初中數(shù)學(xué)《幾何旋轉(zhuǎn)》重難點(diǎn)模型匯編（四大題型）含解析

水不撩不知深淺專題旋轉(zhuǎn)重難點(diǎn)模型匯編12”】3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】4511如圖1△ABC中，∠A=90°AB=AC=2DE分別在邊ABAC上AD=AE=2-2DE．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)Aα0°<α<360°CEBD．(1)如圖20°<α<90°CE=BD；(2)如圖3α=90°CE交BD于點(diǎn)F：CF垂直平分BD；(3)連接CD△BCDα的度數(shù)．(1)見解析(2)見解析(3)△BCD的面積的最大值為3-2α=135°(1)AB=ACAD=AE∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，人不拼怎知輸贏·1·水不撩不知深淺AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE≌△ABDSAS，∴CE=BD；(2)AB=ACAD=AE∠CAB=∠EAD=90°，在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD∴△ACE≌△ABDSAS，∴∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠AEC=90°∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90°，∴∠EFB=90°，∴CF⊥BD，∵AB=AC=2AD=AE=2-2∠CAB=∠EAD=90°，∴BC=AB+AC2=2CD=AC+AD=2，∴BC=CD，∵CF⊥BD，∴CF是線段BD的垂直平分線；(3)解：在△BCDBCBC邊上的高取最大值時(shí)，△BCD的面積有最大值，∴當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上時(shí)，△BCD∵AB=AC=2AD=AE=2-2∠CAB=∠EAD=90°DG⊥BC，12∴AG=BC=1∠GAB=45°，∴DG=AG+AD=3-2∠DAB=180°-45°=135°，1212∴△BCD的面積的最大值為：BC?DG=×2×3-2=3-2，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=135°．2如圖1Rt△ABC中，∠C=90°AC=BC=2DE分別為AC,BC△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△E(如圖2)E恰好過點(diǎn)．B人不拼怎知輸贏·2·水不撩不知深淺(1)判斷與(2)求BE的長；(3)若將△CDE繞點(diǎn)CE過Rt△ABCBE長的其它所有值．(1)⊥14-2(2)(3)22+1414-2或22(1)解：與的位置關(guān)系為⊥．∵AC=BCDE分別為AC,BC的中點(diǎn)，∴CD=CE=CE，∵∠C=90°∠BCA=∠CE=90°，∴∠=∠BCE,∴△A≌△CEB，∴∠CEB=∠A，∵∠C=90°=CEAC=BC，∴∠E=∠CE=∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CEB=∠A=135°，∴∠B=135°-45°=90°，即：⊥．(2)解：Rt△ACB中，AC=BC=2，∴BA=AC+BC2=22E=2，∵△A≌△CEB，∴=BE，設(shè)=BE=x，在Rt△Bx+2+x=222，14-2解得：x=∴BE=(舍負(fù))，214-2．2人不拼怎知輸贏·3·水不撩不知深淺14-2(3)B(2)已求BE=；2②經(jīng)過點(diǎn)A同理可證：△A≌△CEB，∴∠AC=∠EBCBE=∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠BCA=90°，設(shè)BE==x，在Rt△AEBx+x-2=222，2+14解得：x=即：BE=(舍負(fù))，22+14；2③再次經(jīng)過點(diǎn)B，，同理可證：△A≌△CEB⊥BE設(shè)BE==x，在Rt△Bx+x-2=222，2+14解得：x=(舍負(fù))，22+14即：BE=；22+1414-2綜上所述：BE=或BE=．22題的關(guān)鍵．3如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．(11E在BC上D在ACBE與AD的數(shù)量關(guān)系是；(2△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2ADBE(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3△DCE繞點(diǎn)CAC=6CE=22AED三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，人不拼怎知輸贏·4·水不撩不知深淺直接寫出BE的長．(1)BE=ADBE⊥AD(2)(1)(3)42-2或42+2(1)解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=ACEC=DC∠ACB=90°，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案為：BE=ADBE⊥AD；(2)解：(1)中結(jié)論仍然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，∠BCE=∠ACD，∵BC=ACEC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD∠CBE=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；(3)E在線段AD3C作CM⊥AD于M，∵△DCECE=22，∴DE=CE+CD2=4，∵CM⊥AD，12∴CM=EM=DE=2，在Rt△ACM中，AC=6，∴AM=AC-CM2=42，∴AE=AM-EM=42-2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC+AB2=62，在Rt△ABE中，人不拼怎知輸贏·5·水不撩不知深淺BE=AB-AE2=42+2；②當(dāng)點(diǎn)D在線段AE4C作CN⊥AE于N，∵△DCECE=22，∴DE=CE+CD2=4，∵CN⊥AD，12∴CN=EN=DE=2，在Rt△ACN中，AC=6，∴AN=AC-CN2=42，∴AE=AN+NE=42+2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB-AE2=42-2；綜上，BE的長為42-2或42+2．41△ABC中，AB=AC∠BAC=60°DE分別是ABAC上的點(diǎn)，AD=AE發(fā)現(xiàn)BDCE的關(guān)系．(1)將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位BDCE的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)∠BAC=90°△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置．①猜想BD與CE有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)就圖3的情形進(jìn)行證明；②當(dāng)點(diǎn)CDE∠ADB的度數(shù)．(1)BD=CE(2)①BD=CEBD⊥CE45°或135°(1)∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，人不拼怎知輸贏·6·水不撩不知深淺∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；(2)①BD=CEBD⊥CE，BD交AC于點(diǎn)FCE于點(diǎn)M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF中，∵∠ABD=∠ACE∠AFB=∠MFC，∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，∴∠FMC=90°，∴BD⊥CE，因此BD=CEBD⊥CE；②如圖，當(dāng)點(diǎn)CDED在線段CEI所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB=∠EDB-∠ADE=45°；當(dāng)點(diǎn)CDEE在線段DEII所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，人不拼怎知輸贏·7·水不撩不知深淺∴∠ADB=∠EDB+∠ADE=135°；故∠ADB的度數(shù)為：45°或135°．5△ABCD是△ABCADAB=AC=2AD=6AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AEEDCEBD．(1)如圖1D在線段ECEC與線段BD的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2EC交BD于點(diǎn)P(1)中線段EC與線段BD(3)如圖3EC交BD于點(diǎn)PQ是ACDCPQDC=32PQ的長．(1)BD=CEBD⊥CE(2)(1)中線段EC與線段BD32(3)PQ的長為(1)解：BD=CEBD⊥CE∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°AB=AC，∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴∠DAE=90°AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，AB=AC在△ABD與△ACE中，∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥CE；故答案為：BD=CEBD⊥CE；(2)解：(1)中線段EC與線段BD的關(guān)系依然成立；理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°AB=AC，∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，人不拼怎知輸贏·8·水不撩不知深淺∴∠DAE=90°AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，AB=AC在△ABD與△ACE中，∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥CE；(3)PQ，∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴∠DAE=90°AE=AD=3，∴DE=2AD=32，∵DC=32，∴DE=CD，由(2)知BD⊥CE，∴EP=CP，∵點(diǎn)Q是AC邊的中點(diǎn)，1232∴PQ=AE=．掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2”】6ABCD是正方形，MN分別在邊CDBC∠MAN=45°△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°D與點(diǎn)BAMANMN．(1)試判斷DMBNMN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)MN分別在正方形ABCD的邊BCCD的延長線上，∠MAN=45°MN人不拼怎知輸贏·9·水不撩不知深淺MNDMBN(3)ABCD中，AB=AD∠BAD=120°∠B+∠D=180°NM分別在邊BCCD上，∠MAN=60°BNDMMN之間數(shù)量關(guān)系．(1)MN=DM+BN(2)MN=BN-DM(3)MN=DM+BN(1)解：MN=DM+BN，證明如下：如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=∠D=90°，AE=AMBE=DM∠ABE=∠D=90°∠DAM=∠BAE，∴∠ABE+∠ABC=180°，∴點(diǎn)EBC共線，∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠BAE+∠BAM=90°=∠EAM，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN，AE=AM在△EAN和△MAN中，∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MANSAS，∴EN=MN，∵EN=BE+BN，∴MN=DM+BN；(2)解：MN=BN-DM，證明如下：BC上取BE=MDAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°AB=AD，∵∠ADC+∠ADM=180°，∴∠ADC=∠ADM=∠ABE=90°，AB=AD在△ABE和△ADM中，∠ABE=∠ADM，BE=DM∴△ABE≌△ADMSAS，人不拼怎知輸贏·10·水不撩不知深淺∴AE=AM∠BAE=∠MAD，∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∴∠DAM+∠EAD=∠EAM=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN，AE=AM在△EAN和△MAN中，∠EAN=∠MAN，AN=AN∴△EAN≌△MANSAS，∴EN=MN，∵EN=BN-BE，∴MN=BN-DM；(3)△ABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ADE，∴∠B=∠ADEAB=ADAE=AN，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠ADE+∠ADC=180°，∴點(diǎn)EDC共線，∵∠BAN+∠NAD=∠BAD=120°，∴∠DAE+∠NAD=∠NAE=120°，∵∠MAN=60°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=60°=∠MAN，AE=AN在△EAN和△MAN中，∠EAM=∠NAM，AM=AM∴△EAM≌△NAMSAS，∴EM=MN，∴MN=DM+BN．構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7△ABC中，AB=ACDE是BC△ABD繞點(diǎn)A△接E．(1)當(dāng)∠BAC=120°∠DAE=60°DE=E；人不拼怎知輸贏·11·水不撩不知深淺(2)當(dāng)DE=E時(shí)，∠DAE與∠BAC(3)在(2)∠BAC=90°BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△EC是等腰直角三角形？(直)(1)見解析12(2)∠DAE=∠BAC(3)DE=2BD(1)證明：∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△，∴AD=∠=∠BAD，∵∠BAC=120°∠DAE=60°，∴∠AE=∠+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，∴∠DAE=∠AE，在△ADE和△E中，AD=∵∠DAE=∠AE，AE=AE∴△ADE≌△E(SAS)，∴DE=E；12(2)解：∠DAE=∠BAC．AD=AE=AEDE=E△ADE和△E中，，∴△ADE≌△AD′E(SSS)，∴∠DAE=∠AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，12∴∠DAE=∠BAC；(3)解：∵∠BAC=90°AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠=45°，∴∠CE=45°+45°=90°，∵△EC是等腰直角三角形，∴E=2，由(2)DE=E，∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△，∴BD=C，∴DE=2BD．人不拼怎知輸贏·12·水不撩不知深淺記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．81ABCD中，∠EAF=45°：EF=BE+DF小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD∠B=∠ADC=90°．把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE△AFE≌△AFEEF=EF．EF=ED+DF=BE+DF(112如圖2ABCD中，AB=AD∠B=∠D=90°∠EAF=∠BADEFBEDF之間的數(shù)量關(guān)系．12(23ABCD中，AB=AD∠B+∠D=180°∠EAF=∠BAD：EF=BE+DF．(34ABPC是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB=ACPB+PC與AP的關(guān)系．(1)BE+DF=EF(2)證明見解析(3)PB+PC=2PA(1)BE+DF=EF△ABE繞點(diǎn)A∠BADAB與ADE轉(zhuǎn)到點(diǎn)E所示，人不拼怎知輸贏·13·水不撩不知深淺可知△ABE≌△ADE，∴BE=DE．由∠ADC+∠ADE=180°知，CDE共線，12∵∠EAF=∠BAD，∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠DAE+∠DAF=∠EAF=∠E'AF，∴△AEF≌△AEF，∴EF=EF=BE+DF．(2)△ABE繞點(diǎn)A∠BADAB與ADE轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)可知△ABE≌△ADE，∴BE=DE∠B=∠ADE∠BAE=∠DAEAE=AE．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADE=180°，∴點(diǎn)CDE在同一條直線上．12∵∠EAF=∠BAD，1212∴∠BAE+∠DAF=∠BAD，∴∠DAE+∠DAF=BAD，12∴∠FAE=∠BAD，∴∠EAF=∠FAE．∵AF=AF，∴△FAE≌△FAE，∴FE=FEBE+DF=EF．(3)結(jié)論：PB+PC=2PA△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABAC與人不拼怎知輸贏·14·水不撩不知深淺由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得：∠+∠ACP=180°即PC在同一直線上．∴BP=AP=，，∵BC為直徑，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠+∠PAC=∠，∴△為等腰直角三角形，∴=2PA，即PB+PC=2PA．直角三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．9閱讀下面材料．1EF分別在正方形ABCD的邊BCCD上，∠EAF=45°EFEF=BE+DFABAD△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG(如圖2)．(1)寫出小炎的推理過程；(2)如圖3ABCD中，AB=AD∠BAD=90°EF分別在邊BCCD上，∠EAF=45°∠B∠D∠B與∠D滿足于EF=BE+DF；(3)如圖4△ABC中，∠BAC=90°AB=ACDE均在邊BC∠DAE=45°BD=1EC=2DE的長．(1)見解析(2)∠B+∠ADC=180°(3)5(1)△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD∠B=∠ADC=∠BAD=90°，人不拼怎知輸贏·15·水不撩不知深淺由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AGBE=DG∠BAE=∠DAG∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°CDG三點(diǎn)共線，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGFSAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DGDG=BE，∴EF=BE+DF；(2)∠B+∠ADC=180°EF=BE+DF△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，∴BE=DGAE=AG∠BAE=∠DAG∠B=∠ADG∵∠B+∠ADC=180°∠B=∠ADG，∴∠ADC+∠ADG=180°CDG三點(diǎn)共線，∵∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGFSAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DGDG=BE，∴EF=BE+DF，故答案為：∠B+∠ADC=180°；(3)△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，∴∠B=∠ACGBD=CG=1AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°∠ACG+∠ACB=90°∠ECG=90°∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，人不拼怎知輸贏·16·水不撩不知深淺又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGESAS，∴GE=DE，在Rt△CEGGE=CE∴DE=GE=5．+CG2=5，助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10如圖1EF分別是正方形ABCD的邊CDBC∠EAF=45°BF，EFED△DAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△BAH請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路完成下面的問題．(1)線段BFEFED之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖2ABCD中，∠EAF=45°BDAFAE于點(diǎn)MNBM，MNND(1)EF=BE+DF(2)MN=BM+DN2(1)EF=BE+DF理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AH=AE∠ADE=∠ABH=90°HB=DE∠EAH=90°，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴FBH三點(diǎn)共線，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFHSAS，∴EF=FH，人不拼怎知輸贏·17·水不撩不知深淺∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．(2)結(jié)論：MN=BM+DN,證明如下：△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG．∵BA=AD∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AN=AG∠ABG=∠ADB=45°∠GAE=90°，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°-∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANMSAS，∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM+BG=GM2，∴MN=BM+DN．3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】11ABCD中EF分別在線段BCCD∠EAF=45°AEAF分別與BD相交于點(diǎn)MNBE+DF=EFA到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；③BE=2DF=3SAEF=15AB=62BM=3MN=5．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.21ABH=DFAH=AF∠BAH=∠DAF∠EAH=∠EAF=45°等三角形的性質(zhì)得到EH=EF∠AEB=∠AEFBE+BH=BE+DF=EFA人不拼怎知輸贏·18·水不撩不知深淺作AG⊥EF于GAB=AGA到線段EF的距離一定等于正方EF=BE+DF=5BC=CD=nSAEF=15△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ△AMQ≌△AMN(SAS)MQ=MN，再證明∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°MN=xx即可．△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BH=DFAH=AF∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF和△AEH中，AH=AF∠EAH=∠EAF=45o，AE=AE∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+BH=BE+DF=EF過A作AG⊥EF于G，∴∠AGE=∠ABE=90°，在△ABE與△AGE中，∠ABE=∠AGE∠AEB=∠AEG，AE=AE∴△ABE≌△AGE(AAS)，∴AB=AG，∴點(diǎn)A到線段EF∵BE=2DF=3，∴EF=BE+DF=5，設(shè)BC=CD=n，∴CE=n-2CF=n-3，∴EF=CE+CF2，∴25=(n-2)+(n-3)2，∴n=6(負(fù)值舍去)，∴AG=6，12∴SAEF=×6×5=15．故③正確；人不拼怎知輸贏·19·水不撩不知深淺△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQQM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BQ=DNAQ=AN∠BAQ=∠DAN∠ADN=∠ABQ=45°，∵∠EAF=45°，∴∠MAQ=∠BAQ+∠BAE=∠DAN+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠MAQ=∠MAN=45°，在△AMQ和△AMN中，AQ=AN∠MAQ=∠MAN，AM=AM∴△AMQ≌△AMN(SAS)，∴MQ=MN，∵∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°，∴BQ+MB=MQ2，∴ND+MB=MN2，∵AB=62，∴BD=2AB=12，設(shè)MN=xND=BD-BM-MN=9-x，∴3+(9-x)=x2，解得：x=5，∴MN=5故選A．是旋轉(zhuǎn)三角形ADF和三角形AND．12P是正方形ABCDPAPBPC．若PA=4PB=2∠APB=135°PC的長為．人不拼怎知輸贏·20·水不撩不知深淺26BA=BC∠ABC=90°△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBEPEBP=BE=2CE=AP=4∠PBE=90°∠BEC=∠APB=135°△PBEPE=2PB=22∠PEB=45°∠PEC=90°在Rt△PEC中利用勾股定理計(jì)算PC的長．∵四邊形ABCD為正方形，∴BA=BC∠ABC=90°，把△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBEPE∴BP=BE=2CE=AP=4∠PBE=90°∠BEC=∠APB=135°，∴△PBE為等腰直角三角形，∴PE=2PB=22∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC中，∵PE=22CE=4，∴PC=4+(22)2=26．故答案為：26．13(1)1△ABC和△DCE△DCA應(yīng)轉(zhuǎn)至點(diǎn)ADE在同一直線BE△BCE≌△ACD∠BEC=ADBE之間的數(shù)量關(guān)系；(2)2△ACB和△DCE∠ACB=∠DCE=90°ADE在同一直線AE=12DE=7AB的長度；(3)如圖3P為等邊三角形ABC∠APC=150°∠APD=30°AP=4CP=3DP=7BD的長．人不拼怎知輸贏·21·水不撩不知深淺(1)①120°AD=BE(2)13(3)229本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，(1)證明△ACD≌△BCE(SAS)．得到∠ADC=∠BEC．利用△DCE∠CDE=∠CED=60°ADE∠ADC=120°∠BEC=120°；(2)證明△ACD≌△BCE(SAS)AD=BE=AE-DE=15-7=8∠ADC=∠BEC∠AEB=∠BEC-∠CED=90°(3)把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BECPE△BEC≌△APC△PCE是等邊三角∠BED=90°DPEDE(1)①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CBCD=CE∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．AC=BC在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)ADE在同一直線上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD=BE；120°AD=BE．(2)∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CBCD=CE∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．AC=BC在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)，人不拼怎知輸贏·22·水不撩不知深淺∴AD=BE=AE-DE=12-7=5∠ADC=∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)ADE在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．∴AB=AE2+BE2=144+25=13；(3)把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BECPEAP=4CP=3DP=7則△BEC≌△APC，∴CE=CP∠PCE=60°BE=AP=4∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等邊三角形，∴∠EPC=∠PEC=60°PE=CP=3，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∵∠APD=30°，∴∠DPC=150°-30°=120°，又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，即DPE在同一條直線上，∴DE=DP+PE=7+3=10，在Rt△BDE中，BD=BE即BD的長為229．+DE2=229，414D是等邊△ABCBD=3AD=4CD=5．(1)求∠ADB的度數(shù)；人不拼怎知輸贏·23·水不撩不知深淺△BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°；△ABD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；△ACD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．∠ADB的度數(shù)；(2)若改成BD=6AD=8CD=10∠ADB的度數(shù)=°A到BD的距離為；類比遷移：(3)已知，∠ABC=90°AB=BCBE=1CE=3AE=5∠BEC的度數(shù)．(1)∠ADB=150°(2)1504.(3)∠BEC=135°(1)解：(1)1∠DBE=60°BE=BDDEAE△BDE是等邊三角形，∴DE=BD=3∠BDE=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC∠ABC=60°，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD=5，∵AD+DE=4+3=5=AE2，∴∠ADE=90°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°+60°=150°；2∠BFD=60°∠DFC=90°，∴∠ADB=∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+90°=150；3同理可得，∠AGD=60°∠BDG=90°，∴∠ADB=∠ADG+∠BDG=60°+90°=150；人不拼怎知輸贏·24·水不撩不知深淺(2)同理(1)可得：AD+BD=CD2，∴∠ADB=150°，如圖4A作BD的垂線AHH，∴∠ADH=30°，1∴AH=AD=4，2故答案為：1504.(3)如圖5△ABE繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△CBFEF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF=1AE=CF=5，∴∠FBE=∠BEF=45°，∴EF=BE+BF=2∵EF+EC=2+3=5=AE2，∴∠FEC=90°，人不拼怎知輸贏·25·水不撩不知深淺∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=45°+90°=135°15(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1△ABC內(nèi)有一點(diǎn)PP到頂點(diǎn)ABC的距離分別為345∠APB的度數(shù)．為了解△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△PA,PB,PC轉(zhuǎn)∠APB的度數(shù)．請(qǐng)按此方法求∠APB(2)拓展研究：請(qǐng)利用第(1)①如圖2△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°EF為BC∠EAF=45°BE,EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；②如圖3△ABC中，∠ABC=30°AB=4BC=6△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)PPA,PB,PC出PA+PB+PC的最小值．(1)150°(2)①BE+CF=EF2213(1)連接AP==3,∠=60°BP==4∠APB=∠C，，到△'為等邊三角形，=AP=3,∠P=60°且∠C=90°∠APB=∠C=150°；△C是直角三角形，(2)①證明∠B=∠ACB=45°△BAE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△CADDF∠BAE=∠DAC∠ACD=∠B=45°AD=AEBE=CD∠DCE=90°DF=CF2+CD=CF+BE2△AEF≌△ADFEF=DFBE+CF=EF；②將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°△C，，∠ABA=∠=60°B=AB=4BP==AP△為等邊三角形，∠BC=90°BP=線段最短得到PA+PB+PC=++CP≥CPCPA，，，四點(diǎn)共線時(shí)，+PB+PC的值最小為CC=213PA+PB+PC的最小值為213．(1)連接，人不拼怎知輸贏·26·水不撩不知深淺∵將△APB繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△，∴AP==3,∠=60°BP==4,∠APB=∠C，∴△'為等邊三角形，∴=AP=3,∠P=60°，∵P+C=3+4=25PC=5=25，∴P+C=PC2，∴△C是直角三角形，且∠C=90°，∴∠C=∠P+∠P=150°，∴∠APB=∠C=150°；(2)①BE+CF=EF．證明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，△BAE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△CADDF，則：∠BAE=∠DAC∠ACD=∠B=45°AD=AEBE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF=CF+CD=CF+BE2，∵∠EAF=45°∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE+CF=EF；②PA+PB+PC的最小值為213△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°△C，，，，，，則：∠ABA=∠=60°B=AB=4BP==AP人不拼怎知輸贏·27·水不撩不知深淺∴△為等邊三角形，∠BC=∠BA+∠ABC=90°，∴BP=，∴PA+PB+PC=++CP≥C，∴當(dāng)且僅當(dāng)PC四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小為C的長，∵∠BC=90°，∴C=B+BC2=4+62=213，∴PA+PB+PC的最小值為213．16(2023?嶗山區(qū)模擬)閱讀下面材料：1ABC內(nèi)有一點(diǎn)PPA=3PB=4PC=5∠APB的度數(shù)．2△AP′C接PP′將問題解決．1中∠APB的度數(shù)等于150°．(1)如圖3ABCD內(nèi)有一點(diǎn)PPA=135°?PB=1PD=∠APB的度數(shù)等于?；(2)如圖4ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)PPA=2PB=1PF=120°，∠APB的度數(shù)等于正六邊形的邊長為??．△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=3P′D=PB=4∠PAP′=60°，人不拼怎知輸贏·28·水不撩不知深淺∴△APP′是等邊三角形，∴PP′=PA=3∠AP′P=60°，∵PP′+P′C=3+4=25PC=5=25，∴PP′+P′C=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；(1)如圖3△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=22P′D=PB=1∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PA=2×22=4∠AP′P=45°，∵PP′+P′D=4+1=17PD=17=17，∴PP′+P′D=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴點(diǎn)P′PB三點(diǎn)共線，過點(diǎn)A作AE⊥PP′于E，1212則AE=PE=PP′=×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===13；16(2)如圖4∵正六邊形的內(nèi)角為×(6-2)?180°=120°，∴把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AFP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=2P′F=PB=1∠PAP′=120°，12∴∠APP′=∠AP′P=(180°-120°)=30°，過點(diǎn)A作AM⊥PP′于MPP′與AF相交于N，1212則AM=PA=×2=1，P′M=PM===3，∴PP′=2PM=23，∵PP′+P′F=(23)+1=13PF=13=13，人不拼怎知輸贏·29·水不撩不知深淺∴PP′+P′F=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N(AAS)，1232∴AN=FNP′N=MN=P′M=，72在Rt△AMN中，AN===，72∴AF=2AN=2×=7．故答案為：150°(1)135°，13(2)120°，7．517ABCD是菱形，AB=6∠ABC=60°MAMBM，CMAM+BM+CM的最小值為．63BM為邊作等邊△BMNBC為邊作等邊△BCEBM=BN=MNBC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，人不拼怎知輸贏·30·水不撩不知深淺∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)AMNE四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AEAH=EH∠BAH=30°，12∴BH=AB=3AH=3BH=33，∴AE=2AH=63．故答案為63．輔助線是解答本題的關(guān)鍵．18ABC內(nèi)有一點(diǎn)P．(1)若PA=2PB=3PC=1∠BPC的度數(shù)；(2)若等邊三角形邊長為4PA+PB+PC的最小值；(3)ABCD內(nèi)有一點(diǎn)PPA=5PB=2PC=1ABCD的邊長．(1)∠BPC=150°，(2)43(3)5(1)解：如圖所示，人不拼怎知輸贏·31·水不撩不知深淺將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段B∴△BPC≌△A，、，AP∴BP=BA=PC=1∠PB=60°∠AB=∠BPC，∴△BP是等邊三角形，∴∠BP=∠PB=60°P=BP=3，∵+=1+3=4=AP2，∴△AP是直角三角形，∠AP=90°，∴∠AB=∠AP+∠BP=150°，∴∠BPC=150°，(2)△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACD，則△ABP≌△ACDPA=DA∠PAD=60°△APD是等邊三角形，∴AP=PD，再將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE△APC≌△ADE∴PC=DE∠CAE=60°CA=EA，∴PA+PB+PC=BP+PD+DE≥BE當(dāng)B,P,D,E四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PCBE的長，設(shè)BEAC交于點(diǎn)F，∵AB=AC=AE,∠BAF=∠EAF∠BAE=∠BAF+∠EAF=120°，12∴BE⊥AFBF=EF=BE,∴∠ABF=30°，1∴AF=AB=2,2在Rt△ABF中，BF=AB-AF2=23∴BE=2BF=43，,人不拼怎知輸贏·32·水不撩不知深淺即PA+PB+PC的最小值為43；(3)△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△BEA，∴△BPC≌△BEA，∴BE=BP=2AE=PC=1∠PBE=90°∠AEB=∠BPC，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BEP=∠EPB=45°PE=2PB=2，∵AE+PE=1+4=5=AP2，∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，AEB作BF⊥AE于F∠F=90°，∵∠AEP=90°∠BEP=45°，∴∠BEF=45°=∠EBF，∴BF=EF=1，∴AF=AE+EF=2，∴AB=AF+BF2=2+1=55．19△ABC所在平面上求一點(diǎn)P.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640圖1△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°P在△ABC∠APB=∠APC=∠CPB=120°時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值．人不拼怎知輸贏·33·水不撩不知深淺(1)如圖2△ABC內(nèi)有一點(diǎn)PP到頂點(diǎn)ABC的距離分別為345∠APB△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△△≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變PAPBPC∠APB=；120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC以下問題．(2)如圖3△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°△ABC外側(cè)作等邊三角形△：過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4RT△ABC中，∠C=90°AC=1∠ABC=30°P為△ABCAPBP、CPPA+PB+PC的值．(4)如圖5ABCD中EAEBECEAB=2AE+BE+CE的最小值．(1)150°；(2)見詳解；(3)7；(4)6+2．(1)PP′，∵△ABP≌△，∴∠BAP=∠CAP′∠APB=∠AP′CAP=AP′=3BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，人不拼怎知輸贏·34·水不撩不知深淺∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，+C=3+4=25=PC2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；(2)△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°△AB′P′PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′PB=PB′AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵PA+PB+PC=++PC，∴點(diǎn)CPP′B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC=CB′，∴點(diǎn)P在CB′上，∴過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°△AP′B′BB′PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=APAB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′