吉林省名校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期9月聯(lián)考數(shù)學試題

高二數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第一章到第二章2.3。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的斜率為A．B．2C．-2D．2．若點P（-1，2）到直線l：的距離為，則a＝A．5B．-15C．5或-15D．-5或153．已知空間向量，，且，則k＝A．-6B．-8C．2D．-104．已知直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是A．B．C．D．5．在空間四邊形OABC中，，，，且，，則A．B．C．D．6．空間內有三點P（3，1，-4），E（2，1，1），F(xiàn)（1，2，2），則點P到直線EF的距離為A．B．C．D．7．在如圖所示的多面體中，，，且，，則異面直線BP與CQ所成角的余弦值為A．B．C．D．8．已知二面角α-l-β的棱l上有A，B兩點，直線BD，AC分別在平面α，β內，且它們都垂直于l．若，，，，則平面α與β的夾角為A．30°B．60°C．120°D．135°二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線l過點（0，2），，則A．直線l的傾斜角為150°B．直線l的兩點式方程為C．直線l的一個方向向量為D．直線l的截距式方程為10．對于直線l：，下列選項正確的是A．直線l恒過點（2，-1）B．當時，直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為C．若直線l不經(jīng)過第二象限，則D．坐標原點到直線l的距離的最大值為11．已知正三棱柱的所有棱長都為2，P是空間中的一動點，下列選項正確的是A．若，則CP的最小值為2B．若，則三棱錐P-ABC的體積為定值C．若，則直線AP與平面ABC所成角的正弦值的最大值為D．若，則平面PBC截三棱柱所得的截面面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線l垂直于直線，且過點，則直線l的傾斜角為________，在x軸上的截距為________．13．已知向量，，，當時，向量在向量上的投影向量為________．（用坐標表示）14．已知點P（1，4），Q（6，3），直線l：，M為直線l上一動點，則的最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線，直線．（1）若，求，之間的距離；（2）若，求，及x軸圍成的三角形的面積．16．（15分）如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)，M分別是線段，EC，的中點．設，，．（1）用基底表示向量．（2）棱BC上是否存在一點G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，請說明理由．17．（15分）在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均為直角梯形，，，，．（1）證明：．（2）求直線DF與平面BEF所成角的大?。?8．（17分）已知△ABC的頂點A（5，1），B（4，3），直線l：過定點G．（1）若G是△ABC的重心，求△ABC三邊所在直線的方程；（2）若，且，求頂點C的坐標．19．（17分）如圖，，，，，，．（1）證明：．（2）若三棱錐F-BDE的體積為1，求平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值．高二數(shù)學試卷參考答案1．A直線的斜率為．2．C點P到直線l的距離，解得或-15．3．C因為，所以，解得．4．D設直線l的傾斜角為α，則．因為，且，所以．5．B．6．A因為，所以直線EF的一個單位方向向量為．因為，所以點P到直線EF的距離為．7．A如圖，將該多面體補成底面邊長為2，高為2的正三棱柱，并建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（1，0，0），，C（-1，0，0），Q（0，0，2），所以，，所以．8．B因為，所以．因為，，，，，，所以，所以．因為，所以，故平面α與β的夾角為60°．9．ABD因為直線l過點（0，2），，所以直線l的斜率為，傾斜角為150°，故A正確，C不正確；直線l的兩點式方程為，截距式方程為，所以B，D正確．10．ABD可變形為，由得所以直線l恒過點（2，-1），故A正確；當時，直線l在x，y軸上的截距分別為1，1，所以直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，故B正確；當時，直線l的方程為，直線l也不經(jīng)過第二象限，故C不正確；因為直線l過定點（2，-1），所以坐標原點到直線l的距離的最大值為，故D正確．11．BCD如圖，建立空間直角坐標系，則，B（0，1，0），C（0，-1，0），，，．因為，所以，所以，所以．當，時，，所以A錯誤；因為，所以，所以點P到平面ABC的距離為定值，即三棱錐P-ABC的體積為定值，所以B正確；因為，平面ABC的一個法向量為，設AP與平面ABC所成的角為θ，所以，，當時，，所以C正確；因為，所以，由圖可知平面PBC截三棱柱所得的截面為，，所以D正確．12．；因為直線的斜率為，所以直線l的斜率為，所以直線l的傾斜角為．因為直線l過點，所以直線l的方程為，故直線l在x軸上的截距為．13．（-1，2，1）因為，所以，所以．因為，所以在上的投影向量為．14．設P關于l的對稱點為，則解得即．因為，所以的最小值為．15．解：（1）因為，所以，整理得，解得或．當時，，，，重合；當時，，，符合題意．故，則，之間的距離為．（2）因為，所以，解得．，的方程分別為，．聯(lián)立方程組得．因為，與x軸的交點分別為（-3，0），（2，0），所以，及x軸圍成的三角形的面積為．16．解：（1）因為，，所以．（2）假設棱BC上存在點G，使得，設．因為，所以．因為，所以，得，所以棱BC上不存在一點G，使得．17．（1）證明：因為，所以AB，AC，AD兩兩垂直．以A為坐標原點，分別以，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），D（0，2，0），B（1，0，0），C（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），E（1，3，0）．設平面BEF的法向量為，因為，，所以令，得．設平面DEF的法向量為，因為，，所以令，得．因為，所以，所以．（2）解：設直線DF與平面BEF所成的角為α，由（1）知，平面BEF的一個法向量為，則，所以，即直線DF與平面BEF所成的角為．18．解：（1）將l：整理得，由得所以G（0，-1）．設，因為G是△ABC的重心，所以解得所以C（-9，-7）．故AB所在直線的方程為，BC所在直線的方程為，AC所在直線的方程為．（2）因為點G（0，-1）到直線AB的距離，，所以點C到直線AB的距離為．因為，所以點C在AB的垂直平分線上．因為AB的垂直平分線的方程為，所以解得或所以或．19．（1）證明：因為，，所以AB，AD，AE兩兩垂直．如圖，以A為坐標原點，分別以，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，