2022屆河南省頂級(jí)名校高三下學(xué)期階段性聯(lián)考三數(shù)學(xué)文試題解析版

2022屆河南省頂級(jí)名校高三下學(xué)期階段性聯(lián)考三數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.2．若復(fù)數(shù)滿足，，則的虛部為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】求出，化簡(jiǎn)，得到的虛部.【詳解】，∴虛部為故選：D3．已知l、m是兩條不同的直線，是平面，，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)空間中線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】依題意，l、m是兩條不同的直線，是平面，，，若，則與可以相交，也可以平行，故推不出；若，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.4．在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：C.5．若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)量積公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，即，，求得，所以向量與的夾角為.故選：B6．已知，，兩直線，，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)兩直線的方程得出，，由兩直線垂直的斜率關(guān)系，得出，再利用整體乘“1”法和基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】解：由題可知，，，，，則，，，則，即，，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9.故選：D.7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是B．是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是D．是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是【答案】C【分析】將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)型，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷；【詳解】解：將函數(shù)去掉絕對(duì)值得，畫出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故選：C8．我國(guó)古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”其含義是：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截去它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．在這個(gè)問題中，記第n天后剩余木棍的長(zhǎng)度為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得不等式成立的正整數(shù)n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】依題意可得：數(shù)列是首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列，即可得到通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：由題設(shè)可得：數(shù)列是首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列，∴，，又由可得：，解得：，∵，∴，故選：B．9．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求得，再求的遞增區(qū)間，對(duì)賦值，求得答案.【詳解】的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式為，又其圖象關(guān)系直線對(duì)稱，，得，又，得，得，令，得，，令，得，即函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于中檔題.10．如圖，底面為矩形的四棱錐，側(cè)棱底面，，.設(shè)該四棱錐的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將四棱錐外接球半徑的計(jì)算轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體外接球半徑的計(jì)算，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半即為半徑；內(nèi)切球的半徑可采用等體積法轉(zhuǎn)化，運(yùn)用公式求解.【詳解】因?yàn)槔忮F的側(cè)棱底面，且底面為正方形，所以該幾何體的外接球半徑等于長(zhǎng)、寬、高分別為，，的長(zhǎng)方體的外接球半徑，因?yàn)?，，所以外接球半徑：，解?，設(shè)內(nèi)切球球心為點(diǎn)，內(nèi)切球半徑為，則球心到每一個(gè)側(cè)面的距離都為，則有：，又，，所以,故,所以．故選：D．【點(diǎn)睛】對(duì)于一些常見幾何體的外接球半徑、內(nèi)切球半徑的結(jié)論如下：（1）長(zhǎng)、寬、高分別為，，的長(zhǎng)方體的外接球半徑為；（2）直棱柱的外接球半徑滿足：，其中為直棱柱的高，為底面圖形內(nèi)切圓的半徑.（3）棱錐的內(nèi)切球半徑滿足：，其中為該棱錐的體積，為該棱錐的表面積.11．若函數(shù)在上無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.12．已知拋物線的準(zhǔn)線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的方程設(shè)，則，，再由，可求得的值，即可得答案.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為．方程可化為．由題意，知圓心到準(zhǔn)線的距離，解得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)為．設(shè)，則，，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故選B．二、填空題13．已知，若向量與共線，則____________．【答案】【分析】首先根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，解得，所以，所?故答案為：14．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的極值點(diǎn)求解參數(shù)問題，其中解答中熟記函數(shù)的極值點(diǎn)的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.15．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足：

，則的面積為____________．【答案】【分析】先由及正弦定理求得，再由求得，由面積公式求解即可.【詳解】由及正弦定理得即，又，即，又，故即．由正弦定理及，得故故答案為：.16．如圖，是正方體的棱上的一點(diǎn)，且平面，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，則為直線與所成的角，在中，，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.三、解答題17．如圖，四棱錐中，平面，，，，為上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出，利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）平面，平面，，在直角梯形中，，，，，所以，為等腰直角三角形，且，，，在中，，，，由余弦定理可得，，則，，平面，平面，平面平面；（2），由（1）可知平面，所以三棱錐的高為，平面，、平面，，，，，，，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時(shí)，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.18．已知等差數(shù)列中，公差，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量和，列出方程，即可解得和的值，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和的方式得到，然后根據(jù)不等式成立，分參后求最值，即可求解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，由題意可得即又因?yàn)?，所以故?2)∵，∴．因?yàn)榇嬖?，使得成立．即存在，使得成立．即存在，使得成立．（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．隨著全民運(yùn)動(dòng)健康意識(shí)的提高，馬拉松運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加，為此某市對(duì)人們參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取人，對(duì)其每周參與馬拉松長(zhǎng)跑訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不大于天天或天不少于天人數(shù)若某人平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不少于天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”（1）經(jīng)調(diào)查，該市約有萬人參與馬拉松運(yùn)動(dòng)，估計(jì)其中“熱烈參與者”的人數(shù)；（2）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？熱烈參與者非熱烈參與者合計(jì)男140女55合計(jì)附：（n為樣本容量）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）人；（2）列聯(lián)表見解析；能.【分析】（1）先求出樣本中熱烈參與者的頻率再乘以即可求解；（2）根據(jù)已知條件補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算的值，與臨界值比較即可判斷.【詳解】（1）樣本中熱烈參與者的頻率為，所以該市萬人參與馬拉松運(yùn)動(dòng)，熱烈參與者的人數(shù)人，所以“熱烈參與者”的人數(shù)為人（2）根據(jù)已知條件可知參與馬拉松運(yùn)到的女性有人，所以女性中熱烈參與者有人，男性中熱烈參與者有人，進(jìn)而可得列聯(lián)表如下：熱烈參與者非熱烈參與者合計(jì)男女合計(jì)所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān).20．已知點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比為．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若是軌跡與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由橢圓的第二定義建立方程化簡(jiǎn)即可；（2）先設(shè)出直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立得到兩根之和與兩根之積，然后直線與直線的斜率之和用兩根之和與兩根之積表示出代，再代入計(jì)算化簡(jiǎn)可得定值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得．化簡(jiǎn)整理可得,所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）由（1）可得，A(-3,0),過點(diǎn)D的直線斜率存在且不為0，故可設(shè)l的方程為，，由得，，，而由于直線過點(diǎn)，所以，所以（即為定值）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是直線與橢圓聯(lián)立，二是準(zhǔn)確的運(yùn)算.21．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線為，求；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)處的切線為，由求得m，再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入切線方程求解；（2）將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.【詳解】（1）∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，∴由題意可得，即．則，點(diǎn)坐標(biāo)為∵點(diǎn)在直線上∴故（2）當(dāng)時(shí)，∵關(guān)于的不等式在上恒成立，∴，在上恒成立，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，則，即，∴當(dāng)時(shí)，，則在遞增，所以，則．【點(diǎn)睛】若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)時(shí)，求出的普通方程，并說明該曲線的圖形形狀；（2）當(dāng)時(shí)，P是曲線上一點(diǎn)，Q是曲線上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）該曲線是以A(2，0)，B(0，1)為端點(diǎn)的線段；（2）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，消去參數(shù)，可直接得出的普通方程；從而可確定該曲線的圖形形狀；（2）當(dāng)時(shí)，先得曲線的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)；再將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），其中，，消得，即該曲線是以A(2，0)，B(0，1)為端點(diǎn)的線段；（2）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，因?yàn)镻是曲線上一點(diǎn)，所以可設(shè)，又由化為直角坐標(biāo)方程可得：，即表示直線；因?yàn)镼是曲線上一點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用參數(shù)的方法求解曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)距離的最值問題時(shí)，一般根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最值.23．已知函數(shù)，．（1）解不等式：；（2）記的最小值為，若實(shí)數(shù)滿足，試證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，分，，三種情況，求解不等式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，確定的最小值，得到，再由展開后利用基本不等式即可求出最小值，從而可得結(jié)