2021-2022學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列之第二單元圓錐的體積問題提高部分解析版

2021-2022學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列之第二單元圓錐的體積問題提高部分（解析版）編者的話：《2021-2022學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。專項練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第二單元圓錐的體積問題提高部分。本部分內(nèi)容主要選取圓錐體積?？嫉妮^難題型，內(nèi)容相對困難，考點眾多，共劃分為十三個考點，建議作為本章核心內(nèi)容選擇性進(jìn)行講解，歡迎使用。【考點一】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法。【方法點撥】直角三角形與圓錐之間的聯(lián)系沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}1】以下圖直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個什么圖形?所得的圖形的底面直徑和高各是多少厘米?解析：（1）以6cm長的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，得到一個直徑為16cm，高為6cm的圓錐。（2）以8cm長的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，得到一個直徑為12cm，高為8cm的圓錐?！镜湫屠}2】下圖是一個直角三角形，如果以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是多少立方厘米？解析：3.14×2×2×3÷3＝12.56×3÷3＝12.56（立方厘米）【對應(yīng)練習(xí)1】一個等腰直角三角形的直角邊為6cm，以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的高、底面直徑和體積分別是()cm、()cm、()立方厘米。解析：據(jù)分析知，高是6厘米底面直徑：6×2＝12（厘米）體積：（3.14×6×6）×6÷3＝113.04×6＝678.24÷3＝226.08（立方厘米）【對應(yīng)練習(xí)2】一塊直角三角形硬紙板（如圖），兩條直角邊AB與BC的長度比是3∶2，AB長9cm。如果以其中一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么形成的圓錐體積最大是()立方厘米。解析：2×9÷3＝6（厘米）3.14×92×6÷3＝3.14×81×6÷3＝508.68（立方厘米）所以，形成的圓錐體積最大是508.68立方厘米。【對應(yīng)練習(xí)3】下圖是一個直角三角形，如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是()立方厘米。解析：×3.14×32×2＝9.42×2＝18.84（立方厘米）【考點二】圓錐的切面積問題一?！痉椒c撥】將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個這樣的切面。【典型例題】一個圓錐的底面半徑2厘米，高是7厘米，沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每個切面的面積是多少平方厘米?解析：沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是直徑，高是圓錐的高，也就是說底是4厘米，高是7厘米，所以每個切面的面積是14平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)1】將一個底面直徑18厘米，高是8厘米的圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩個木塊后，表面積比原來增加了多少平方厘米?解析：將圓錐切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是直徑，高是圓錐的高，也就是說底是18厘米，高是8厘米，所以每個切面的面積是72平方厘米，而現(xiàn)在的表面積比原來增加了2個切面，所以增加了144平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】一個圓錐的底面直徑是24厘米，高12厘米。將這個圓錐沿著高切成大小相同的兩半，表面積增加()平方厘米。解析：24×12÷2×2＝144×2＝288（平方厘米）【對應(yīng)練習(xí)3】一個底面直徑是12厘米的圓錐，從頂點沿高將它切成兩半后，表面積增加了96平方厘米，這個圓錐的高是()厘米。解析：96÷2×2÷12＝8（厘米）【考點三】圓錐的切面積問題二。【方法點撥】將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個這樣的切面?！镜湫屠}】把一個底面直徑是10cm的圓錐沿著高切開后，表面積增加了60cm2，這個圓錐的體積是多少cm3？解析：60÷2×2÷10＝6（厘米）3.14×（10÷2）2×6÷3＝3.14×25×2＝157（立方厘米）【對應(yīng)練習(xí)1】把一個高15厘米的圓錐，沿著底面直徑垂直切開，將圓錐平均分為兩份，跟原來比表面積增加了300平方厘米，求這個圓錐的體積是多少？解析：一個三角形的面積：300÷2＝150（平方厘米）圓錐的底面直徑：150×2÷15＝20（厘米）×3.14×（20÷2）2×15＝314×5＝1570（立方厘米）答：這個圓錐的體積是1570立方厘米。【對應(yīng)練習(xí)2】將一個圓錐沿著高垂直于底面切成兩半，表面積比原來增加了108cm2。若圓錐的高為18cm，這個圓錐的體積是多少立方厘米？解析：圓錐的底面直徑：108÷2×2÷18＝6（cm）圓錐的底面半徑：6÷2＝3（cm）圓錐的體積：3.14×32×18×＝3.14×54＝169.56（cm3）

答：這個圓錐的體積是169.56立方厘米。【考點四】比在圓錐體積中的應(yīng)用。【方法點撥】1.圓錐的底面積相等時，高的比就是體積的比。2.圓錐的高相等時，底面積的比就是體積的比。3.圓錐和圓柱如果底面積和高均相等，那么圓錐和圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】（1）兩個圓錐的底面積相等，高比是1∶2，體積比（）。（2）兩個圓錐的高相等，底面積比是2∶3，體積比是（）。（3）兩個圓錐高的比是3∶4，半徑比是1∶3，則體積比是多少?解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12【對應(yīng)練習(xí)1】有一塊體積為60的圓柱形橡皮泥，如果把這塊橡皮泥重新捏成底面積和高均和圓柱相等的圓錐，問剩余的橡皮泥體積是多少?解析：40【對應(yīng)練習(xí)2】一塊圓柱形橡皮泥，高是2。把這塊橡皮泥重新捍成一個圓錐（沒有剩余），已知圓錐的底面積和圓柱相等，求圓錐的高。解析：6【對應(yīng)練習(xí)3】已知兩個圓錐的底面半徑比是2∶3，高的比是2∶3，則兩個圓錐的體積比是多少？解析：8:27【對應(yīng)練習(xí)4】如果兩個圓錐的底面半徑比為1∶2，高的比是2∶1，它們的體積比是多少？解析：1:2【對應(yīng)練習(xí)5】一個圓柱和一個圓錐的體積和高分別相等，已知圓柱的底面積是6平方厘米，則圓錐的底面積是（）平方厘米。解析：18【對應(yīng)練習(xí)6】一個圓柱和圓錐，圓柱的高是圓錐的，圓柱和圓錐底面積的比是5∶4。圓柱和圓錐體積的比是多少？解析：5:2【考點五】等積轉(zhuǎn)化問題一：圓柱與圓錐的等積轉(zhuǎn)化。【方法點撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐的體積關(guān)系是：圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的。【典型例題】一塊圓柱形橡皮泥，體積是200，把這塊橡皮泥重新捏成一個圓錐，已知圓錐的底面半徑是10，求圓錐的高。（π取3）解析：2【對應(yīng)練習(xí)1】把一個體積是800的圓柱體鐵塊，熔鑄成一個底面積是600的圓錐體，這個圓錐體的高是多少?（π取3）解析：4【對應(yīng)練習(xí)2】一個圓柱的底面半徑是6厘米，體積是1130.4立方厘米，一個圓錐與它的體積相等，底面積也相等。這個圓錐高是多少厘米？解析：30厘米?！緦?yīng)練習(xí)3】一個圓錐形谷堆，繞著谷堆的外圍走一圈是25.12米，高3米。如果把這些稻谷裝進(jìn)一個底面直徑為40米的圓柱形容器中，稻谷高多少米？解析：25.12÷3.14÷2＝4（米）×3.14×42×3＝50.24（立方米）3.14×（40÷2）2＝3.14×400＝1256（平方米）50.24÷1256＝0.04（米）答：稻谷高0.04米。【對應(yīng)練習(xí)4】一個圓柱體和一個圓錐體等底等高，它們的體積相差50.24立方厘米。如果圓錐體的底面半徑是2厘米，這個圓錐體的高是多少厘米？解析：圓錐體積：50.24÷（3﹣1）＝50.24÷2＝25.12（立方厘米）高：25.12×3÷（3.14×22）＝75.36÷12.56＝6（厘米）答：圓錐的高是6厘米?！緦?yīng)練習(xí)5】一個圓柱和與它等底等高的圓錐的體積之和是24平方分米。圓柱和圓錐的體積分別是多少？解析：圓錐的體積：24÷（1＋3）＝24÷4＝6（立方分米）圓柱的體積：6×3＝18（立方分米）答：圓柱的體積是18立方分米，圓錐的體積是6立方分米。【考點六】等積轉(zhuǎn)化問題二：正方體與圓錐的等積轉(zhuǎn)化。【方法點撥】等積轉(zhuǎn)化問題，利用體積不變原理，根據(jù)相應(yīng)公式來求問題。【典型例題】一個棱長是4dm的正方體容器裝滿水后，倒入一個底面積是12dm2的圓錐形容器里，正好裝滿，這個圓錐的高是多少dm？解析：4×4×4×3÷12=16（dm）【對應(yīng)練習(xí)1】將一個棱長為5分米的正方體鐵塊熔鑄成底面積是60平方分米的圓錐，這個圓錐的高是多少分米？解析：5×5×5×3÷60=6.25（分米）【對應(yīng)練習(xí)2】一個正方體的體積是216立方厘米，和它底面積相等，高也相等的圓錐的體積是多少立方厘米？解析：216×＝72（立方厘米）答：圓錐的體積是72立方厘米。【對應(yīng)練習(xí)3】一個正方體鐵塊的棱長為4厘米。如果把它熔鑄成底面直徑是6厘米的圓錐，這個圓錐的高約是多少厘米？（結(jié)果保留整數(shù)，π取3.14）解析：6÷2＝3（厘米）4×4×4÷÷（3.14×32）＝64×3÷（3.14×9）＝192÷28.26≈7（厘米）答：這個圓錐的高約是7厘米。【考點七】等積轉(zhuǎn)化問題三：長方體與圓錐的等積轉(zhuǎn)化。【方法點撥】等積轉(zhuǎn)化問題，利用體積不變原理，根據(jù)相應(yīng)公式來求問題?！镜湫屠}】一個圓錐形砂堆，底面面積是12.56平方米，高是3米，用這堆砂在10米寬的公路上鋪20厘米厚的路面，能鋪多少米？解析：20厘米＝0.2米12.56×3×＝12.56÷2＝6.28（米）答：能鋪6.28米。【對應(yīng)練習(xí)1】一輛貨車車廂是一個長方體，車廂里面量得長是4米，寬是1.5米，高是4米，裝滿一車沙，卸完沙后，堆成一個高是2米的圓錐形，圓錐底面積是多少平方米？解析：4×1.5×4×3÷2＝6×4×3÷2＝24×3÷2＝72÷2＝36（平方米）答：圓錐底面積是36平方米?！緦?yīng)練習(xí)2】一個圓錐形沙堆，底面積是平方米，高是米。把這堆沙均勻地鋪在一個面積平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？解析：×10×1.2÷20＝×12÷20＝4÷20＝0.2（米）＝20（厘米）答：沙坑里的沙厚20厘米。【對應(yīng)練習(xí)3】一個圓錐形沙堆，底面直徑是8米，高1.2米，把這些沙子鋪在一條長31.4米、寬8米的道路上，能鋪多厚？解析：（m）答：能鋪0.8米厚。【考點八】求組合立體圖形的體積。【方法點撥】組合圖形的體積等于各規(guī)則立體圖形的體積之和。【典型例題】測量一個糧倉，從里面量得的數(shù)據(jù)如圖所示，如果每立方米的糧食約重800干克，這個糧倉能裝糧食多少干克？（π取3.14）解析：6280千克。【對應(yīng)練習(xí)1】計算下面立體圖形的體積。解析：169.56立方厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】下圖的蒙古包是由一個圓柱和一個圓錐組成的。這個蒙古包所占的空間是多少立方米？解析:3.14×（12÷2）2×2＋3.14×（12÷2）2×1×＝226.08＋37.68＝263.76（立方米）答：這個蒙古包所占的空間是263.76立方米?！緦?yīng)練習(xí)3】一個陀螺，上部是圓柱形，下部是圓錐形，如下圖。這個陀螺的體積是多少立方厘米？解析：10÷2＝5（厘米）3.14×52×8＋3.14×52×（11－8）÷3＝628＋78.5×3÷3＝628＋78.5＝706.5（立方厘米）答：這個陀螺的體積是706.5立方厘米?！緦?yīng)練習(xí)4】一種兒童玩具——陀螺（如下圖）。上面是圓柱體，下面是圓錐體，經(jīng)過測試，當(dāng)圓柱直徑4厘米，高6厘米，圓錐的高是圓柱高的時，陀螺旋轉(zhuǎn)得又快又穩(wěn)，求這時陀螺的體積是多少立方厘米？解析：6×＝（厘米）3.14×（4÷2）2×6＋3.14×（4÷2）2×÷3＝3.14×4×6＋3.14×4×＝75.36＋18.84＝94.2（立方厘米）答：這時陀螺的體積是94.2立方厘米。【考點九】排水法在圓錐體積中的應(yīng)用一：求圓錐的高。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】有一個底面直徑是20cm的圓柱形容器，容器內(nèi)盛了一些水。把一個底面周長是18.84cm的圓錐放入容器內(nèi)，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，這個圓錐的高是多少cm？解析：圓錐底面半徑：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）圓錐底面積：3.14×32＝28.26（平方厘米）圓錐高：3.14×（20÷2）2×0.6×3÷28.26＝3.14×100×0.6×3÷28.26＝565.2÷28.26＝20（厘米）答：這個圓錐的高是20厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】有一個長方體水箱，底面是邊長為4分米的正方形，水箱內(nèi)原有3.5分米深的水。現(xiàn)在把一個底面積為8平方分米的圓錐形銅塊完全浸沒在水中，這時水面升高了0.5分米，求這個圓錐形銅塊的高。解析：4×4×0.5×3÷8＝16×0.5×3÷8＝8×3÷8＝24÷8＝3（分米）答：這個圓錐形銅塊的高是3分米?！緦?yīng)練習(xí)3】一個底面半徑為9厘米的圓柱形水桶里裝有水，水中放著一個底面周長為37.68厘米的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中，取出鉛錘后水桶中水面下降2厘米，圓錐形鉛錘的高是多少厘米？解析：37.68÷3.14÷2＝6（厘米）3.14×92×2÷÷（3.14×62）＝＝13.5（厘米）答：圓錐形鉛錘的高是13.5厘米。【考點十】排水法在圓錐體積中的應(yīng)用二：求水面下降高度。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】一個底面直徑是20厘米的圓柱形玻璃杯中裝有水，水里放著一個底面直徑是6厘米、高是20厘米的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘取出時，杯里的水面會下降多少厘米？解析：3.14×（6÷2）2×20÷3＝3.14×9×20÷3＝188.4（立方厘米）188.4÷[3.14×（20÷2）2]＝188.4÷[3.14×100]＝188.4÷314＝0.6（厘米）答：杯里的水面會下降0.6厘米。【對應(yīng)練習(xí)1】一個底面半徑是12厘米的圓柱形玻璃缸中裝有水，里面放有一個底面半徑是6厘米、高是18厘米的圓錐形鐵塊，全部被水淹沒，當(dāng)把鐵塊從水中取出后，水面會下降多少厘米？解析：3.14×62×18×÷（3.14×122）＝678.24÷452.16＝1.5（厘米）答：水面會下降1.5厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】在一個底面周長是125.6厘米，水面高度為30厘米的圓柱形水桶里，完全浸沒著一個圓錐形零件，零件底面半徑是10cm，高是6cm，當(dāng)把這個零件從水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？解析：答：把這個零件從水桶里取出后，桶里的水面下降了0.5厘米?！緦?yīng)練習(xí)3】一個底面直徑是20厘米的圓柱形杯中裝有水，水里浸沒一個底面直徑是10厘米，高是18厘米的圓錐體鐵塊，當(dāng)鐵塊從杯中取出時，杯里的水面會下降多少厘米？解析：×3.14××18÷[3.14×]＝×3.14×25×18÷[3.14×100]＝3.14×25×6÷314＝1.5（厘米）答：杯里的水面會下降1.5厘米。【考點十一】排水法在圓錐體積中的應(yīng)用三：溢水問題。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】一個裝滿水的無蓋長方體容器（如下圖），如果在容器中放入一個底面半徑，高是的實心鐵圓錐（完全浸沒），會溢出多少毫升的水？解析：（立方厘米）157立方厘米＝157毫升答：會溢出157毫升的水?！緦?yīng)練習(xí)1】把一個底面半徑是4厘米，高是6厘米的鐵制圓錐體放入盛滿水的桶里，將有多少立方厘米的水溢出？解析：×3.14×42×6＝×3.14×16×6＝100.48（立方厘米）答：將有100.48立方厘米的水溢出?！緦?yīng)練習(xí)2】有一個底面半徑為8cm的圓柱形玻璃容器，水深6cm。把一塊底面半徑是6cm、高是10cm的圓錐形鐵塊放入水中，水會溢出45mL，那么這個玻璃容器有多高？（得數(shù)保留整數(shù)）解析：圓錐形鐵塊的體積：×3.14×62×10＝376.8（cm3）水的體積：3.14×82×6＝1205.76（cm3）45mL＝45cm376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm3）玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×82）≈8（cm）答：這個玻璃容器的高約8cm。【考點十二】求正方體削成最大圓錐的體積。【方法點撥】將正方體削成一個最大的圓錐，正方體的棱長分別是圓錐的底面直徑和高?！镜湫屠}】把一個正方體木塊加