初中圓的基本性質(zhì)解答難題專練含詳細(xì)答案

初中圓的基本性質(zhì)解答難題專練含詳細(xì)答案一．解答題（共30小題）1．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．（1）求證：EF∥CG；（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．2．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延長FO交BE于點(diǎn)G，DE=3，EG=2，求AB的長．3．（2014?河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為_________；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為_________．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．4．（2014?大慶）如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設(shè)AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如圖②，當(dāng)S取最大值時(shí)，等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AB和CD的中點(diǎn)，求⊙O的半徑R的值．5．（2013?玉溪）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，（1）請?zhí)剿鱋F和BC的關(guān)系并說明理由；（2）若∠D=30°，BC=1時(shí)，求圓中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）6．（2013?貴陽）已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點(diǎn)E、F，OF的延長線交⊙O于點(diǎn)D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求證：△OEF是等邊三角形；（2）當(dāng)AE=OE時(shí)，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）7．（2013?廈門）（1）甲市共有三個(gè)郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：郊縣人數(shù)/萬人均耕地面積/公頃A200.15B50.20C100.18求甲市郊縣所有人口的人均耕地面積（精確到0.01公頃）；（2）先化簡下式，再求值：，其中，；（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延長DC，AB相交于點(diǎn)E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．8．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DA=2．（1）求線段EC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．9．（2013?佛山）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．10．（2013?龍巖）如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點(diǎn)E，則折痕AE的長為_________；（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點(diǎn)F，則四邊形B′FED′的面積為_________；（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點(diǎn)B，求弧D′D″的長．（結(jié)果保留π）11．（2012?上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)BC=1時(shí)，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．12．（2012?臺(tái)州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時(shí)，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．13．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點(diǎn)A、B、C．（1）求點(diǎn)D沿三條弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過的路線長；（2）判斷直線GB與DF的位置關(guān)系，并說明理由．14．（2012?杭州）如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長度為a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC（要求：使點(diǎn)A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法）；（2）記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π．15．（2012?鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2），直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)為B．（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過原點(diǎn)O的直線l從OP的位置開始，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖1，當(dāng)直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°到l1的位置時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)為C，則∠BOC的度數(shù)是_________，線段OC的長為_________；②如圖2，當(dāng)直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°到l2的位置時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)為D，則∠BOD的度數(shù)是_________；③直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90），在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為_________（用含n的代數(shù)式表示）．16．（2012?泰州）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，將△ABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2．（1）在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）計(jì)算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復(fù)計(jì)算）17．（2012?福州）（1）如圖1，點(diǎn)E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE（2）如圖2，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位長度的正方形．①畫出將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積（結(jié)果保留π）18．（2011?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長線上．（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；（3）已知?AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A，M，P，Q按順時(shí)針方向排列）的各頂點(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．19．（2011?寧波）閱讀下面的情景對話，然后解答問題：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE=AD，CB=CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．20．（2011?泰州）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點(diǎn)M，OM的延長線與BC相交于點(diǎn)N．（1）點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．21．（2011?廣州）如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上．（1）證明：B、C、E三點(diǎn)共線；（2）若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN=OM；（3）將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（圖2），若M1是線段BE1的中點(diǎn)，N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1=OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．22．（2011?蘇州）如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點(diǎn)B1按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中．頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，…．按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)0經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)．求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)0經(jīng)過的路程是？23．（2010?崇左）我市為了紀(jì)念龍州起義80周年，對紅八軍紀(jì)念廣場進(jìn)行了改造，改造后安裝了八個(gè)大理石球．小明想知道其中一個(gè)球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側(cè)（如圖），并量得兩磚之間的距離是60cm．請你在圖中利用所學(xué)的幾何知識(shí)，求出大理石球的半徑（要寫出計(jì)算過程）．24．（2010?三明）正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，E是⊙O上的一點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E在上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；（3）如圖②，若點(diǎn)E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系．（不必證明）25．（2010?本溪）如圖①，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點(diǎn)D是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點(diǎn)N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個(gè)損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；（3）隨著點(diǎn)D位置的變化，點(diǎn)N的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請說明理由；（4）在圖②中，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．26．（2010?新疆）圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如圖所示那樣疊放在一起，連接AC、BD．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若OA=3cm，OC=1cm，求陰影部分的面積．27．（2009?永州）問題探究：（1）如圖①所示是一個(gè)半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；（2）如圖②所示是一個(gè)底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．28．（2009?陜西）問題探究（1）在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)（含?。?，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個(gè)正三角形的面積？（2）在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)（含?。嫵鲆贿吢湓谥睆組N上的面積最大的正方形，并求出這個(gè)正方形的面積？問題解決（3）如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請說明理由，并求出這個(gè)矩形的面積；若不存在，說明理由？29．（2009?衢州）如圖，AD是⊙O的直徑．（1）如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是_________°，∠B2的度數(shù)是_________°；（2）如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；（3）如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圓周2n等分，請你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)（只需直接寫出答案）．30．（2009?河北）如圖1至圖5，⊙O均作無滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的周長為c．閱讀理解：（1）如圖1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動(dòng)到⊙O2的位置，當(dāng)AB=c時(shí)，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周；（2）如圖2，∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置，⊙O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角∠O1BO2=n°，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周．實(shí)踐應(yīng)用：（1）在閱讀理解的（1）中，若AB=2c，則⊙O自轉(zhuǎn)_________周；若AB=l，則⊙O自轉(zhuǎn)_________周．在閱讀理解的（2）中，若∠ABC=120°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)_________周；若∠ABC=60°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)_________周；（2）如圖3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動(dòng)到⊙O4的位置，⊙O自轉(zhuǎn)_________周．拓展聯(lián)想：（1）如圖4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請說明理由；（2）如圖5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針方向沿多邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置，直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．

初中圓的基本性質(zhì)解答難題專練含詳細(xì)答案參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．（1）求證：EF∥CG；（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；扇形面積的計(jì)算．專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行證明；（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據(jù)S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計(jì)算即可得解．解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；（2）解：∵AD=2，E是AB的中點(diǎn)，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，扇形的面積計(jì)算，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．2．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延長FO交BE于點(diǎn)G，DE=3，EG=2，求AB的長．考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：幾何圖形問題．分析：（1）首先得出△AEB≌△DEC，進(jìn)而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的長，進(jìn)而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．解答：（1）證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC為等邊三角形，∴∠ACB=60°；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC為等邊三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，作BM⊥AC于點(diǎn)M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出CM，BM的長是解題關(guān)鍵．3．（2014?河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為AD=BE．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．考點(diǎn)：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：綜合題；探究型．分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來需對兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題．解答：解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵A、P、D、B四點(diǎn)共圓，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長線于點(diǎn)E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問題是解決第（3）的關(guān)鍵．4．（2014?大慶）如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設(shè)AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如圖②，當(dāng)S取最大值時(shí)，等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AB和CD的中點(diǎn)，求⊙O的半徑R的值．考點(diǎn)：圓的綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理．專題：綜合題．分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，易得四邊形AHGB為矩形，則HG=AB=3x，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設(shè)DH=t，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=2t，AH=t，然后根據(jù)等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，于是可得AD=18﹣2x，CD=16+x；（2）根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算可得到S=﹣2x2+8x+64，再進(jìn)行配方得S=﹣2（x﹣2）2+72，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；（3）連結(jié)OA、OD，如圖②，由（2）得到x=2時(shí)，則AB=6，CD=18，等腰梯形的高為6，所以AE=3，DF=9，由于點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AB和CD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，所以EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根據(jù)垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設(shè)OE=a，則OF=6﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6﹣a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5，最后利用R2=（5）2+32求解．解答：解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，則四邊形AHGB為矩形，∴HG=AB=3x，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設(shè)DH=t，∵∠ADC=60°，∴∠DAH=30°，∴AD=2t，AH=t，∴BC=2t，CG=t，∵等腰梯形ABCD的周長為48，∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，∴AD=2（8﹣x）=16﹣2x，CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；（2）S=（AB+CD）?AH=（3x+16+x）?（8﹣x）=﹣2x2+8x+64，∵S=﹣2（x﹣2）2+72，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值72；（3）連結(jié)OA、OD，如圖②，當(dāng)x=2時(shí)，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為×（8﹣2）=6，則AE=3，DF=9，∵點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AB和CD的中點(diǎn)，∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設(shè)OE=a，則OF=6﹣a，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=OA2，∴a2+32=R2，在Rt△ODF中，∵OF2+DF2=OD2，∴（6﹣a）2+92=R2，∴a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5，∴R2=（5）2+32=84，∴R=2．點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論和等腰梯形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；熟練運(yùn)用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．5．（2013?玉溪）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，（1）請?zhí)剿鱋F和BC的關(guān)系并說明理由；（2）若∠D=30°，BC=1時(shí)，求圓中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）考點(diǎn)：垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；扇形面積的計(jì)算．分析：（1）先根據(jù)垂徑定理得出AF=CF，再根據(jù)AO=BO得出OF是△ABC的中位線，由三角形的中位線定理即可得出結(jié)論；（2）連接OC，由（1）知OF=，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB及AC的長，根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOC的度數(shù)，根據(jù)S陰影=S扇形AOC﹣S△AOC即可得出結(jié)論．解答：解：（1）OF∥BC，OF=BC．理由：由垂徑定理得AF=CF．∵AO=BO，∴OF是△ABC的中位線．∴OF∥BC，OF=BC．（2）連接OC．由（1）知OF=．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵∠D=30°，∴∠A=30°．∴AB=2BC=2．∴AC=．∴S△AOC=×AC×OF=．∵∠AOC=120°，OA=1，∴S扇形AOC==．∴S陰影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．6．（2013?貴陽）已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點(diǎn)E、F，OF的延長線交⊙O于點(diǎn)D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求證：△OEF是等邊三角形；（2）當(dāng)AE=OE時(shí)，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）考點(diǎn)：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．分析：（1）作OC⊥AB于點(diǎn)C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根據(jù)AE=BF可知EC=FC，因?yàn)镺C⊥EF，所以O(shè)E=OF，再由∠EOF=60°即可得出結(jié)論；（2）在等邊△OEF中，因?yàn)椤螼EF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的長，根據(jù)S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出結(jié)論．解答：（1）證明：作OC⊥AB于點(diǎn)C，∵OC⊥AB，∴AC=BC，∵AE=BF，∴EC=FC，∵OC⊥EF，∴OE=OF，∵∠EOF=60°，∴△OEF是等邊三角形；（2）解：∵在等邊△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°，∴∠AOF=90°，∵AO=10，∴OF=，∴S△AOF=××10=，S扇形AOD=×102=25π，∴S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF=25π﹣．點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，涉及到等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及扇形的面積等知識(shí)，難度適中．7．（2013?廈門）（1）甲市共有三個(gè)郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：郊縣人數(shù)/萬人均耕地面積/公頃A200.15B50.20C100.18求甲市郊縣所有人口的人均耕地面積（精確到0.01公頃）；（2）先化簡下式，再求值：，其中，；（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延長DC，AB相交于點(diǎn)E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．考點(diǎn)：圓周角定理；分式的化簡求值；等腰三角形的判定；加權(quán)平均數(shù)．分析：（1）求出總面積和總?cè)丝冢傧喑纯?；?）先算加法，再化成最簡分式，再代入求出即可；（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．解答：解：（1）甲市郊縣所有人口的人均耕地面積是≈0.17（公頃）；（2）原式===x﹣y，當(dāng)x=+1，y=2﹣2時(shí)，原式=+1﹣（2﹣2）=3﹣；（3）證明：∵A、D、C、B四點(diǎn)共圓，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．點(diǎn)評：本題考查了分式求值，四點(diǎn)共圓，等腰三角形的性質(zhì)和判定，求平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．8．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DA=2．（1）求線段EC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)扇形的性質(zhì)得出AB=AE=4，進(jìn)而利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案；（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠DEA=30°，進(jìn)而求出圖中陰影部分的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴圖中陰影部分的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．點(diǎn)評：此題主要考查了扇形的面積計(jì)算以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出DE的長是解題關(guān)鍵．9．（2013?佛山）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．分析：設(shè)出圓錐的半徑與母線長，利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長得到圓錐的半徑與母線長，進(jìn)而表示出母線與高的夾角的正弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．解答：解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則：πl(wèi)=2πr，∴l(xiāng)=2r，∴母線與高的夾角的正弦值==，∴母線AB與高AO的夾角30°．點(diǎn)評：此題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長；注意利用一個(gè)角相應(yīng)的三角函數(shù)值求得角的度數(shù)．10．（2013?龍巖）如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點(diǎn)E，則折痕AE的長為；（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點(diǎn)F，則四邊形B′FED′的面積為﹣；（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點(diǎn)B，求弧D′D″的長．（結(jié)果保留π）考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算．專題：探究型．分析：（1）先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出AD′，D′E的長，再根據(jù)勾股定理求出AE的長即可；（2）由（1）知，AD′=，故可得出BD′的長，根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)可得出B′D′的長，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出B′F的長，根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BEC的度數(shù)，由翻折變換的性質(zhì)可得出∠DEA的度數(shù)，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧長公式即可得出結(jié)論．解答：解：（1）∵△ADE反折后與△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；（2）∵由（1）知AD′=，∴BD′=1，∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四邊形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）?B′D′=（﹣1+）×1=﹣；故答案為：（1）；（2）﹣；（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴tan∠BEC==，∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴==．點(diǎn)評：本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．（2012?上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)BC=1時(shí)，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理．專題：壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據(jù)D和E是中點(diǎn)可得出DE=；（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出結(jié)論．解答：解：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如圖（2），存在，DE是不變的．連接AB，則AB==2，∵D和E分別是線段BC和AC的中點(diǎn)，∴DE=AB=；（3）如圖（3），連接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF?OE=??=，（0＜x＜）．點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．12．（2012?臺(tái)州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時(shí)，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．專題：幾何綜合題；探究型．分析：（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS定理可知△ABD≌△CBE；（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據(jù)點(diǎn)D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．解答：（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD與△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE…4分（2）解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：同（1）可證△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵點(diǎn)D是△ABC外接圓圓心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四邊形BDCE是菱形．點(diǎn)評：本題考查的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定定理，先根據(jù)題意判斷出△ABD≌△CBE是解答此題的關(guān)鍵．13．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點(diǎn)A、B、C．（1）求點(diǎn)D沿三條弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過的路線長；（2）判斷直線GB與DF的位置關(guān)系，并說明理由．考點(diǎn)：弧長的計(jì)算；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)弧長的計(jì)算公式，代入運(yùn)算即可．（2）先證明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，從而利用等量代換可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．解答：解：（1）根據(jù)弧長公式得所求路線長為：++=3π．（2）GB⊥DF．理由如下：在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．點(diǎn)評：本題考查了弧長的計(jì)算、全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，難度一般．14．（2012?杭州）如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長度為a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC（要求：使點(diǎn)A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法）；（2）記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π．考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；勾股定理；三角形的外接圓與外心．分析：（1）在數(shù)軸上截取AC=5a，再以A，C為圓心3a，4a為半徑，畫弧交點(diǎn)為B；（2）利用△ABC的外接圓的面積為S圓，根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)得出AC為外接圓直徑，求出的比值即可．解答：解：（1）如圖所示：（2）∵△ABC的外接圓的面積為S圓，∴S圓=π×（）2=π，△ABC的面積S△ABC=×3a×4a=6a2，∴==π＞π．點(diǎn)評：此題主要考查了復(fù)雜作圖以及直角三角形外接圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出外接圓直徑為AC是解題關(guān)鍵．15．（2012?鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2），直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)為B．（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過原點(diǎn)O的直線l從OP的位置開始，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖1，當(dāng)直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°到l1的位置時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)為C，則∠BOC的度數(shù)是20°，線段OC的長為2；②如圖2，當(dāng)直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°到l2的位置時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)為D，則∠BOD的度數(shù)是110°；③直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90），在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為（用含n的代數(shù)式表示）．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計(jì)算；坐標(biāo)與圖形變化-對稱．分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形和A的坐標(biāo)即可求出答案；（2）①過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)，根據(jù)軸對稱性質(zhì)求出∠AOC和得出OA=OC，推出∠BOC=2∠AOZ﹣90°，即可得出答案；②過A作AM⊥直線l1于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)，求出∠AOD，即可求出∠BOD；（3）根據(jù)（2）中結(jié)果得出規(guī)律：當(dāng)旋轉(zhuǎn)n°時(shí)，∠BOM=2n°，根據(jù)弧長公式求出即可．解答：（1）解：如圖A關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)正好落在x軸上，∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)∴得出OA=OB=2，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）；（2）解：①如圖1，過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)，∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出OA=OC=2，∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，∴∠BOC=55°+55°﹣90°=20°，故答案為：20°，2；②解：如圖2，過A作AM⊥直線l2于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)，∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出OA=OD，∴∠AOM=∠DOM=180°﹣（45°+55°）=80°，80°+80°﹣90°=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故答案為：110°；③解：直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90），在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑為以O(shè)為圓心，以2為半徑的弧BQ（Q為A關(guān)于旋轉(zhuǎn)n°后直線l1的對稱點(diǎn)），圓心角∠BOQ=2（45°+n°）﹣90°=2n°，由弧長公式得：=，故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，弧長公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，此題難度偏大，對學(xué)生提出較高的要求．16．（2012?泰州）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，將△ABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2．（1）在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）計(jì)算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復(fù)計(jì)算）考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；扇形面積的計(jì)算；作圖-平移變換．專題：壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A1B1C1及△A1B2C2即可；（2）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，將△ABC向下平移4個(gè)單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個(gè)單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當(dāng)△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A1B2C2時(shí)，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊部分的面積，根據(jù)平行四邊形的面積及扇形面積公式進(jìn)行解答即可．解答：解：（1）如圖所示：（2）∵圖中是邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格，∴AC==2，∵將△ABC向下平移4個(gè)單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個(gè)單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當(dāng)△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A1B2C2時(shí)，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊部分是以A1為圓心，以2為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，∴線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積=4×2+3×2+﹣=14+π．點(diǎn)評：本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換及平移變換，扇形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)、平移不變性的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．17．（2012?福州）（1）如圖1，點(diǎn)E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE（2）如圖2，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位長度的正方形．①畫出將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積（結(jié)果保留π）考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；全等三角形的判定；扇形面積的計(jì)算；作圖-平移變換．分析：（1）由AB∥CD可知∠A=∠C，再根據(jù)AE=CF可得出AF=CE，由AB=CD即可判斷出△ABF≌CDE；（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的圖形，再根據(jù)在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于以點(diǎn)C1為圓心，以A1C1為半徑，圓心角為90度的扇形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行解答即可．解答：（1）證明：∵AB∥CD∴∠A=∠C．∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE∵AB=CD∴∴△ABF≌CDE（SAS）．（2）解：①如圖所示；②如圖所示：在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于=4π．點(diǎn)評：本題考查的是作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定及扇形面積的計(jì)算，熟知圖形平移及旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18．（2011?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長線上．（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；（3）已知?AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A，M，P，Q按順時(shí)針方向排列）的各頂點(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：綜合題；壓軸題；分類討論．分析：（1）利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定三角形ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長等于兩直線間的距離；（2）利用數(shù)形結(jié)合的方法得到當(dāng)直線與圖形C有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)自變量x的取值范圍即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及其四個(gè)頂點(diǎn)均在圖形C上，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況，分類討論即可．解答：解：（1）如圖1，分別連接AD、DB，則點(diǎn)D在直線AE上，∵點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，∵AE∥BF，∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為．（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是b=或﹣1＜b＜1；當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是1＜b＜（3）假設(shè)存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點(diǎn)M的位置，分以下四種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在射線AE上時(shí)，如圖2∵AMPQ四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，∴直線PQ必在直線AM的上方，∴PQ兩點(diǎn)都在弧AD上，且不與點(diǎn)A、D重合，∴0＜PQ＜．∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜∴﹣2＜x＜﹣1，②當(dāng)點(diǎn)M在弧AD上時(shí)，如圖3∵點(diǎn)A、M、P、Q四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，∴直線PQ必在直線AM的下方，此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形．③當(dāng)點(diǎn)M在弧BD上時(shí)，設(shè)弧DB的中點(diǎn)為R，則OR∥BF，當(dāng)點(diǎn)M在弧DB上時(shí)，如圖4，過點(diǎn)M作OR的垂線交弧DB于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)S，可得S是MQ的中點(diǎn)．∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形，∴0≤x＜．當(dāng)點(diǎn)M在弧RB上時(shí)，如圖5，直線PQ必在直線AM的下方，此時(shí)不存在滿足題意的平行四邊形．④當(dāng)點(diǎn)M在射線BF上時(shí)，如圖6，直線PQ必在直線AM的下方，此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形．綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．點(diǎn)評：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，題目中還涉及到了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，題目中還滲透了分類討論思想．19．（2011?寧波）閱讀下面的情景對話，然后解答問題：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE=AD，CB=CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．考點(diǎn)：勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質(zhì)即可證得；②利用（2）中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結(jié)果．解答：解：（1）設(shè)等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，∴符合奇異三角形”的定義．∴是真命題；（2）∵∠C=90°，則a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇異三角形；②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，當(dāng)AC：AE：CE=1：：時(shí)，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；當(dāng)AC：AE：CE=：：1時(shí)，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°．點(diǎn)評：此題考查了新定義的知識(shí)，勾股定理以及圓的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．（2011?泰州）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點(diǎn)M，OM的延長線與BC相交于點(diǎn)N．（1）點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理；矩形的性質(zhì)．專題：幾何綜合題；探究型．分析：（1）由AD是小圓的切線可知OM⊥AD，再由四邊形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂徑定理即可得出結(jié)論；（2）延長ON交大圓于點(diǎn)E，由于圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的長．解答：解：（1）∵AD是小圓的切線，M為切點(diǎn)，∴OM⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴ON⊥BC，∴N是BC的中點(diǎn)；（2）延長ON交大圓于點(diǎn)E，連接OB，∵圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，∴EN=6﹣5=1cm，∴ME=6cm，在Rt△OBN中，設(shè)OM=r，OB2=BN2+（OM+MN）2，即（r+6）2=52+（r+5）2，解得r=7cm，故小圓半徑為7cm．點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，涉及到切線的性質(zhì)及勾股定理、矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．21．（2011?廣州）如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上．（1）證明：B、C、E三點(diǎn)共線；（2）若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN=OM；（3）將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（圖2），若M1是線段BE1的中點(diǎn)，N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1=OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；（3）證明的方法和（2）一樣．解答：（1）證明：∵AB是直徑，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三點(diǎn)共線；（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖1，∵CB=CA，CD=CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，又∵M(jìn)是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，而O為AB的中點(diǎn)，∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，∴MN=OM；（3）成立．理由如下：如圖2，連接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1，∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1，與（2）同理可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形，從而有M1N1=OM1．點(diǎn)評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì)；也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．22．（2011?蘇州）如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點(diǎn)B1按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中．頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，…．按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)0經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)．求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)0經(jīng)過的路程是？考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算；扇形面積的計(jì)算．專題：壓軸題．分析：①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)3次和5次的路徑，利用弧長計(jì)算公式以及扇形面積公式求出即可，②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進(jìn)而得出=20（1+）π+，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)．解答：解：①如圖所示，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段圓弧，∴頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為：2+=（1+）π，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l2圍成的圖形面積為：×2++2××1=1+π．正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為：3+=（+）π，②正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為：∵2+=（1+）π，根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時(shí)O點(diǎn)不動(dòng)，也就是此時(shí)也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)的路程；∴=20（1+）π+，∴正方形紙片OABC經(jīng)過了：20×4+1=81次旋轉(zhuǎn)．點(diǎn)評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和弧長計(jì)算公式，分別得出旋轉(zhuǎn)3，4，5次旋轉(zhuǎn)的路徑是解決問題的關(guān)鍵．23．（2010?崇左）我市為了紀(jì)念龍州起義80周年，對紅八軍紀(jì)念廣場進(jìn)行了改造，改造后安裝了八個(gè)大理石球．小明想知道其中一個(gè)球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側(cè)（如圖），并量得兩磚之間的距離是60cm．請你在圖中利用所學(xué)的幾何知識(shí)，求出大理石球的半徑（要寫出計(jì)算過程）．考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．專題：應(yīng)用題．分析：根據(jù)題意可知，兩磚之間的距離正好是圓中弦的距離，磚的厚度是拱高，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求出圓的半徑．解答：解：根據(jù)題意可以建立圓中垂徑定理的模型如圖：AC=60cm，BD=10cm，設(shè)半徑為rcm，∵OB⊥AC，∴AD=AC=30，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答：大理石球的半徑為50cm．點(diǎn)評：解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+（）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．24．（2010?三明）正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，E是⊙O上的一點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E在上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；（3）如圖②，若點(diǎn)E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系．（不必證明）考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：（1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DE﹣BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；（3）類比（2）不難得出（3）的結(jié)論．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD（1分）∵∠1和∠2都對，∴∠1=∠2，（3分）在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS）；（4分）（2）由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠3=90°．∴∠BAF+∠4=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF=AE．（8分）即DE﹣DF=AE．∴DE﹣BE=AE．（9分）（3）BE﹣DE=AE．理由如下：（12分）在BE上取點(diǎn)F，使BF=DE，連接AF．易證△ADE≌△ABF，∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠DAF=90°．∴∠DAE+∠DAF=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF=AE．（8分）即BE﹣BF=AE．∴BE﹣DE=AE．（9分）點(diǎn)評：本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，難度適中．25．（2010?本溪）如圖①，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點(diǎn)D是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點(diǎn)N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個(gè)損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；（3）隨著點(diǎn)D位置的變化，點(diǎn)N的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請說明理由；（4）在圖②中，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)：確定圓的條件；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）根據(jù)題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；（2）證明四邊形BADM四個(gè)頂點(diǎn)到BD的中點(diǎn)距離相等即可；（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進(jìn)而得到OA=ON，那么就求得了點(diǎn)N的坐標(biāo)；（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．解答：解：（1）從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形ADMB就是一個(gè)損矩形．∵點(diǎn)M是正方形對角線的交點(diǎn)，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四邊形ADMB就是一個(gè)損矩形．（2）取BD中點(diǎn)H，連接MH，AH．∵四邊形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴損矩形ABMD一定有外接圓．（3）∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四邊形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣1）．（4）延長AB交MG于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)MG=x，則四邊形APMQ為正方形，∴PM=AQ=x﹣1，∴OG=MQ=x﹣1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x﹣2，∴MN2=2x2，ND2=（2x﹣2）2+12，MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2，∵四邊形DMGN為損矩形，∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2，∴2x2﹣7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質(zhì)，綜合考查了四點(diǎn)共圓的判定及勾股定理的應(yīng)用．26．（2010?新疆）圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如圖所示那樣疊放在一起，連接AC、BD．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若OA=3cm，OC=1cm，求陰影部分的面積．考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；全等三角形的判定．專題：幾何綜合題．分析：（1）利用SAS證明全等即可；（2）根據(jù)扇形面面積公式求出陰影部分的面積．解答：（1）證明：∵∠COD=∠AOB=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD；（3分）（2）解：S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COD=π×32﹣π×12=2π（cm2）．故答案為：2πcm2．點(diǎn)評：此題考查兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定和如何計(jì)算扇形的面積．27．（2009?永州）問題探究：（1）如圖①所示是一個(gè)半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；（2）如圖②所示是一個(gè)底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題；等邊