初中圓的基本性質解答難題專練含詳細答案

初中圓的基本性質解答難題專練含詳細答案一．解答題（共30小題）1．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．（1）求證：EF∥CG；（2）求點C，點A在旋轉過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．2．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）過點O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．3．（2014?河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為_________；②線段AD，BE之間的數(shù)量關系為_________．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．4．（2014?大慶）如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．5．（2013?玉溪）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，（1）請?zhí)剿鱋F和BC的關系并說明理由；（2）若∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．（結果保留π）6．（2013?貴陽）已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點E、F，OF的延長線交⊙O于點D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求證：△OEF是等邊三角形；（2）當AE=OE時，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）7．（2013?廈門）（1）甲市共有三個郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：郊縣人數(shù)/萬人均耕地面積/公頃A200.15B50.20C100.18求甲市郊縣所有人口的人均耕地面積（精確到0.01公頃）；（2）先化簡下式，再求值：，其中，；（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．8．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設DA=2．（1）求線段EC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．9．（2013?佛山）如圖，圓錐的側面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．10．（2013?龍巖）如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為_________；（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為_________；（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點B，求弧D′D″的長．（結果保留π）11．（2012?上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．12．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結論．13．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．（1）求點D沿三條弧運動到點G所經(jīng)過的路線長；（2）判斷直線GB與DF的位置關系，并說明理由．14．（2012?杭州）如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長度為a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC（要求：使點A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法）；（2）記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π．15．（2012?鎮(zhèn)江）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，2），直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1），設點A關于直線OP的對稱點為B．（1）寫出點B的坐標；（2）過原點O的直線l從OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉．①如圖1，當直線l順時針旋轉10°到l1的位置時，點A關于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是_________，線段OC的長為_________；②如圖2，當直線l順時針旋轉55°到l2的位置時，點A關于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是_________；③直線l順時針旋轉n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為_________（用含n的代數(shù)式表示）．16．（2012?泰州）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上，將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點A1順時針旋轉90°得到△A1B2C2．（1）在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）計算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復計算）17．（2012?福州）（1）如圖1，點E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE（2）如圖2，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形．①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉90°，畫出旋轉后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉過程中線段A1C1所掃過的面積（結果保留π）18．（2011?北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上．（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；（2）當一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值范圍；當一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值范圍；（3）已知?AMPQ（四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列）的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標x的取值范圍．19．（2011?寧波）閱讀下面的情景對話，然后解答問題：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內(nèi)存在點E，使AE=AD，CB=CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．20．（2011?泰州）如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．21．（2011?廣州）如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．（1）證明：B、C、E三點共線；（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（圖2），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．22．（2011?蘇州）如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順吋針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點B1按順吋針方向旋轉120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉的過程中．頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉90°，…．按上述方法經(jīng)過若干次旋轉后，她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉，求頂點0經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉．求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉，頂點0經(jīng)過的路程是？23．（2010?崇左）我市為了紀念龍州起義80周年，對紅八軍紀念廣場進行了改造，改造后安裝了八個大理石球．小明想知道其中一個球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側（如圖），并量得兩磚之間的距離是60cm．請你在圖中利用所學的幾何知識，求出大理石球的半徑（要寫出計算過程）．24．（2010?三明）正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．（1）如圖①，若點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；（3）如圖②，若點E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關系．（不必證明）25．（2010?本溪）如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標；若發(fā)生變化，請說明理由；（4）在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．26．（2010?新疆）圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如圖所示那樣疊放在一起，連接AC、BD．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若OA=3cm，OC=1cm，求陰影部分的面積．27．（2009?永州）問題探究：（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．28．（2009?陜西）問題探究（1）在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)（含?。?，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個正三角形的面積？（2）在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)（含弧），畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個正方形的面積？問題解決（3）如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請說明理由，并求出這個矩形的面積；若不存在，說明理由？29．（2009?衢州）如圖，AD是⊙O的直徑．（1）如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是_________°，∠B2的度數(shù)是_________°；（2）如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；（3）如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圓周2n等分，請你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)（只需直接寫出答案）．30．（2009?河北）如圖1至圖5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c．閱讀理解：（1）如圖1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到⊙O2的位置，當AB=c時，⊙O恰好自轉1周；（2）如圖2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動，在點B處，必須由⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉的角∠O1BO2=n°，⊙O在點B處自轉周．實踐應用：（1）在閱讀理解的（1）中，若AB=2c，則⊙O自轉_________周；若AB=l，則⊙O自轉_________周．在閱讀理解的（2）中，若∠ABC=120°，則⊙O在點B處自轉_________周；若∠ABC=60°，則⊙O在點B處自轉_________周；（2）如圖3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動到⊙O4的位置，⊙O自轉_________周．拓展聯(lián)想：（1）如圖4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由；（2）如圖5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉的周數(shù)．

初中圓的基本性質解答難題專練含詳細答案參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．（1）求證：EF∥CG；（2）求點C，點A在旋轉過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；扇形面積的計算．專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行證明；（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據(jù)S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計算即可得解．解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點B逆時針旋轉90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉變換的性質，勾股定理的應用，扇形的面積計算，綜合題，但難度不大，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．2．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）過點O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．考點：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理．專題：幾何圖形問題．分析：（1）首先得出△AEB≌△DEC，進而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的長，進而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．解答：（1）證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC為等邊三角形，∴∠ACB=60°；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC為等邊三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，作BM⊥AC于點M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出CM，BM的長是解題關鍵．3．（2014?河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；②線段AD，BE之間的數(shù)量關系為AD=BE．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質；圓周角定理．專題：綜合題；探究型．分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當?shù)妮o助線，借助于（2）中的結論即可解決問題．解答：解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）∵PD=1，∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點P在以BD為直徑的圓上．∴點P是這兩圓的交點．①當點P在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵A、P、D、B四點共圓，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結論可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②當點P在如圖3②所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．綜上所述：點A到BP的距離為或．點評：本題考查了等邊三角形的性質、正方形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質等知識，考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過添加適當?shù)妮o助線從而能用（2）中的結論解決問題是解決第（3）的關鍵．4．（2014?大慶）如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．考點：圓的綜合題；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理．專題：綜合題．分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，易得四邊形AHGB為矩形，則HG=AB=3x，再根據(jù)等腰梯形的性質得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設DH=t，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得AD=2t，AH=t，然后根據(jù)等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，于是可得AD=18﹣2x，CD=16+x；（2）根據(jù)梯形的面積公式計算可得到S=﹣2x2+8x+64，再進行配方得S=﹣2（x﹣2）2+72，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；（3）連結OA、OD，如圖②，由（2）得到x=2時，則AB=6，CD=18，等腰梯形的高為6，所以AE=3，DF=9，由于點E和點F分別是AB和CD的中點，根據(jù)等腰梯形的性質得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，所以EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根據(jù)垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設OE=a，則OF=6﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6﹣a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5，最后利用R2=（5）2+32求解．解答：解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，則四邊形AHGB為矩形，∴HG=AB=3x，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設DH=t，∵∠ADC=60°，∴∠DAH=30°，∴AD=2t，AH=t，∴BC=2t，CG=t，∵等腰梯形ABCD的周長為48，∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，∴AD=2（8﹣x）=16﹣2x，CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；（2）S=（AB+CD）?AH=（3x+16+x）?（8﹣x）=﹣2x2+8x+64，∵S=﹣2（x﹣2）2+72，∴當x=2時，S有最大值72；（3）連結OA、OD，如圖②，當x=2時，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為×（8﹣2）=6，則AE=3，DF=9，∵點E和點F分別是AB和CD的中點，∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設OE=a，則OF=6﹣a，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=OA2，∴a2+32=R2，在Rt△ODF中，∵OF2+DF2=OD2，∴（6﹣a）2+92=R2，∴a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5，∴R2=（5）2+32=84，∴R=2．點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論和等腰梯形的性質；會運用二次函數(shù)的性質解決最值問題；熟練運用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關系進行計算．5．（2013?玉溪）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，（1）請?zhí)剿鱋F和BC的關系并說明理由；（2）若∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．（結果保留π）考點：垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；扇形面積的計算．分析：（1）先根據(jù)垂徑定理得出AF=CF，再根據(jù)AO=BO得出OF是△ABC的中位線，由三角形的中位線定理即可得出結論；（2）連接OC，由（1）知OF=，再根據(jù)直角三角形的性質得出AB及AC的長，根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOC的度數(shù)，根據(jù)S陰影=S扇形AOC﹣S△AOC即可得出結論．解答：解：（1）OF∥BC，OF=BC．理由：由垂徑定理得AF=CF．∵AO=BO，∴OF是△ABC的中位線．∴OF∥BC，OF=BC．（2）連接OC．由（1）知OF=．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵∠D=30°，∴∠A=30°．∴AB=2BC=2．∴AC=．∴S△AOC=×AC×OF=．∵∠AOC=120°，OA=1，∴S扇形AOC==．∴S陰影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．6．（2013?貴陽）已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點E、F，OF的延長線交⊙O于點D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求證：△OEF是等邊三角形；（2）當AE=OE時，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）考點：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質；扇形面積的計算．分析：（1）作OC⊥AB于點C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根據(jù)AE=BF可知EC=FC，因為OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出結論；（2）在等邊△OEF中，因為∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的長，根據(jù)S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出結論．解答：（1）證明：作OC⊥AB于點C，∵OC⊥AB，∴AC=BC，∵AE=BF，∴EC=FC，∵OC⊥EF，∴OE=OF，∵∠EOF=60°，∴△OEF是等邊三角形；（2）解：∵在等邊△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°，∴∠AOF=90°，∵AO=10，∴OF=，∴S△AOF=××10=，S扇形AOD=×102=25π，∴S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF=25π﹣．點評：本題考查的是垂徑定理，涉及到等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質及扇形的面積等知識，難度適中．7．（2013?廈門）（1）甲市共有三個郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：郊縣人數(shù)/萬人均耕地面積/公頃A200.15B50.20C100.18求甲市郊縣所有人口的人均耕地面積（精確到0.01公頃）；（2）先化簡下式，再求值：，其中，；（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．考點：圓周角定理；分式的化簡求值；等腰三角形的判定；加權平均數(shù)．分析：（1）求出總面積和總人口，再相除即可；（2）先算加法，再化成最簡分式，再代入求出即可；（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．解答：解：（1）甲市郊縣所有人口的人均耕地面積是≈0.17（公頃）；（2）原式===x﹣y，當x=+1，y=2﹣2時，原式=+1﹣（2﹣2）=3﹣；（3）證明：∵A、D、C、B四點共圓，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．點評：本題考查了分式求值，四點共圓，等腰三角形的性質和判定，求平均數(shù)等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算能力．8．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設DA=2．（1）求線段EC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．考點：扇形面積的計算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性質．分析：（1）根據(jù)扇形的性質得出AB=AE=4，進而利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案；（2）利用銳角三角函數(shù)關系得出∠DEA=30°，進而求出圖中陰影部分的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴圖中陰影部分的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．點評：此題主要考查了扇形的面積計算以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關系等知識，根據(jù)已知得出DE的長是解題關鍵．9．（2013?佛山）如圖，圓錐的側面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．考點：圓錐的計算．分析：設出圓錐的半徑與母線長，利用圓錐的底面周長等于側面展開圖的弧長得到圓錐的半徑與母線長，進而表示出母線與高的夾角的正弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．解答：解：設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則：πl(wèi)=2πr，∴l(xiāng)=2r，∴母線與高的夾角的正弦值==，∴母線AB與高AO的夾角30°．點評：此題主要考查了圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長；注意利用一個角相應的三角函數(shù)值求得角的度數(shù)．10．（2013?龍巖）如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為；（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為﹣；（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點B，求弧D′D″的長．（結果保留π）考點：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質；弧長的計算．專題：探究型．分析：（1）先根據(jù)圖形反折變換的性質得出AD′，D′E的長，再根據(jù)勾股定理求出AE的長即可；（2）由（1）知，AD′=，故可得出BD′的長，根據(jù)圖形反折變換的性質可得出B′D′的長，再由等腰直角三角形的性質得出B′F的長，根據(jù)梯形的面積公式即可得出結論；（3）先根據(jù)直角三角形的性質求出∠BEC的度數(shù)，由翻折變換的性質可得出∠DEA的度數(shù)，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧長公式即可得出結論．解答：解：（1）∵△ADE反折后與△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；（2）∵由（1）知AD′=，∴BD′=1，∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四邊形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）?B′D′=（﹣1+）×1=﹣；故答案為：（1）；（2）﹣；（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴tan∠BEC==，∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴==．點評：本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．11．（2012?上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．考點：垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理．專題：壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據(jù)D和E是中點可得出DE=；（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出結論．解答：解：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如圖（2），存在，DE是不變的．連接AB，則AB==2，∵D和E分別是線段BC和AC的中點，∴DE=AB=；（3）如圖（3），連接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF?OE=??=，（0＜x＜）．點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形的性質，綜合性較強，難度中等．12．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結論．考點：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．專題：幾何綜合題；探究型．分析：（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS定理可知△ABD≌△CBE；（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據(jù)點D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．解答：（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD與△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE…4分（2）解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：同（1）可證△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵點D是△ABC外接圓圓心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四邊形BDCE是菱形．點評：本題考查的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質及菱形的判定定理，先根據(jù)題意判斷出△ABD≌△CBE是解答此題的關鍵．13．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．（1）求點D沿三條弧運動到點G所經(jīng)過的路線長；（2）判斷直線GB與DF的位置關系，并說明理由．考點：弧長的計算；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．分析：（1）根據(jù)弧長的計算公式，代入運算即可．（2）先證明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，從而利用等量代換可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．解答：解：（1）根據(jù)弧長公式得所求路線長為：++=3π．（2）GB⊥DF．理由如下：在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．點評：本題考查了弧長的計算、全等三角形的判定與性質，正方形的性質，解答本題的關鍵是熟練各個知識點，將所學知識融會貫通，難度一般．14．（2012?杭州）如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長度為a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC（要求：使點A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法）；（2）記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π．考點：作圖—復雜作圖；勾股定理；三角形的外接圓與外心．分析：（1）在數(shù)軸上截取AC=5a，再以A，C為圓心3a，4a為半徑，畫弧交點為B；（2）利用△ABC的外接圓的面積為S圓，根據(jù)直角三角形外接圓的性質得出AC為外接圓直徑，求出的比值即可．解答：解：（1）如圖所示：（2）∵△ABC的外接圓的面積為S圓，∴S圓=π×（）2=π，△ABC的面積S△ABC=×3a×4a=6a2，∴==π＞π．點評：此題主要考查了復雜作圖以及直角三角形外接圓的性質，根據(jù)已知得出外接圓直徑為AC是解題關鍵．15．（2012?鎮(zhèn)江）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，2），直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1），設點A關于直線OP的對稱點為B．（1）寫出點B的坐標；（2）過原點O的直線l從OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉．①如圖1，當直線l順時針旋轉10°到l1的位置時，點A關于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是20°，線段OC的長為2；②如圖2，當直線l順時針旋轉55°到l2的位置時，點A關于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是110°；③直線l順時針旋轉n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為（用含n的代數(shù)式表示）．考點：旋轉的性質；弧長的計算；坐標與圖形變化-對稱．分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形和A的坐標即可求出答案；（2）①過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關于直線l1的對稱點，根據(jù)軸對稱性質求出∠AOC和得出OA=OC，推出∠BOC=2∠AOZ﹣90°，即可得出答案；②過A作AM⊥直線l1于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關于直線l1的對稱點，求出∠AOD，即可求出∠BOD；（3）根據(jù)（2）中結果得出規(guī)律：當旋轉n°時，∠BOM=2n°，根據(jù)弧長公式求出即可．解答：（1）解：如圖A關于直線OP的對稱點正好落在x軸上，∵根據(jù)軸對稱性質∴得出OA=OB=2，∴B點的坐標是（2，0）；（2）解：①如圖1，過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關于直線l1的對稱點，∵根據(jù)軸對稱性質得出OA=OC=2，∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，∴∠BOC=55°+55°﹣90°=20°，故答案為：20°，2；②解：如圖2，過A作AM⊥直線l2于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關于直線l2的對稱點，∵根據(jù)軸對稱性質得出OA=OD，∴∠AOM=∠DOM=180°﹣（45°+55°）=80°，80°+80°﹣90°=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故答案為：110°；③解：直線l順時針旋轉n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑為以O為圓心，以2為半徑的弧BQ（Q為A關于旋轉n°后直線l1的對稱點），圓心角∠BOQ=2（45°+n°）﹣90°=2n°，由弧長公式得：=，故答案為：．點評：本題考查了旋轉的性質，軸對稱性質，弧長公式，坐標與圖形性質等知識點，此題難度偏大，對學生提出較高的要求．16．（2012?泰州）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上，將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點A1順時針旋轉90°得到△A1B2C2．（1）在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）計算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復計算）考點：作圖-旋轉變換；扇形面積的計算；作圖-平移變換．專題：壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)圖形平移及旋轉的性質畫出△A1B1C1及△A1B2C2即可；（2）根據(jù)圖形平移及旋轉的性質可知，將△ABC向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當△A1B1C1繞點A1順時針旋轉90°到△A1B2C2時，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊部分的面積，根據(jù)平行四邊形的面積及扇形面積公式進行解答即可．解答：解：（1）如圖所示：（2）∵圖中是邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格，∴AC==2，∵將△ABC向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當△A1B1C1繞點A1順時針旋轉90°到△A1B2C2時，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊部分是以A1為圓心，以2為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，∴線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積=4×2+3×2+﹣=14+π．點評：本題考查的是旋轉變換及平移變換，扇形的面積公式，熟知圖形旋轉、平移不變性的特點是解答此題的關鍵．17．（2012?福州）（1）如圖1，點E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE（2）如圖2，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形．①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉90°，畫出旋轉后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉過程中線段A1C1所掃過的面積（結果保留π）考點：作圖-旋轉變換；全等三角形的判定；扇形面積的計算；作圖-平移變換．分析：（1）由AB∥CD可知∠A=∠C，再根據(jù)AE=CF可得出AF=CE，由AB=CD即可判斷出△ABF≌CDE；（2）根據(jù)圖形平移的性質畫出平移后的圖形，再根據(jù)在旋轉過程中，線段A1C1所掃過的面積等于以點C1為圓心，以A1C1為半徑，圓心角為90度的扇形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式進行解答即可．解答：（1）證明：∵AB∥CD∴∠A=∠C．∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE∵AB=CD∴∴△ABF≌CDE（SAS）．（2）解：①如圖所示；②如圖所示：在旋轉過程中，線段A1C1所掃過的面積等于=4π．點評：本題考查的是作圖﹣旋轉變換、全等三角形的判定及扇形面積的計算，熟知圖形平移及旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵．18．（2011?北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上．（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；（2）當一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值范圍；當一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值范圍；（3）已知?AMPQ（四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列）的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標x的取值范圍．考點：一次函數(shù)綜合題；勾股定理；平行四邊形的性質；圓周角定理．專題：綜合題；壓軸題；分類討論．分析：（1）利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定三角形ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長等于兩直線間的距離；（2）利用數(shù)形結合的方法得到當直線與圖形C有一個交點時自變量x的取值范圍即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質及其四個頂點均在圖形C上，可能會出現(xiàn)四種情況，分類討論即可．解答：解：（1）如圖1，分別連接AD、DB，則點D在直線AE上，∵點D在以AB為直徑的半圓上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，∵AE∥BF，∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為．（2）當一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，b的取值范圍是b=或﹣1＜b＜1；當一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是1＜b＜（3）假設存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點M的位置，分以下四種情況討論：①當點M在射線AE上時，如圖2∵AMPQ四點按順時針方向排列，∴直線PQ必在直線AM的上方，∴PQ兩點都在弧AD上，且不與點A、D重合，∴0＜PQ＜．∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜∴﹣2＜x＜﹣1，②當點M在弧AD上時，如圖3∵點A、M、P、Q四點按順時針方向排列，∴直線PQ必在直線AM的下方，此時，不存在滿足題意的平行四邊形．③當點M在弧BD上時，設弧DB的中點為R，則OR∥BF，當點M在弧DB上時，如圖4，過點M作OR的垂線交弧DB于點Q，垂足為點S，可得S是MQ的中點．∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形，∴0≤x＜．當點M在弧RB上時，如圖5，直線PQ必在直線AM的下方，此時不存在滿足題意的平行四邊形．④當點M在射線BF上時，如圖6，直線PQ必在直線AM的下方，此時，不存在滿足題意的平行四邊形．綜上，點M的橫坐標x的取值范圍是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，題目中還涉及到了勾股定理、平行四邊形的性質及圓周角定理的相關知識，題目中還滲透了分類討論思想．19．（2011?寧波）閱讀下面的情景對話，然后解答問題：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內(nèi)存在點E，使AE=AD，CB=CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．考點：勾股定理；等邊三角形的性質；圓周角定理．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結果．解答：解：（1）設等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，∴符合奇異三角形”的定義．∴是真命題；（2）∵∠C=90°，則a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵點D是半圓的中點，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇異三角形；②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2，當△ACE是直角三角形時，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，當AC：AE：CE=1：：時，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；當AC：AE：CE=：：1時，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°．點評：此題考查了新定義的知識，勾股定理以及圓的性質，三角函數(shù)等知識．解題的關鍵是理解題意，抓住數(shù)形結合思想的應用．20．（2011?泰州）如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．考點：垂徑定理；勾股定理；矩形的性質．專題：幾何綜合題；探究型．分析：（1）由AD是小圓的切線可知OM⊥AD，再由四邊形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂徑定理即可得出結論；（2）延長ON交大圓于點E，由于圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的長．解答：解：（1）∵AD是小圓的切線，M為切點，∴OM⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴ON⊥BC，∴N是BC的中點；（2）延長ON交大圓于點E，連接OB，∵圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，∴EN=6﹣5=1cm，∴ME=6cm，在Rt△OBN中，設OM=r，OB2=BN2+（OM+MN）2，即（r+6）2=52+（r+5）2，解得r=7cm，故小圓半徑為7cm．點評：本題考查的是垂徑定理，涉及到切線的性質及勾股定理、矩形的性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．21．（2011?廣州）如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．（1）證明：B、C、E三點共線；（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（圖2），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．考點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；三角形中位線定理；旋轉的性質．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結論；（3）證明的方法和（2）一樣．解答：（1）證明：∵AB是直徑，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三點共線；（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖1，∵CB=CA，CD=CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，∴MN=OM；（3）成立．理由如下：如圖2，連接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1，∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1，與（2）同理可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形，從而有M1N1=OM1．點評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質；也考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及旋轉的性質．22．（2011?蘇州）如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順吋針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點B1按順吋針方向旋轉120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉的過程中．頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉90°，…．按上述方法經(jīng)過若干次旋轉后，她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉，求頂點0經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉．求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉，頂點0經(jīng)過的路程是？考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；正方形的性質；弧長的計算；扇形面積的計算．專題：壓軸題．分析：①根據(jù)正方形旋轉3次和5次的路徑，利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可，②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉得出旋轉路徑，進而得出=20（1+）π+，即可得出旋轉次數(shù)．解答：解：①如圖所示，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧，∴頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：2+=（1+）π，頂點O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l2圍成的圖形面積為：×2++2××1=1+π．正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：3+=（+）π，②正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：∵2+=（1+）π，根據(jù)第四次正方形旋轉時O點不動，也就是此時也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉的路程；∴=20（1+）π+，∴正方形紙片OABC經(jīng)過了：20×4+1=81次旋轉．點評：此題主要考查了圖形的旋轉以及扇形面積公式和弧長計算公式，分別得出旋轉3，4，5次旋轉的路徑是解決問題的關鍵．23．（2010?崇左）我市為了紀念龍州起義80周年，對紅八軍紀念廣場進行了改造，改造后安裝了八個大理石球．小明想知道其中一個球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側（如圖），并量得兩磚之間的距離是60cm．請你在圖中利用所學的幾何知識，求出大理石球的半徑（要寫出計算過程）．考點：垂徑定理的應用；勾股定理．專題：應用題．分析：根據(jù)題意可知，兩磚之間的距離正好是圓中弦的距離，磚的厚度是拱高，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求出圓的半徑．解答：解：根據(jù)題意可以建立圓中垂徑定理的模型如圖：AC=60cm，BD=10cm，設半徑為rcm，∵OB⊥AC，∴AD=AC=30，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答：大理石球的半徑為50cm．點評：解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．24．（2010?三明）正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．（1）如圖①，若點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；（3）如圖②，若點E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關系．（不必證明）考點：圓周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性質．專題：證明題；探究型．分析：（1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DE﹣BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；（3）類比（2）不難得出（3）的結論．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD（1分）∵∠1和∠2都對，∴∠1=∠2，（3分）在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS）；（4分）（2）由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠3=90°．∴∠BAF+∠4=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF=AE．（8分）即DE﹣DF=AE．∴DE﹣BE=AE．（9分）（3）BE﹣DE=AE．理由如下：（12分）在BE上取點F，使BF=DE，連接AF．易證△ADE≌△ABF，∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠DAF=90°．∴∠DAE+∠DAF=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF=AE．（8分）即BE﹣BF=AE．∴BE﹣DE=AE．（9分）點評：本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，難度適中．25．（2010?本溪）如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標；若發(fā)生變化，請說明理由；（4）在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．考點：確定圓的條件；正方形的性質．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）根據(jù)題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；（2）證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進而得到OA=ON，那么就求得了點N的坐標；（4）根據(jù)正方形的性質及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．解答：解：（1）從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形ADMB就是一個損矩形．∵點M是正方形對角線的交點，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四邊形ADMB就是一個損矩形．（2）取BD中點H，連接MH，AH．∵四邊形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴損矩形ABMD一定有外接圓．（3）∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四邊形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N點的坐標為（0，﹣1）．（4）延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥x軸于點Q，設點MG=x，則四邊形APMQ為正方形，∴PM=AQ=x﹣1，∴OG=MQ=x﹣1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x﹣2，∴MN2=2x2，ND2=（2x﹣2）2+12，MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2，∵四邊形DMGN為損矩形，∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2，∴2x2﹣7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D點坐標為（3，0）．點評：解決本題的關鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質，綜合考查了四點共圓的判定及勾股定理的應用．26．（2010?新疆）圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如圖所示那樣疊放在一起，連接AC、BD．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若OA=3cm，OC=1cm，求陰影部分的面積．考點：扇形面積的計算；全等三角形的判定．專題：幾何綜合題．分析：（1）利用SAS證明全等即可；（2）根據(jù)扇形面面積公式求出陰影部分的面積．解答：（1）證明：∵∠COD=∠AOB=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD；（3分）（2）解：S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COD=π×32﹣π×12=2π（cm2）．故答案為：2πcm2．點評：此題考查兩個知識點：全等三角形的判定和如何計算扇形的面積．27．（2009?永州）問題探究：（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．考點：平面展開-最短路徑問題；等邊