命題重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉通過小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)十、課后作業(yè)1.P96習(xí)題2.3 A組1（2）2.P96習(xí)題2.3B組1通過作業(yè)反饋，了解對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握的效果，以利課后解決學(xué)生尚有疑難的地方十一、設(shè)計(jì)反思本節(jié)課讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的原理及證題步驟有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，所選例題及練習(xí)均是較基礎(chǔ)和簡(jiǎn)單的。在教學(xué)過程中要強(qiáng)調(diào)：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難在第二步。即在假設(shè)n=k命題成立時(shí)，推出n=k+1時(shí)命題也成立。要順利地完成這一步，主要依賴于觀察、歸納、恒等變形等方面的能力。在推導(dǎo)證明中必須運(yùn)用到“歸納假設(shè)”，否則不是數(shù)學(xué)歸納法。【練習(xí)與測(cè)試】：1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（） A.n=1時(shí)成立 B.n=2時(shí)成立C.n=3時(shí)成立 D.n=4時(shí)成立答案：C解：由于多邊形最少是三角形，故選C。2.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)時(shí)該命題成立，則一定可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立?，F(xiàn)已知n=5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有（） A.當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立 B.當(dāng)n=6時(shí)，該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立 D.當(dāng)n=6時(shí)，該命題不成立答案：C解：n=6時(shí)命題成立與否不能確定，排除B、D；假設(shè)n=4時(shí)，該命題成立，由已知得n=5時(shí)該命題成立，與已知條件矛盾，故選C。3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為_______________________________。答案：1+a+a2解：由題意可知等式左端共有n+2項(xiàng)，∴當(dāng)n=1時(shí)，左端有3項(xiàng)為1+a+a2。4.數(shù)列{an}中，已知（n=1,2,……），計(jì)算，猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。解： 猜想：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)已知及假設(shè)，所以即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。由（1）（2）可以斷定，等式對(duì)一切n∈N*都成立5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：n邊形的內(nèi)角和為證明：（1）當(dāng)n=3時(shí)，三角形內(nèi)角和為，滿足。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即k邊形的內(nèi)角和為 則當(dāng)n=k+1時(shí)，相當(dāng)于多出了一個(gè)三角形，內(nèi)角增加了，所以k+1邊形的內(nèi)角和為 即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立。 綜合（1）（2），命題對(duì)于任意成立。6.若n為正整數(shù)，求證：n3+5n能被整除。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，則k3+5k能被6整除 則當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6 由假設(shè)知k3+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍數(shù)，即3k(k+1)為6的倍數(shù)，第三項(xiàng)6也能被6整除，因此，(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。 綜合(1)(2)知，原命題成立。

§2.3數(shù)學(xué)歸納法(2)【學(xué)情分析】：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法，在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取無限多個(gè)正整數(shù)的情形。本節(jié)課是在上節(jié)課的基礎(chǔ)上進(jìn)上步熟悉數(shù)學(xué)歸納法的證題原理及步驟?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。（2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力。【教學(xué)重點(diǎn)】：進(jìn)一步鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想的認(rèn)識(shí)，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、復(fù)習(xí)回顧數(shù)學(xué)歸納法的主要步驟及其適用范圍(1)（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)時(shí)命題成立；(2)（歸納遞推）假設(shè)n=k(k∈N*且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。那那么，對(duì)n≥n0的一切自然數(shù)n命題都成立。數(shù)學(xué)歸納法多用于證與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。二、應(yīng)用1.例2用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。綜合(1)(2)可知，等式對(duì)任何都成立。2.例3已知數(shù)列，計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。解：；猜想：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=，猜想成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即那么，所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。綜合(1)(2)知，猜想對(duì)任何都成立。詳細(xì)板書證明過程強(qiáng)調(diào)：在證明n=k+1時(shí)一定要用到假設(shè)，整理過程中如何減少運(yùn)算量，將待證目標(biāo)式擺到草稿紙上，對(duì)應(yīng)目標(biāo)化簡(jiǎn)整理。進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟及思路。三、練習(xí)鞏固P91.練習(xí)2.四、知識(shí)小結(jié)1.適用：與正整數(shù)有關(guān)的命題重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉2.數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟是一個(gè)統(tǒng)一的整體，缺一不可，注意在第二步中將歸納假設(shè)當(dāng)做已知條件使用，而且必須運(yùn)用到“歸納假設(shè)”，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。3.數(shù)學(xué)歸納法用步驟（1）和（2）的證明代替了無窮多個(gè)命題的證明，這里體現(xiàn)了有窮和無窮的辯證關(guān)系。通過小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)五、課后作業(yè)1.P91習(xí)題2.3 A組22.P91習(xí)題2.3 B組2.3.通過作業(yè)反饋，了解對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握的效果，以利課后解決學(xué)生尚有疑難之處六、設(shè)計(jì)反思數(shù)學(xué)歸納法的步驟非常清晰，但學(xué)生在應(yīng)用的過程中容易出現(xiàn)如下問題：如何由n=k時(shí)成立的歸納假設(shè)去推得n=k+1時(shí)結(jié)論依然成立，要通過仔細(xì)觀察與分析前后原式發(fā)生的變化，不能輕易下結(jié)論；歸納假設(shè)是數(shù)學(xué)歸納法解題成功與否的關(guān)鍵，一定要利用上；為充分利用歸納假設(shè)，往往要利用“拆”、“添”項(xiàng)的方法“湊”出歸納假設(shè)中成立的因子。在教學(xué)過程中應(yīng)給以強(qiáng)調(diào)?！揪毩?xí)與測(cè)試】：使用數(shù)學(xué)歸納法證明，若不等式成立，則n的取值范圍是（） A. B.C. D.答案：D解：當(dāng)n取第一個(gè)值5時(shí)，命題成立。2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，要證明第一步時(shí)，左邊的式子=。答案：。3．當(dāng)時(shí)，求證：。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=，右式=1，，原不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，左式=所以n=k+1時(shí)結(jié)論成立綜合（1）（2）原不等式對(duì)于任意均成立。4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“成立，（）”，第二步從n=k到n=k+1時(shí)，左式有什么變化？答案：左端增加了兩項(xiàng)（2k+1）、（2k+2），還少了一項(xiàng)（k+1）。解：當(dāng)n=k時(shí)，左式=5．已知f(x)是定義在（-∞，+∞）上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x,y,f(x)都滿足。（1）求的值；（2）判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；（3）證明：。解：（1）∵f(x)對(duì)任意x,y,f(x)都有 ∴ （2）∵f(x)對(duì)任意x,y,f(x)都有 ∴ 將f(-1)=0代入得f(-t)=-f(t)∴函數(shù)f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函數(shù)。證明：（3）用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=f(a1)=f(a)，右邊=，等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有這表明當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。 綜合①②可知，對(duì)任意正整數(shù)，等式成立。6.是否存在實(shí)數(shù)a,b,c,使得等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論。解：假設(shè)存在a,b,c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有 故于是，對(duì)n=1,2,3,下面等式成立，。（*）下面證明上式對(duì)任何正整數(shù)n都成立證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式，左式=右式，所以（*）式成立。 （2）假設(shè)n=k時(shí)（*）式成立，即有 那么，當(dāng)n=k+1時(shí)， 也就是說，（*）式對(duì)n=k+1也成立。 綜合(1)(2)，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立。

§2.2.1綜合法和分析法(1)【學(xué)情分析】：前一階段剛剛學(xué)習(xí)了人們?cè)谌粘；顒?dòng)和科學(xué)研究中經(jīng)常使用的兩種推理——合情推理和演繹推理。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明。這是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特點(diǎn)。本節(jié)學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過用綜合法、分析法和反證法證明數(shù)學(xué)命題，但他們對(duì)這些證明方法的內(nèi)涵和特點(diǎn)不一定非常清楚，邏輯規(guī)則也會(huì)應(yīng)用不當(dāng)。本部分結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析這些基本證明方法的電教過程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程框圖，使他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)和生活中，能自覺地、有意識(shí)地運(yùn)用這些方法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法；了解綜合法、分析法的思考過程、特點(diǎn)（2）過程與方法：能夠運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問題（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣【教學(xué)重點(diǎn)】：了解綜合法、分析法的思考過程、特點(diǎn)；運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)問題特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法證明數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、提出問題1.比較生：。2.生：討論、交流完成，對(duì)比解答通過復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課通過典型數(shù)學(xué)實(shí)例，概括綜合法的特點(diǎn)二、綜合法定義綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。（也形象地稱為“順推證法”或“由因?qū)Чā保╅喿x課本P85倒數(shù)第3行：流程框圖 更直觀了解綜合法的證明過程三、應(yīng)用1.例1．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，且A，B，C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：為等邊三角形。[幾何畫板]證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C①∵A，B，C為的內(nèi)角∴A+B+C=π②由①②得③由a,b,c成等比數(shù)列，有④∵由④，得即因此a=c從而有A=C⑤由②③⑤，得所以為等邊三角形。強(qiáng)調(diào)分析過程和思考過程，尤其是本題的文字語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換（2B=A+C），隱含條件的顯性化（A+B+C=π），通過尋找條件和結(jié)論間的聯(lián)系，就可直接從已知條件和余弦定理出發(fā)，證明問題。例題起到運(yùn)用綜合法證題的示范作用，注意規(guī)范化表達(dá)。四、練習(xí)鞏固1.P89.12.補(bǔ)充：已知:xy>0,求證：[幾何畫板]證明：（學(xué)生板演練習(xí)）及時(shí)講評(píng)學(xué)生板演過程中出現(xiàn)的問題五、提出問題師：要證明成立，需要什么條件？生：需要：師：要證明成立，只需證什么條件？生：需要：師：要證明成立，需要什么條件？生：需要：師：是否成立？生：是的師：上面的分析過程，即給出分析法的實(shí)例。詳細(xì)的板書推導(dǎo)利于學(xué)生總結(jié)歸納出分析法的思考過程和特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生概括出分析法的特點(diǎn)六、分析法定義分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種證明的方法叫做分析法。（也形象地稱為“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”）閱讀課本P97.流程框圖更直觀了解分析法的證明過程七、應(yīng)用1.例2．求證：證明：∵和4都是正數(shù)∴為了證明只需證明展開得：只需證15<16∵15<16顯然成立，∴原式成立2.師：綜合法與分析法有什么樣的思維關(guān)系？生：討論交流，總結(jié)歸納“綜合法”與“分析法”的思維是互逆的關(guān)系，綜合法是從條件出發(fā)，產(chǎn)生與目標(biāo)相關(guān)的聯(lián)想，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決；而分析法是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立須滿足的條件在具體處理問題時(shí)，兩種思維一般同時(shí)進(jìn)行，即綜合法離不開目標(biāo)的指引，分析法離不開條件的環(huán)境。綜合法和分析法各有優(yōu)缺點(diǎn)。分析法思考自然，容易找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思考。實(shí)際證明時(shí)先用分析法探求證明途徑，然后用綜合法敘述。3.上面的例2可以用綜合法完成證明（要在草稿紙上先分析好）例題證明∵15<16∴∴則∵和4都是正數(shù)∴成立例題示范分析法的思路、證明步驟，加深對(duì)分析法的認(rèn)識(shí)通過討論交流，比較2種證明方法的差異，提升對(duì)綜合法與分析法的認(rèn)識(shí)。老師要提醒并強(qiáng)調(diào)分析法的證明過程易出現(xiàn)不完整情況正因?yàn)榉治龇ㄔ谧C明過程中易出現(xiàn)步驟的不完善，所以告訴學(xué)生可以將用分析法證明的問題以綜合法的形式呈現(xiàn)，這樣也可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性思維八、練習(xí)鞏固P89.2九、知識(shí)小結(jié)綜合法和分析法的思考過程、特點(diǎn)；分析法證明問題時(shí)需要注意的地方；綜合法與分析法的關(guān)系。[幾何畫板]通過小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)十、課后作業(yè)1．P91.習(xí)題2.2A組22.P91.習(xí)題2.2B組22.閱讀課本十一、設(shè)計(jì)反思學(xué)生在用分析法證明問題時(shí)，往往缺少必要的敘述環(huán)節(jié)，直接從還應(yīng)證式出發(fā)推證。教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)證明格式，對(duì)于普通班，可以要求學(xué)生將草稿紙上的分析過程倒過來寫，只用綜合法的方式證題，這樣會(huì)清晰得多?！揪毩?xí)與測(cè)試】：1．命題“對(duì)任意角都成立”的證明過程如下： “”，該過程應(yīng)用了（） A.分析法 B.綜合法 C.綜合法與分析法結(jié)合使用 D.間接證法答案：B解：因?yàn)槭抢萌枪胶统朔ü街苯油瞥鼋Y(jié)論，故選B。2.已知，求證：。證明： 而，故 ∴求證式成立。求證：證明：因?yàn)椋?所以左邊= = 所以成立4．求證：如果證明：當(dāng)上式兩端取對(duì)數(shù)得：從而所以，命題得證。5．設(shè)a>b>0且ab=1，求證： 證明： ∵a>b>0，∴a-b>0 因此有 所以，命題得證。6．已知： 證明：∵a+b+c=1∴左式= 又∵∴ 即成立。

§2.2.1綜合法和分析法(2)【學(xué)情分析】：前兩節(jié)課分別學(xué)習(xí)了綜合法與分析法的思考過程、特點(diǎn)。本節(jié)是在前兩節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)運(yùn)用綜合法與分析法證明數(shù)學(xué)問題。在解決問題時(shí)，往往會(huì)將這兩種直接證明的方法結(jié)合起來使用，本節(jié)課的例4就是運(yùn)用這種證明方式?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：進(jìn)一步了解直接證明的兩種基本方法——綜合法與分析法的思考過程、特點(diǎn)（2）過程與方法：進(jìn)一步運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問題（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣【教學(xué)重點(diǎn)】：運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問題。【教學(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)問題特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法證明數(shù)學(xué)問題或?qū)煞N方法結(jié)合使用；分析法證明問題的正確格式【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、復(fù)習(xí)回顧綜合法和分析法的思考過程、特點(diǎn)綜合法與分析法的關(guān)系一、復(fù)習(xí)回顧綜合法和分析法的思考過程、特點(diǎn)綜合法與分析法的關(guān)系二、應(yīng)用1.例3．如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F。求證：AF⊥SC。證明：要證AF⊥SC只需證SC⊥平面AEF，只需證AE⊥SC（因?yàn)開_______________）只需證AE⊥平面SBC，ESFAESFABC只需證BC⊥平面SAB，只需證BC⊥SA（因?yàn)開_______________）由SA⊥平面ABC可知，上式成立。所以，AF⊥SC。嘗試讓學(xué)生用口頭敘述例3的綜合法證明過程。2.例4．已知，且，①，②求證：分析：通過觀察，首先應(yīng)從已知條件中消去，得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系式，而求證式中出現(xiàn)的是切函數(shù)，所以可以將切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)，正余弦的轉(zhuǎn)化因有二次，不成問題。證明：因?yàn)?，所以將①②代入上式，可得③另一方面，要證：成立即證，即證即證即證由于上式與③相同，于是問題得證。從例4可以看到，在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件得到中間結(jié)論P(yáng)。若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立。閱讀P100上方給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，再師生共同討論分析：線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化（線線垂直線面垂直線線垂直）分析要到位，通過本例進(jìn)一步熟悉綜合法與分析法的證題思路特點(diǎn)更直觀了解綜合法與分析法的結(jié)合運(yùn)用三、練習(xí)鞏固P89.3及時(shí)講評(píng)學(xué)生板演過程中出現(xiàn)的問題四、知識(shí)小結(jié)綜合法和分析法的思考方向恰好相反，一般來說，分析法作為思考過程比較自然，容易找到證題路徑；而綜合法作為證明過程，形式簡(jiǎn)潔、條理清晰、易于表達(dá)，令人產(chǎn)生嚴(yán)謹(jǐn)、完善的感覺。但在思維成分中，純粹的分析法和純粹的綜合法是很少的，往往是在分析中有綜合，在綜合中又有分析。五、課后作業(yè)1.P91.習(xí)題2.2A組3.4.2.P91.習(xí)題2.2B組3.六、設(shè)計(jì)反思學(xué)生在做證明題時(shí)，往往格式會(huì)不規(guī)范，最易范的錯(cuò)誤是從求證式直接證起，要注意糾正。本節(jié)的作業(yè)A組第4題要稍做提示?！揪毩?xí)與測(cè)試】：用分析法證明：欲使①A>B，只需②C<D，這里①是②的（）A．充分條件B.必要條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件答案：B解：由分析法的證題思路知：②①，但①不一定推出②，故選B。2．A．M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N答案：B解：M>N∵15<24顯然成立，∴選B3.若證明：要證原式成立，只需證，因?yàn)? 所以只需證 要證上式成立，只需證 顯然成立，所以原不等式成立。4.若證明：∵∴，顯然成立，所以原式成立。5．若證法一：若證原不等式成立，只要證 要證此不等式成立，只要證成立 即 要證上式成立，只要證 即證0<2顯然成立，所以不等式成立。證法二：若證原不等式成立，只要證成立 即證：，而此式顯然成立，所以原式成立。6．若證明：要證只需證： 只需證：因?yàn)閍>0 所以因需證a+b-2c<0即證：a+b<2c顯然成立，所以求證式成立。7.若證明：要證原式成立，只需證，因?yàn)? 所以只需證 要證上式成立，只需證 顯然成立，所以原不等式成立。

§2.2.2反證法【學(xué)情分析】：前面我們學(xué)習(xí)了兩種直接證明問題的方法——綜合法和分析法。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過用反證法證明數(shù)學(xué)命題，本節(jié)課進(jìn)一步熟悉運(yùn)用反證法證明某些直接證明較難解決的數(shù)學(xué)問題。【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)（2）過程與方法：能夠運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)問題（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣【教學(xué)重點(diǎn)】：了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】： 運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、提出問題問題1、任找370個(gè)人，他們中生日有沒有相同的呢？問題2、將9個(gè)球分別染成紅色或白色，無論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？思考：通過以上幾個(gè)練習(xí)，大家已經(jīng)初步體會(huì)到反證法的作用，你能不能總結(jié)一下應(yīng)用反證法的概念及其步驟？從實(shí)際生活的例子出發(fā)，使學(xué)生對(duì)反證法的基本方法和步驟有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)。二、反證法定義1：反證法的概念：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法．2：反證法的基本步驟：1）:假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2）:從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；3）:從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.3：應(yīng)用反證法的情形：1）：直接證明困難；2）：需分成很多類進(jìn)行討論；3）：結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)”類命題；4）：結(jié)論為“唯一”類命題；三、應(yīng)用例1、已知直線和平面，如果，且，求證。解析：讓學(xué)生理解反證法的嚴(yán)密性和合理性；證明：因?yàn)?所以經(jīng)過直線a,b確定一個(gè)平面。因?yàn)?，而，所以與是兩個(gè)不同的平面．因?yàn)椋?，所?下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點(diǎn)．假設(shè)直線a與平面有公共點(diǎn)，則，即點(diǎn)是直線a與b的公共點(diǎn)，這與矛盾．所以.點(diǎn)評(píng)：用反證法的基本步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等利例2、求證：不是有理數(shù)解析：直接證明一個(gè)數(shù)是無理數(shù)比較困難，我們采用反證法．假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)．我們知道，任一有理數(shù)都可以寫成形如（互質(zhì)，”的形式．下面我們看看能否由此推出矛盾．證明：假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)．于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)，使得，從而有,因此，，所以m為偶數(shù)．于是可設(shè)(k是正整數(shù)），從而有，即所以n也為偶數(shù)．這與m,n互質(zhì)矛盾！由上述矛盾可知假設(shè)錯(cuò)誤，從而是無理數(shù)．點(diǎn)評(píng)：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。直觀了解反證法的證明過程。否定結(jié)論，推出矛盾。提醒學(xué)生：使用反證法進(jìn)行證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾。這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等。進(jìn)上步熟悉反證法的證題思路及步驟。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合思考題和例題歸納出反證法所適用的題型特點(diǎn)和一般步驟。培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。四、歸納1.通過思考題和例題，我們發(fā)現(xiàn)反證法適用于什么樣的題目？（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形。2.歸納一下反證法的證題一般步驟：（1）否定命題的結(jié)論；（2）進(jìn)行合邏輯的推理；（3）導(dǎo)出任何一種矛盾；（4）肯定原命題的結(jié)論。五、練習(xí)鞏固1.P91.練習(xí)1.22.補(bǔ)充：用反證法證明（1）如果.（2）求證：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行。通過講評(píng)可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中存在的問題，予以更正。六、知識(shí)小結(jié)反證法的證題步驟：（1）否定命題的結(jié)論；（2）進(jìn)行合邏輯的推理；（3）導(dǎo)出任何一種矛盾；（4）肯定原命題的結(jié)論。反證法的適宜題型：（1）對(duì)于起始命題、基本命題、特殊命題，由于可以用到的定理、公式甚少或不易找出直接證明的關(guān)系，用反證法有時(shí)會(huì)驟得較好的效果；（2）命題的結(jié)論中含“不”、無”等（稱為否定形式命題），往往可以考慮反證法；（3）命題用反面結(jié)論較易推出矛盾，適宜使用反證法；（4）命題結(jié)論中含“至多”、“至少”、“超過”、“不超過”等詞，往往可以考慮反證法；（5）惟一性的命題，直接證不如反證法更易于入手。通過小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)七、課后作業(yè)P102習(xí)題2.2A組1八、設(shè)計(jì)反思反證法學(xué)生并不陌生，在初中就已有所接觸。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)一步明確其步驟，尋找矛盾點(diǎn)，哪些題型是適用于反證法證的。感覺學(xué)生應(yīng)該容易接受。【練習(xí)與測(cè)試】：1．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程則a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（） A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù) B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) C.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù) D.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù) 答案：B解：反證法的假設(shè)，恰好與結(jié)論相反，“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”。選B。2．用反證法證明命題“若整數(shù)n的立方是偶數(shù)，則n也是偶數(shù)”如下：假設(shè)n是奇數(shù)，則n=2k+1(k∈Z)，_____________________________________，這與已知是偶數(shù)矛盾，所以n是偶數(shù)。答案：解：和的立方公式展開答案為。ccbaaa3．已知平面和不在這個(gè)平面內(nèi)的直線a都垂直于平面，求證：直線a∥平面。證明：假設(shè)a不平行，則a與必有公共點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A，過點(diǎn)A在平面內(nèi)作直線c⊥b，由⊥知，c⊥，而a⊥，則a∥c。這與a、c相交于點(diǎn)A相矛盾，因此，假設(shè)錯(cuò)誤，即a∥。4.已知函數(shù)。（1）證明：函數(shù)上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)根。證明：（1）令 當(dāng)x≠-1時(shí)∴在上g(x)為增函數(shù)。 ∵a>1時(shí)，在上為增函數(shù)，∴上為增函數(shù)。（2）設(shè)存在，滿足，則所以，與假設(shè)矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)根。5．設(shè)。證明：a,b,c都是不大于的非負(fù)數(shù)。證明：假設(shè)結(jié)論不正確，可設(shè) （1）若c<0，由 即 ∵c<0，由上式可得(a+b)<0，從而a+b+c<0與題設(shè)a+b+c=2矛盾。（2）若。又由∴。這是不可能的，因此也是不可能的。 綜合兩種情況知必有。同理可證6.求證：拋物線上不存在關(guān)于直線y+x=0對(duì)稱的兩點(diǎn)。證明：假設(shè)拋物線上存在關(guān)于直線y+x=0對(duì)稱的兩點(diǎn)A(a,b)和B(-b,-a)，（，且a,b∈R），則，兩式相減得, 由于，則，代入得，故方程無實(shí)根，這與b為實(shí)數(shù)相矛盾，故拋物線上不存在關(guān)于直線y+x=0對(duì)稱的兩點(diǎn)。

§3．1.1變化率問題§3．1.2導(dǎo)數(shù)的概念【學(xué)情分析】：本節(jié)的中心任務(wù)是形成導(dǎo)數(shù)的概念.概念形成劃分為兩個(gè)層次：1、借助氣球膨脹率問題，了解變化率的含義；借助高臺(tái)跳水問題，明確瞬時(shí)速度的含義.2、以速度模型為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合其他實(shí)例抽象出導(dǎo)數(shù)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率，了解導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵.學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解會(huì)有些困難，所以要對(duì)課本上的兩個(gè)問題進(jìn)行深入的探討，以便順利地使學(xué)生形成導(dǎo)數(shù)的概念。【教學(xué)目標(biāo)】：知道了物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，用極限來定義物體的瞬時(shí)速度，學(xué)會(huì)求物體的瞬時(shí)速度掌握導(dǎo)數(shù)的定義.【教學(xué)重點(diǎn)】：理解掌握物體的瞬時(shí)速度的意義和導(dǎo)數(shù)的定義.【教學(xué)難點(diǎn)】：理解掌握物體的瞬時(shí)速度的意義和導(dǎo)數(shù)的定義.【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖問題1氣球膨脹率（一）問題提出問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析:，（1）當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為（2）當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了hto氣球的平均hto可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了．思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?為導(dǎo)數(shù)概念的引入做鋪墊問題2高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?思考計(jì)算：和的平均速度在這段時(shí)間里，；在這段時(shí)間里，探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題：（1）運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？（2）你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，，所以，雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．（二）平均變化率概念:1．上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2．若設(shè),(這里看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+代替x2,同樣)則平均變化率為思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?（1）一起討論、分析，得出結(jié)果；（2）計(jì)算平均變化率的步驟：①求自變量的增量Δx=x2-x1；②求函數(shù)的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均變化率.注意：①Δx是一個(gè)整體符號(hào)，而不是Δ與x相乘；②x2=x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則．解：，∴求在附近的平均變化率。解：，所以所以在附近的平均變化率為讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度，為引入導(dǎo)數(shù)的概念做好鋪墊.四、瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？考察附近的情況：思考：當(dāng)趨近于0時(shí)，平均速度有什么樣的變化趨勢(shì)？結(jié)論：當(dāng)趨近于0時(shí)，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值．從物理的角度看，時(shí)間間隔無限變小時(shí)，平均速度就無限趨近于史的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是為了表述方便，我們用表示“當(dāng)，趨近于0時(shí)，平均速度趨近于定值”小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。五、導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即注意：（1）函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在（2）在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而可能為0（3）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率（4）是函數(shù)對(duì)自變量在范圍內(nèi)的平均變化率.（5），當(dāng)時(shí)，，所以（定義的變形）要讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念六、典例分析例3、求y=x2在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：根據(jù)求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法的三個(gè)步驟，先求Δy，再求，最后求.解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx∴=(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2.注意：(Δx)2括號(hào)別忘了寫.例4、求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．解：例5、（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．解：在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，所以同理可得:在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升．注：一般地，反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況．七、引申例6、函數(shù)滿足，則當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，（1）（2）變式:設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，（3）無限趨近于1，則=___________（4）無限趨近于1，則=________________（5）當(dāng)△x無限趨近于0，所對(duì)應(yīng)的常數(shù)與的關(guān)系。八、課堂小結(jié)（1）理解平均變化率、導(dǎo)數(shù)的概念。（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：①求函數(shù)的改變量.②求平均變化率.③取極限，得導(dǎo)數(shù)＝.補(bǔ)充題目：1.一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間到時(shí)，物體的位移為，那么為（）Ａ．從時(shí)間到時(shí)，物體的平均速度；Ｂ．在時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度；Ｃ．當(dāng)時(shí)間為時(shí)物體的速度；Ｄ．從時(shí)間到時(shí)物體的平均速度2．一球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5時(shí)的瞬時(shí)速度解：瞬時(shí)速度v=(10+Δt)=10m/s.∴瞬時(shí)速度v=2t=2×5=10m/s.3.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)，求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.解：瞬時(shí)速度v==(8+2Δt)=8cm/s.

§3．1．3導(dǎo)數(shù)的幾何意義【學(xué)情分析】：上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)定義，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義來求導(dǎo)數(shù)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：1.了解曲線的切線的概念2.掌握用割線的極限位置上的直線來定義切線的方法．3.并會(huì)求一曲線在具體一點(diǎn)處的切線的斜率與切線方程【教學(xué)重點(diǎn)】：理解曲線在一點(diǎn)處的切線的定義，以及曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義.光滑曲線的切線斜率是了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法.【教學(xué)難點(diǎn)】：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求一條具體的曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率.【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、曲線的切線及切線的斜率：圓與圓錐曲線的切線定義：與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)并且位于曲線一邊的直線叫切線。曲線的切線如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？圖3.1-2圖3.1-2我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？⑵切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P時(shí)，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).為課題引入作鋪墊.二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率，即說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:①求出P點(diǎn)的坐標(biāo);②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率，得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率；③利用點(diǎn)斜式求切線方程.指導(dǎo)學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以討論三、導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即:注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。四、典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因?yàn)樗?，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即例2、求曲線f(x)=x3－x2+5在x=1處的切線的傾斜角.分析：要求切線的傾斜角，也要先求切線的斜率，再根據(jù)斜率k=tana，求出傾斜角a.解：∵tana=∵a∈［0，π，∴a=π.∴切線的傾斜角為π.例3．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線在、、附近的變化情況．解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．（1）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．（2）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．（3）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢．例4．（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時(shí)間（單位：）變化的圖象．根據(jù)圖像，估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到）．解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率．如圖3.1-4，畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值．作處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如，，則它的斜率為：所以下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時(shí)變化率0.40-0.7-1.4通過例子，更深入理解導(dǎo)數(shù)的概念五、課堂小結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，怎么求曲線的切線。補(bǔ)充題目:1．導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么？請(qǐng)寫數(shù)學(xué)表達(dá)式。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)在處的即：２．函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么，請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖像中畫出來。1）平均變化率的幾何意義：1）平均變化率的幾何意義：2）當(dāng)時(shí)，觀察圖形變化。3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？導(dǎo)數(shù)的幾何意義是4．在函數(shù)的圖像上，（1）用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，的幾何意義，并用數(shù)學(xué)語言表述出來。（2）請(qǐng)描述、比較曲線在.附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？（說明：要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（討論、描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)），體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）5．如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì)（min）時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。(精確到0.1)0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時(shí)變化率（說明：要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（說出如何估計(jì)切線斜率），進(jìn)一步體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）(以上幾題可以讓學(xué)生在課堂上完成)6.求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線斜率.(1)y=－+2,x＝２處（２）y＝，x＝０處．答案：(1)k=－１２，（２）k=－１7．已知曲線y=2x2上一點(diǎn)A(1，2)，求(1)點(diǎn)A處的切線的斜率.(2)點(diǎn)A處的切線方程.解：(1)k=∴點(diǎn)A處的切線的斜率為4.(2)點(diǎn)A處的切線方程是y－2=4(x－1)即y=4x－28.求曲線y=x2+1在點(diǎn)P(－2，5)處的切線方程.解：k=∴切線方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.

§1.5.1曲邊梯形的面積【學(xué)情分析】：本節(jié)教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其在研究函數(shù)的應(yīng)用的基礎(chǔ)上，開始初步探究定積分的概念。學(xué)生對(duì)這個(gè)解決問題的思想方法和步驟還是很生疏,必須深入淺出,逐步滲透.【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：定積分概念的引入（2）過程與方法：“分割、近似求和、取極限”數(shù)學(xué)思想的建立（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)知識(shí)求曲邊梯形的面積，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：了解定積分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：“以直代曲”“逼近”思想的形成過程；求和符號(hào)∑?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、創(chuàng)設(shè)情景我們學(xué)過如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)定積分的基本概念以及定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，初步體會(huì)定積分的思想及其應(yīng)用價(jià)值。一個(gè)概念：如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．（不加說明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)）二、新課講授問題：如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積？例1：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段．“以直代曲”的思想的應(yīng)用．xxxx1x1xy1xyy把區(qū)間分成許多個(gè)小區(qū)間，進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積．解：（1）．分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…，記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為：分別過上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，，顯然，（2）近似代替記，如圖所示，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有①（3）求和由①，上圖中陰影部分的面積為====從而得到的近似值（4）取極限分別將區(qū)間等分8，16，20，…等份（如圖），可以看到，當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有從數(shù)值上的變化趨勢(shì)：三、求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟:第一步：分割．將分為等份，每份區(qū)間長(zhǎng)為第二步：近似代替，“以直代取”：，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積.第三步：求和：第四步：取極限：說明：1．歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實(shí)值四、練習(xí)．求圍成圖形面積解：1．分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…，記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為：分別過上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，，顯然，（2）近似代替∵，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有①（3）求和由①，上圖中陰影部分的面積為====從而得到的近似值（4）取極限練習(xí)設(shè)S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。五：課堂小結(jié)求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）

§1.5.2汽車行駛的路程【學(xué)情分析】：學(xué)生在上一節(jié)學(xué)習(xí)了求曲邊梯形面積之后，對(duì)定積分基本思想方法有了初步的了解。這一節(jié)可幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化理解定積分概念的形成過程?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：“以不變代變”思想解決實(shí)際問題。（2）過程與方法：強(qiáng)化掌握“分割、以不變代變、求和、取極限”解決問題的思想方法（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)知識(shí)求曲邊梯形的面積，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：“以不變代變”的思想方法，再次體會(huì)求解過程中蘊(yùn)