4-1指數(shù)-題型分類歸納2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練人教A版2019必修第一冊

4.1指數(shù)一、n次方根的定義1、定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且2、個數(shù)：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時，，的值僅有一個，記為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)，=1\*GB3①時，的有兩個值，且互為相反數(shù)，記為；=2\*GB3②時，不存在二、根式1、定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．2、性質(zhì)：（，且）a；三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的注意事項(xiàng)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個相乘，它是根式的一種新的寫法．在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時，不要輕易對進(jìn)行約分．（3）在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負(fù)數(shù)也存在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒有意義．四、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．五、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．六、條件求值問題的解題思路：1、將條件中的式子用待求式表示出來，進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論；2、當(dāng)直接代入不易時，可以從總體上把握已知式和所求式的特點(diǎn)，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式對其進(jìn)行化簡，再用整體代入法來求值；3、適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更加清晰，過程更簡潔。題型一根式的概念【例1】下列等式中成立的個數(shù)是（）①（且）；②（為大于的奇數(shù)）；③（為大于零的偶數(shù)）.A．個B．個C．個D．個【答案】D【解析】對于①，當(dāng)且時，，①對；對于②，當(dāng)為大于的奇數(shù)時，，②對；對于③，當(dāng)為大于零的偶數(shù)時，，③對.故選：D.【變式1-1】等式成立的條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】等式成立的條件是，即.故選：D【變式1-2】，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_________

【答案】【解析】由題設(shè)得，，所以，所以，．【變式1-3】（多選）下列等式中，不正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，，

故A不正確；對于B，

，故B不正確；對于C，

中，故C不正確；對于D，

，故D正確．故選：ABC題型二利用根式的性質(zhì)化簡求值【例2】化簡并求值.【答案】3.【解析】.【變式2-1】求下列各式的值；（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）=．（2）原式=因?yàn)?，所以，?dāng)，即時，當(dāng)，即時，,所以.【變式2-2】把代數(shù)式中的移到根號內(nèi)，那么這個代數(shù)式等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，，.故選：A.【變式2-3】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.題型三多重根式的化簡【例3】求值_______．【答案】4【解析】.【變式3-1】化簡________.【答案】6【解析】.【變式3-2】化簡（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】，故選：D．【變式3-3】化簡=_________.【答案】【解析】=因?yàn)?，所?所以原式題型四根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例4】下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對A：，故選項(xiàng)A錯誤；對B：，故選項(xiàng)B正確；對C：，不能化簡為，故選項(xiàng)C錯誤；對D：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D錯誤.故選：B.【變式4-1】化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故選：B.【變式4-2】已知，則化為（）A．B．C．mD．1【答案】C【解析】，，故選：C．【變式4-3】將下列各式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.題型五利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡【例5】已知，，且，則______．【答案】【解析】由題意，，所以.【變式5-1】計算：______．【答案】【解析】．【變式5-2】化簡（式中字母都是正數(shù)）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）【變式5-3】化簡或求值：（1）；（2）；（3）；（4）（且）.【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.題型六條件求值問題【例6】已知，則______．【答案】3【解析】由，可得，，．【變式6-1】已知＝5，則的值為_________．【答案】23【解析】因?yàn)椋?，所以.【變式6-2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）【解析】（1）將兩邊平方，得，所以．（2）將兩邊平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．【變