離散數(shù)學課件第六章(第2講)

§3半群與含幺半群《定義》：一個代數(shù)系統(tǒng)<S,>，S為非空集合，

是S上的二元運算，如果運算

是封閉的，則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,>為廣群?！抖x》：設<S,>是一代數(shù)系統(tǒng)，S為非空集合，

是S上的二元運算，若

(1)

運算是封閉的。

(2)

運算滿足結合律，則稱<S,>為半群。

例：<N,+>,<N,

>,<IE,+>,<IE,>均為半群?！抖x》：對于*運算，擁有幺元的半群<M,*>稱為含幺半群或獨異點。

例：<N,+>,<N,

>均為獨異點，而<IE,>就不是獨異點。例：設S為非空集合，

(S)是S的冪集，則<

(S),∪>,<

(S),∩>均為獨異點。例：<I,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I,min>，其中min(x1,x2)取二者之小值，均不為獨異點（不存在幺元）。<N,max>則為獨異點，其中e=0《定義》：設<S,*>是一半群，TS，且*在T上是封閉的，那么<T,*>也是半群，稱<T,*>是<S,*>的子半群。討論定義：

（1）因為*在S上是可結合的，而TS且*在T上是封閉的，所以*在T上也是可結合的。（2）SS

，則<S,*>是<S,*>的子半群,稱<S,*>是S的“平凡子半群”?！抖x》：設*是S上的二元運算,對任一x

S,則：

x1=x，x2=x*x，…，xn=xn-1*x《定理》：設<S,*>是獨異點，則在關于運算*的運算表中一定沒有相同的行和列。

證明：（1）xm

xn=(xmx)x…x=(xm+1x)x…x

=….=xm+n

（2）(xm)n=xm…xm=xm+m

xm…xm=…=xmn

nn-1《定理》：設*是S上的二元運算,且x

S,對任一m,nI+有（1）xm

xn=xm+n

（2）(xm)n=xmnnn-1《定理》：設<S,*>是獨異點，對于任意a，bS，且a，b均有逆元，則1)(a-1)-1=a2)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1證明：1)因為a-1是a的逆元，即

a*a-1=a-1*a=e

所以(a-1)-1=a 2)因為(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e

同理可證：(b-1*a-1)*(a*b)=e

所以(a*b)-1=b-1*a-1§4群與子群1.群的定義《定義》設<S,*>是一代數(shù)系統(tǒng)，S是非空集合，*為S上的二元運算，它滿足以下四個條件時，則稱<S,*>為群

（1）*運算是封閉的；

（2）*運算是可結合的； （3）存在幺元e；

（4）S中每一個元素均有逆元。例：<I,+>,<Z3,+3>為群（其中Z3={0,1,2}）<N,+>,<I,>不是群，它們是含幺半群(獨異點)。例：設M={0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上幾何圖形順時針旋轉的六種位置，定義一個二元運算*，對M中任一元素a,b有a*b=圖形旋轉(a+b)的角度，并規(guī)定當旋轉到360o時即為0o，試驗證<M,*>是一個群。*0o60o120o180o240o300o0o0o60o120o180o240o300o60o60o120o180o240o300o0o120o120o180o240o300o0o60o180o180o240o300o0o60o120o240o240o300o0o60o120o180o300o300o0o60o120o180o240o（1）運算是封閉的（2）*是可結合的（3）幺元為0o

；（4）每一個元素均有逆元：(0o)-1=0o,(60o)-1=300o,(120o)-1=240o,(180o)-1=180o,(240o)-1=120o,(300o)-1=60o

∴<M,*>是一個群?！抖x》設<G,*>是一個群，如果G是有限集合，則稱<G,*>為有限群，并把|G|稱為群的階數(shù)，如果G為無限集合，則稱<G,*>為無限群。例：<I,+>為無限群，上例中<M,*>為有限群，群的階為|M|=6?？梢愿爬ǎ簭V群是一個具有封閉運算的非空集合；半群是一個具有結合運算的廣群；含幺半群是具有幺元的半群；群是每個元素都有逆元的含幺半群。2.群的性質(zhì)群除了具有半群和含幺半群所具有的所有性質(zhì)以外；還具有如下性質(zhì)，主要以定理形式表示。《定理1》若<G,*>是一個群，則對任一a,bG有：

存在唯一的元素xG

，使a*x=b；證明：（1）在G中存在x，使a*x=b成立。

∵a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b

∴至少有一x=(a-1*b)滿足a*x=b成立。（2）下面證明這樣的x是唯一的。若另有一解x1能使a*x1=b成立，則有x1=e*x1=(a-1*a)*x1=a-1*(a*x1)=a-1*b，∴x=(a-1*b)是滿足a*x=b的唯一元素

。

《定理2》若<G,*>是一個群，則對任一a,b,cG有：（1）a*b=a*cb=c（a是左可消去的）

（2）b*a=c*a

b=c（a是右可消去的）。此定理說明群滿足消去律?！抖ɡ?》一個群<G,*>中一定不存在零元。證：