2022屆江蘇省七市南通泰州揚(yáng)州徐州淮安連云港宿遷高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆江蘇省七市（南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷）高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，B={1，2，3}，則（）∩B=（）A．{1} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}【答案】C【分析】先計(jì)算出，再計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)出，再按照復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求即可.【詳解】令，，.故選：A.3．已知，，，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律整理可得關(guān)于模長(zhǎng)和夾角余弦值的方程，代入模長(zhǎng)可求得，根據(jù)向量夾角所處范圍可求得夾角.【詳解】即又，又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用向量數(shù)量積求解向量夾角的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用數(shù)量積的運(yùn)算律將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角的運(yùn)算問(wèn)題.4．時(shí)鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開(kāi)放到閉合與體內(nèi)的一種時(shí)鐘酶有關(guān).研究表明，當(dāng)氣溫上升到20時(shí)，時(shí)鐘酶活躍起來(lái)，花朵開(kāi)始開(kāi)放；當(dāng)氣溫上升到28時(shí)，時(shí)鐘酶的活性減弱，花朵開(kāi)始閉合，且每天開(kāi)閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17時(shí)的氣溫T（單位：）與時(shí)間t（單位：）近似滿(mǎn)足關(guān)系式，則該景區(qū)這天時(shí)鐘花從開(kāi)始開(kāi)放到開(kāi)始閉合約經(jīng)歷（）A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6【答案】B【分析】由函數(shù)關(guān)系式分別計(jì)算出花開(kāi)放和閉合的時(shí)間，即可求出答案.【詳解】設(shè)時(shí)開(kāi)始開(kāi)放，時(shí)開(kāi)始閉合，則又，解得，，由得，.故選：B.5．設(shè)，若，則n=（）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，并結(jié)合求解即可.【詳解】解：展開(kāi)式第項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，解?故選：B.6．已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)可得d>0，由此即可判斷求解.【詳解】若，則，，，，則“”是“”的充要條件.故選：C.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1，0)，B(9，6)，動(dòng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上，BD⊥y軸，CE⊥y軸，CF⊥BD，垂足分別是D、E、F，OF與CE相交于點(diǎn)P.已知點(diǎn)Q在點(diǎn)P的軌跡上，且∠OAQ＝120°，則＝()A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】設(shè)P(x，y)，則C的縱坐標(biāo)為y，寫(xiě)出OB方程，根據(jù)C在OB上可求C的橫坐標(biāo)，F(xiàn)的橫坐標(biāo)和C相同，縱坐標(biāo)與B相同.由此可寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo).由可寫(xiě)出相似比，求得P的軌跡方程.根據(jù)幾何關(guān)系，求出Q的橫坐標(biāo)即可根據(jù)拋物線(xiàn)焦半徑公式求.【詳解】設(shè)，則，∵，，∴，∵FC∥y軸，∴，∴，∴，即，∴P的軌跡方程為：，0≤x≤9，故A(1，0)為該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).設(shè)，則，，解得，.故選：A.8．已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函數(shù)，則＝()A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)g(x＋1)得到g(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，得到，結(jié)合g(x)＝(x－1)和f(x)為偶函數(shù)即可得f(x)周期為4，故可求出f(2.5)＝2，則即可求值﹒【詳解】為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，即，即，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期為，∴，.故選：D.二、多選題9．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x0，若在這組數(shù)據(jù)中添加一個(gè)數(shù)據(jù)x0，得到一組新數(shù)據(jù)x0，x1，x2，…，xn，則（）A．這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B．這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．這兩組數(shù)據(jù)的極差相同【答案】AD【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可判斷A正確；舉例數(shù)據(jù)判斷B；根據(jù)方差的計(jì)算公式判斷C；分?jǐn)?shù)據(jù)相等和不相等兩種情況說(shuō)明判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，平均數(shù)不變，A對(duì).對(duì)于B選項(xiàng)，取一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)為7，平均數(shù)為，加上一個(gè)，中位數(shù)為，B錯(cuò).對(duì)于C選項(xiàng)，原來(lái)，后來(lái)，C錯(cuò).對(duì)于選項(xiàng)，數(shù)據(jù)不會(huì)相等時(shí)，既不是最大值也不是最小值，極差不變，數(shù)據(jù)會(huì)相等時(shí)，極差為0，加上，極差仍為0，極差不變，故D正確.故選：AD.10．若a＞b＞0＞c，則()A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用作差法可判斷AB，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷C，根據(jù)基本不等式可判斷D.【詳解】A：，∵，，，，故A正確；B：，∵，∴，，故B正確；C：時(shí)，在單調(diào)遞減，∵，故C錯(cuò)誤；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等號(hào)取不到，故，故D正確.故選：ABD.11．在正六棱錐中，已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則（）A．B．共有4條棱所在的直線(xiàn)與AB是異面直線(xiàn)C．該正六棱錐的內(nèi)切球的半徑為D．該正六棱錐的外接球的表面積為【答案】BCD【分析】設(shè)底面中心為，則平面，假設(shè)，則推出判斷A；根據(jù)異面直線(xiàn)的定義判斷B；根據(jù)等體積法求解內(nèi)切圓半徑判斷C；直接計(jì)算外接圓的半徑求解判斷D.【詳解】解：設(shè)底面中心為，則在正六棱錐中，平面，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則平面，則，即矛盾，錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，與異面，B正確.對(duì)于C，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，取中點(diǎn)，.故在中，，∴由等體積法得，解得故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)外接球半徑為，則，所以，D正確.故選：BCD.12．已知直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，與曲線(xiàn)相交于B，C兩點(diǎn)，A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，得到x1，x2，x3的范圍，由得出A正確，由得出B錯(cuò)誤，由得出C正確，由得出D正確.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.，則，A對(duì).在上單調(diào)遞增，，B錯(cuò).在單調(diào)遞減，，C對(duì).對(duì).故選：ACD.三、填空題13．若tanθ＝3sin2θ，θ為銳角，則cos2θ＝___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦二倍角公式即可求出，根據(jù)余弦二倍角公式即可求cos2θ.【詳解】tanθ＝3sin2θ，∵θ是銳角，∴sinθ≠0，∴，∴﹒故答案為：﹒14．設(shè)函數(shù)，若，則a＝___________.【答案】【分析】先求f(x)的值域，再由f(x)＝4求出x，再求a的值即可.【詳解】由題可知x＞0時(shí)，f(x)＜0；x≤0時(shí)，f(x)＝≥3.∴若f(x)＝4，則，解得x＝0或－2，若f(a)＝0(不可能，舍去)或f(a)＝－2，則.故答案為：ln2.15．已知雙曲線(xiàn)）的左?右焦點(diǎn)分別是是雙曲線(xiàn)右支上的兩點(diǎn)，.記的周長(zhǎng)分別為，若，則雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義爹【詳解】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，.所以，故雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)，因?yàn)?，所以在上，在上，即直線(xiàn)方程為：，所以雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為故答案為：四、雙空題16．某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱制作而成.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3cm，這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為_(kāi)__________，體積為_(kāi)__________cm3.【答案】

八

【分析】先判斷出公共部分是兩個(gè)底面重疊的正四棱錐，再計(jì)算體積即可.【詳解】公共部分是兩個(gè)正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，共八面.底面是為邊長(zhǎng)的正方形，，其中一個(gè)正四棱錐的高為.故答案為：八，.五、解答題17．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA＝2sinB.(1)若，求C；(2)點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝c，證明：CD平分∠ACB.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析﹒【分析】(1)根據(jù)正弦定理可知a＝2b，根據(jù)余弦定理可求cosC，由此即可求C；(2)由正弦定理證明sin∠BCD＝sin∠ACD即可.【詳解】(1)由，，∵C，∴；(2)設(shè)∠BCD＝α，∠ACD＝β，∵sinA＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b，在中，由正弦定理得，，①在中，由正弦定理得，，②，a＝2b，∴得，，∵0＜α、β＜，，即平分.18．如圖，在三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)取中點(diǎn)，連接證明⊥平面ABC即可；(2)由題可知二面角的正弦值與二面角正弦值相等.過(guò)作于點(diǎn)，連接，即為所求二面角的平面角，解三角形即可.【詳解】(1)取中點(diǎn)，連接則.，，∴△為等邊三角形，，∵，，，，平面，平面，∴平面平面.(2)由題可知二面角的正弦值與二面角正弦值相等.平面，過(guò)作于點(diǎn)，連接，即為所求二面角的平面角，∵，，.故二面角的正弦值為.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)選①證明見(jiàn)解析，；選②證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）選數(shù)列是等差數(shù)列：由題知，進(jìn)而，即數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；選數(shù)列是等比數(shù)列，結(jié)合得，即是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）得，再結(jié)合裂項(xiàng)求和法求解即可.【詳解】(1)解：若選數(shù)列是等差數(shù)列，∵①，∴②，∴②①得，即.且，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.若選數(shù)列是等比數(shù)列，∵①，∴②，∴②①得，即.∴，整理得∵，是等比數(shù)列且首項(xiàng)為公比為.，∴(2)解：∵，，∴，20．某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進(jìn)入復(fù)賽，敗者淘汰.比賽雙方首先進(jìn)行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局超快棋，超快棋只有勝與負(fù)兩種結(jié)果.在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，，快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨(dú)立.(1)求甲恰好經(jīng)過(guò)三局進(jìn)入復(fù)賽的概率；(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）前兩局和棋最后一局甲勝，按照乘法公式計(jì)算概率即可；（2）的所有可能取值為，依次計(jì)算出概率，列出分布列，再計(jì)算期望即可.【詳解】(1)前兩局和棋最后一局甲勝，.(2)的所有可能取值為，乙慢棋比賽勝概率，乙快棋比賽勝概率，乙超快棋比賽勝概率.，的分布列為1234.21．已知曲線(xiàn)由和兩部分組成，所在橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為與軸相交于點(diǎn)，四邊形的面積為.(1)求的值；(2)若直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，，點(diǎn)在上，求面積的最大值.【答案】(1)2；1；(2)2.【分析】(1)根據(jù)離心率和面積列出關(guān)于a、b、c的方程組，求解方程組即可；(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程和方程，求出，根據(jù)得到k和m的關(guān)系，求用基本不等式可求O到AB的最大距離，則P到AB最大距離為d＋1，據(jù)此即可求出△PAB面積的最大值；當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，求出△PAB的面積，與斜率存在時(shí)面積最大值比較即可.【詳解】(1)由題意知；(2)①當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，且，，計(jì)算可得，故原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)取等號(hào)，故原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為1，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，故，∴△PAB面積最大值2；②當(dāng)斜率不存在時(shí)，，此時(shí).綜上：面積的最大值為2.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線(xiàn)y=在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若>a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，從而可得切線(xiàn)方程.（2）當(dāng)時(shí)，可得得出其單調(diào)性，從而得出此時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，討論出其單調(diào)性，得出其符號(hào)，打開(kāi)絕對(duì)值，求出其最值，從而可得出答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)切線(xiàn)方程為，即.(2)①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增所以，