高二數(shù)學二第二章點、直線、平面之間的位置關系平面與平面垂直的性質【教案】

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3.4平面與平面垂直的性質學法指導空間中平面與平面之間的位置關系中，垂直是一種非常重要的位置關系,它不僅應用較多，而且是空間問題平面化的典范。知識鏈接空間中平面與平面垂直的性質定理具備以下兩個特點：(1）它是立體幾何中最難、最“高級”的定理.(2）它往往又是一個復雜問題的開端,即先由面面垂直轉化為線面垂直，否則無法解決問題。因此，面面垂直的性質定理是立體幾何中最重要的定理.三維目標1.探究平面與平面垂直的性質定理，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力。2.面面垂直的性質定理的應用，培養(yǎng)學生的推理能力。3.通過平面與平面垂直的性質定理的學習，培養(yǎng)學生轉化的思想.重點難點教學重點：平面與平面垂直的性質定理.教學難點:平面與平面性質定理的應用。課時安排1課時教學過程復習(1）面面垂直的定義。如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理。兩個平面垂直的判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。兩個平面垂直的判定定理符號表述為:α⊥β。兩個平面垂直的判定定理圖形表述為：圖1導入新課思路1.（情境導入)黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？思路2.(事例導入)如圖2，長方體ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′與平面ABCD垂直，直線A′A垂直于其交線AD.平面A′ADD′內的直線A′A與平面ABCD垂直嗎？圖2推進新課新知探究提出問題①如圖3,若α⊥β,α∩β=CD，ABα，AB⊥CD，AB∩CD=B.請同學們討論直線AB與平面β的位置關系.圖3②用三種語言描述平面與平面垂直的性質定理，并給出證明。③設平面α⊥平面β,點P∈α,P∈a，a⊥β,請同學們討論直線a與平面α的關系.④分析平面與平面垂直的性質定理的特點,討論應用定理的難點.⑤總結應用面面垂直的性質定理的口訣。活動：問題①引導學生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面β的關系.問題②引導學生進行語言轉換。問題③引導學生作圖或借助模型探究得出直線a與平面α的關系.問題④引導學生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質定理的特點。問題⑤引導學生找出應用平面與平面垂直的性質定理的口訣。討論結果：①通過學生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面β垂直，如圖3.②兩個平面垂直的性質定理用文字語言描述為：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.兩個平面垂直的性質定理用圖形語言描述為：如圖4.圖4兩個平面垂直的性質定理用符號語言描述為:AB⊥β.兩個平面垂直的性質定理證明過程如下:圖5如圖5，已知α⊥β,α∩β=a，ABα，AB⊥a于B.求證：AB⊥β。證明：在平面β內作BE⊥CD垂足為B,則∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.由α⊥β,可知AB⊥BE。又AB⊥CD，BE與CD是β內兩條相交直線,∴AB⊥β.③問題③也是闡述面面垂直的性質,變?yōu)槲淖謹⑹鰹椋呵笞C：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內。下面給出證明。如圖6，已知α⊥β，P∈α,P∈a，a⊥β。求證：aα.圖6證明：設α∩β=c，過點P在平面α內作直線b⊥c,∵α⊥β，∴b⊥β。而a⊥β，P∈a，∵經過一點只能有一條直線與平面β垂直，∴直線a應與直線b重合.那么aα.利用“同一法"證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數(shù)學方法,這里要求做到兩點。一是作出符合題意的直線b，不易想到，二是證明直線b和直線a重合，相對容易些.點P的位置由投影所給的圖及證明過程可知,可以在交線上，也可以不在交線上。④我認為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因為立體幾何的幾乎所有問題都是圍繞它展開的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉化的橋梁，而且由它還可以轉化為線線平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開它。兩個平面垂直的性質定理的特點就是幫我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理。⑤應用面面垂直的性質定理口訣是：“見到面面垂直，立即在一個平面內作交線的垂線".應用示例思路1例1如圖7，已知α⊥β,a⊥β，aα，試判斷直線a與平面α的位置關系。圖7解：在α內作垂直于α與β交線的垂線b，∵α⊥β，∴b⊥β.∵a⊥β，∴a∥b.∵aα,∴a∥α.變式訓練如圖8,已知平面α交平面β于直線a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直線b。求證：（1)a⊥γ;(2）b⊥γ.圖8圖9證明：如圖9，（1)設α∩γ=AB，β∩γ=AC。在γ內任取一點P并在γ內作直線PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a。同理,PN⊥a。又PMγ，PNγ，∴a⊥γ。(2）在a上任取點Q，過b與Q作一平面交α于直線a1,交β于直線a2?！遙∥α,∴b∥a1。同理，b∥a2.∵a1、a2同過Q且平行于b,∴a1、a2重合.又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交線，即都重合于a。∵b∥a1,∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ。點評：面面垂直的性質定理作用是把面面垂直轉化為線面垂直，見到面面垂直首先考慮利用性質定理，其口訣是：“見到面面垂直,立即在一個平面內作交線的垂線”.例2如圖10，四棱錐P—ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形，側面PAB是等邊三角形,且側面PAB⊥底面ABCD。圖10圖11（1）證明側面PAB⊥側面PBC；（2）求側棱PC與底面ABCD所成的角；（3）求直線AB與平面PCD的距離。（1)證明：在矩形ABCD中,BC⊥AB,又∵面PAB⊥底面ABCD,側面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥側面PAB.又∵BC側面PBC,∴側面PAB⊥側面PBC。(2）解：如圖11,取AB中點E,連接PE、CE,又∵△PAB是等邊三角形,∴PE⊥AB.又∵側面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD?！唷螾CE為側棱PC與底面ABCD所成角。PE=BA=，CE==，在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求。（3）解:在矩形ABCD中，AB∥CD，∵CD側面PCD，AB側面PCD，∴AB∥側面PCD。取CD中點F,連接EF、PF，則EF⊥AB.又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF。又∵AB∥CD，∴CD⊥平面PEF。∴平面PCD⊥平面PEF。作EG⊥PF，垂足為G,則EG⊥平面PCD。在Rt△PEF中，EG=為所求.變式訓練如圖12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都是a，側棱與底面成60°角,側面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1與底面ABC所成二面角的大小。圖12活動：請同學考慮面BB1C1C⊥面ABC及棱長相等兩個條件,師生共同完成表述過程，并作出相應輔助線.解：∵面ABC∥面A1B1C1，則面BB1C1C∩面ABC=BC，面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1，∴BC∥B1C1，則B1C1∥面ABC。設所求兩面交線為AE，即二面角的棱為AE，則B1C1∥AE，即BC∥AE.過C1作C1D⊥BC于D,∵面BB1C1C⊥面ABC,∴C1D⊥面ABC,C1D⊥BC。又∠C1CD=60°，CC1=a，故CD=，即D為BC的中點.又△ABC是等邊三角形，∴BC⊥AD。那么有BC⊥面DAC1，即AE⊥面DAC1.故AE⊥AD，AE⊥AC1,∠C1AD就是所求二面角的平面角?！逤1D=a,AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.點評:利用平面與平面垂直的性質定理,找出平面的垂線是解決問題的關鍵。思路2例1如圖13,把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉至△ABD的位置,使CD=AC,圖13(1）求證:平面ABD⊥平面ABC；(2）求二面角CBDA的余弦值。（1）證明：（證法一）：由題設,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC?！郞是△ABC的外心，即AB的中點?！郞∈AB,即O∈平面ABD?！郞D平面ABD?！嗥矫鍭BD⊥平面ABC.（證法二)：取AB中點O，連接OD、OC,則有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角。設AC=a,則OC=OD=，又CD=AD=AC，∴CD=a?！唷鰿OD是直角三角形，即∠COD=90°.∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD的中點E,連接CE、OE、OC,∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD。又△BOD為等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC為二面角CBDA的平面角。同（1）可證OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE?！唷鰿OE為直角三角形.設BC=a,則CE=a，OE=a，∴cos∠OEC=即為所求。變式訓練如圖14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿對角線BD把△BCD折起，使C移到C′,且C′在面ABC內的射影O恰好落在AB上.圖14(1）求證：AC′⊥BC′；(2）求AB與平面BC′D所成的角的正弦值；（3）求二面角C′BDA的正切值。（1)證明:由題意，知C′O⊥面ABD，∵C′OABC′，∴面ABC′⊥面ABD。又∵AD⊥AB，面ABC′∩面ABD=AB，∴AD⊥面ABC′。∴AD⊥BC′.∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D。∴BC′⊥AC′.（2）解:∵BC′⊥面AC′D,BC′面BC′D，∴面AC′D⊥面BC′D。作AH⊥C′D于H，則AH⊥面BC′D,連接BH，則BH為AB在面BC′D上的射影，∴∠ABH為AB與面BC′D所成的角.又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3，∴AC′=3?！郃H=?！鄐in∠ABH=,即AB與平面BC′D所成角的正弦值為.(3)解:過O作OG⊥BD于G，連接C′G,則C′G⊥BD,則∠C′GO為二面角C′BDA的平面角.在Rt△AC′B中,C′O=,在Rt△BC′D中,C′G=.∴OG==.∴tan∠C′GO=,即二面角C′BDA的正切值為.點評:直線與平面垂直是立體幾何的核心，它是證明垂直問題和求二面角的基礎,因此利用平面與平面垂直的性質定理找出平面的垂線,就顯得非常重要了。例2如圖15,三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值。圖15活動:可以知道，平面ABC與平面BCC1B1垂直,故可由面面垂直的性質來尋找從一個半平面到另一個半平面的垂線。解:由直三棱柱性質得平面ABC⊥平面BCC1B1，過A作AN⊥平面BCC1B1，垂足為N，則AN⊥平面BCC1B1（AN即為我們要找的垂線），在平面BCB1內過N作NQ⊥棱B1C，垂足為Q，連接QA，則∠NQA即為二面角的平面角?！逜B1在平面ABC內的射影為AB，CA⊥AB,∴CA⊥B1A。AB=BB1=1，得AB1=?！咧本€B1C與平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2.在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=,得AN=.sin∠AQN==,即二面角BB1CA的正弦值為.變式訓練如圖16，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M為BC的中點。（1）證明：AM⊥PM；（2)求二面角PAMD的大小。圖16圖17(1）證明：如圖17，取CD的中點E，連接PE、EM、EA,∵△PCD為正三角形,∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=?！咂矫鍼CD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD.∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形。由勾股定理可求得EM=，AM=,A