初中數(shù)學(xué)夏令營賽前模擬試題

初中數(shù)學(xué)夏令營賽前模擬試題（六）第一試1、命題（*）：設(shè)a，b，c是非負(fù)實(shí)數(shù)，如果a4+b4+c4≤2（a2b2+b2c2+c2a2），則a2+b2+c2≤2（ab+bc+ca）（1）證明命題（*）是正確的；（2）試寫出命題（*）的逆命題，并判定你寫出的逆命題是否是真命題，寫出理由。2、如圖,在銳角△ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交△ABC的外接圓于點(diǎn)D。證明：四邊形AMDN與△ABC的面積相等。3、將平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在有兩個(gè)內(nèi)角分別為、，且它們的夾邊長為2001的三角形，三個(gè)頂點(diǎn)同色。第二試1、已知=2，那么（sinθ+3）（cosθ+2）=。2、半徑為1，2，3的三個(gè)圓兩兩外切，并且這三個(gè)圓都內(nèi)切于⊙O，則⊙O的半徑等于。3、設(shè)x、y∈R+，且=1，則x+y的最小值是。4、某工廠產(chǎn)值連續(xù)三個(gè)持續(xù)增長，年平均增長率為p，假設(shè)這三年的增長率分別為x1、x2、x3，則x1+x2+x3的最小值是。5、函數(shù)y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在[－3，3]上的最小值是。6、凸四邊形ABCD中，∠ABC=60°,∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，如圖，則sin∠AOB=。7、函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是開口向下的拋物線，a、b、c各不相等，且都在集合A={|n|≤5，n∈Z}中取值，則這些拋物線中通過點(diǎn)（0，－1）的有條。8、已知tgα=,其中a、b為常數(shù)，且a2+b2≠0，則（a2+b2）sinαcosα－abcos2α的值為。9、設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一，若在5次之內(nèi)跳到D點(diǎn)，則停止跳動，若5次之內(nèi)不能到達(dá)D點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種。10、數(shù)100！的各位數(shù)字從右面向左看時(shí)（即從個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、……看過去），第一個(gè)不是0的數(shù)字是。

初中數(shù)學(xué)夏令營賽前專題訓(xùn)練（一）數(shù)論（A）1、某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號碼，從0001到9999號，如果號碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”。例如號碼0734，因0+7=3+4，所以這個(gè)號碼的購物券是幸運(yùn)券，證明：這個(gè)商場所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號碼之和能被101整除。2、在黑板上寫出下面的數(shù)2，3，4……，2001。甲先去擦其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)和，如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝，應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說明理由（注：兩數(shù)互質(zhì)是兩個(gè)數(shù)無1以外的公約數(shù)，如2與5互質(zhì)，3與15不互質(zhì)）。3、設(shè)a,b,c,d是四個(gè)整數(shù),且使得m=(ab+cd)2－(a2+b2－c2－d2)是個(gè)非零整數(shù),求證:|m|一定是個(gè)合數(shù).4、試找出由0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，能被165整除的最大數(shù)和最小數(shù)（要求寫出推理過程）。5、已知n為正整數(shù),且n2－71能被7n+55整除,試求n的值.6、41名運(yùn)動員所穿的運(yùn)動衣號碼是1，2，3，……，40，41這41個(gè)自然數(shù)。問（1）能否使這41名運(yùn)動員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動員的號碼數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)？（2）能否讓這41名運(yùn)動員站成一圈，使得任意鄰兩個(gè)運(yùn)動員的號碼數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦到，請舉一例，若不能辦到，請說明理由。

初中數(shù)學(xué)夏令營賽前專題訓(xùn)練（二）數(shù)論（B）1、求自數(shù)n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n2+5n為完全平方數(shù)。2、（1）計(jì)算凸九邊形所有對角線條數(shù)以及以凸九邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形個(gè)數(shù)；（2）在凸九邊形每個(gè)頂點(diǎn)處任意寫一個(gè)自然數(shù)，以這九邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，若三個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)三數(shù)之和為奇數(shù)，則稱該三角形為奇三角形；三數(shù)之和為偶數(shù)，則稱為偶三角形。試證明：奇三角形個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。3、（1）請你寫出不超過30的自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)之和。（2）請回答，千位數(shù)是1的四位偶自然數(shù)共有多少個(gè)？（3）一個(gè)四位偶自然數(shù)的千位數(shù)字是1，當(dāng)它分別被四個(gè)不同的質(zhì)數(shù)去除時(shí)，余數(shù)也都是1，試求出滿足這些條件的所有自然數(shù)，其中最大的一個(gè)是多少？4、已知1996個(gè)自然數(shù)a1，a2，……a1996兩數(shù)的和能被它們的差整除，現(xiàn)設(shè)n=a1·a2·a3·……·a1996求證：n，n+a1，n+a2，……，n+a1996這1997個(gè)數(shù)仍滿足上述條件。5、將自然數(shù)1，2，3，……，21這21個(gè)數(shù)，任意地放在一個(gè)圓周上，證明：一定有相鄰的三個(gè)數(shù)，它們的和