高中數(shù)學-分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學設計學情分析教材分析課后反思

§1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計

數(shù)原理

一、內容與解析

(-)內容：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理。

(二)解析：本節(jié)課要學的內容分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理指的是分類加法計

數(shù)原理的定義、分步乘法計數(shù)原理的定義、兩個原理應用，其核心是兩個計數(shù)原理，

理解它關鍵就是要體會兩個計數(shù)原理的基本思想及其應用方法。學生已經(jīng)學過加法、

乘法，本節(jié)課的內容要與之建立相關聯(lián)系。由于它們不僅是推導排列數(shù)、組合數(shù)計

算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法貫穿本章內容的始終,所以在本章有重要的地位,

是本學科的重要內容。教學的重點是兩個計數(shù)原理，解決重點的關鍵是結合實例闡

述兩個計數(shù)原理的基本內容，分析原理的條件和結論，特別是要注意使用對比的方

法，引導學生認識它們的異同。

二、目標及其解析：

(一)教學目標

(1)理解分類加法計數(shù)原理；

(2)理解分步乘法計數(shù)原理；

(3)會應用兩個計數(shù)原理解決簡單的實際問題.

(-)解析

(1)理解分類加法計數(shù)原理就是指將一個復雜問題分解為若干“類別”，然后分類

解決，各個擊破；

(2)理解分步乘法計數(shù)原理就是指將一個復雜問題分解為若干“步驟”，先對每一

個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程；

(3)會應用兩個計數(shù)原理解決簡單的實際問題就是指根據(jù)具體問題的特征選擇對

應的原理。

三、問題診斷分析

在本節(jié)課的教學中，學生可能遇到的問題是如何選擇對應的原理解決具體問題，產(chǎn)生這

一問題的原因是學生無法把具體的問題特征與兩個計數(shù)的基本思想聯(lián)系起來。要解決這一問

題，在本節(jié)教學時先采取通過典型的、學生熟悉的實例，經(jīng)過抽象概括而得出兩個計數(shù)原理，

然后按照從單一至綜合的方式，安排比較多的例題，引導學生逐步體會兩個計數(shù)原理的基本

思想及其應用方法.

四、教學支持條件分析

五、教學過程

一）引入課題

先看下面的問題：

①從我們班上推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？

②把我們的同學排成一排，共有多少種不同的排法？

要解決這些問題，就要運用有關排列、組合知識.排列組合是一種重要的數(shù)學計數(shù)方法.

總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.

設計意圖:在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)

原理.這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來學習這兩個原理.

問題L分類加法計數(shù)原理

師生活動：

問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出

多少種不同的號碼？

問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2

班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

問題L3：你能說說以上兩個問題的特征嗎？

結論:分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方

法，在第2類方案中有幾種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.

問題1.4：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有犯種不同的方法，在第2

類方案中有機2種不同的方法，在第3類方案中有〃％種不同的方法，那么完成這件事共有多

少種不同的方法？

問題1.5：如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應當

如何計數(shù)呢？

一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有町種不同的方法，在第2類辦法中有機2種

不同的方法……在第n類辦法中有加”種不同的方法.那么完成這件事共有

N=+m2H-------\-mn

種不同的方法.

理解分類加法計數(shù)原理：

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立,

各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事

問題2.分步乘法計數(shù)原理

師生活動：

問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯數(shù)字，以4,42,…，用，斗，…的

方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

用列舉法可以列出所有可能的號碼：

分析：

我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個

組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54個不同的號碼.

問題2.2：你能說說這個問題的特征嗎？

結論：分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同

的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=mxn

種不同的方法.

問題2.3：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有加2種

不同的方法，做第3步有〃％種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

問題2.4：如果完成一件事情需要個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如

何計數(shù)呢？

一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有〃種

不同的方法……做第n步有團”種不同的方法.那么完成這件事共有

N-叫xm2x…x根“

種不同的方法.

理解分步乘法計數(shù)原理：

分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成

任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.

問題2.5：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點？

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方

法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成

這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干

步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，

才算完成這件事，是合作完成.

例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強

項專業(yè)，具體情況如下：

A大學B大學

生物學數(shù)學

化學會計學

醫(yī)學信息技術學

物理學法學

工程學

如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

分析：由于這名同學在A,B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于

兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學可以選擇

A,B兩所大學中的一所.在A大學中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學中有4種專業(yè)選

擇方法.又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同

學可能的專業(yè)選擇共有

5+4=9（種）.

變式：若還有C大學，其中強項專業(yè)為：新聞學、金融學、人力資源學.那么，這名同學可

能的專業(yè)選擇共有多少種？.

例2.一螞蟻沿著長方體的棱，從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少

條？

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,

所以，

第一類，ml=1X2=2條

第二類，m2=1X2=2條

第三類，m3=1X2=2條

所以，根據(jù)加法原理，從頂點A到頂點C1最近路線共將N=2+2+2=6條

例3,設某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,

共有多少種不同的選法？

分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟.第1步選男生.第2步選女生.

解.：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有

30X24=720

種不同的選法.

例4.如圖，要給地圖A、B、C、口四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種

顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

解：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成，

第一步，ml=3種，

第二步，m2=2種，

第三步，m3=1種，

第四步，m4=1種，

所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3X2X1X1=6

變式

1,如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色

使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

2若顏色是2種，4種，5種又會什么樣的結果呢？

六、小結

1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不

同的方法，在第2類方案中有幾種不同的方法.那么完成這件事共有

N=根+〃

種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機種不同的方

法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=mxn

種不同的方法.

七、目標檢測

1.填空：

(1)一件工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會

用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是一；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B的路

線有一條.

2.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.(1)從

中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去C村，不同(2)從3個

年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

【學情分析】

本節(jié)課的授課對象是高二年級學生。學生的數(shù)學有了很深的基礎，學習數(shù)學的興趣較濃。

經(jīng)歷了合情推理和概率的相關知識，對計數(shù)方法有了一定的了解和認識。

在講授新課時，通過一些經(jīng)典的實例，讓學生歸納總結分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)

原理就順利成章了。學習過程中，通過對題目有梯度的設計使得學生逐步加深對兩種計數(shù)原

理的理解和區(qū)分，并能利用兩種計數(shù)原理處理一些簡單的實際問題。

【效果分析】

良好的課堂教學效果是教師進行課堂教學的最終目的。本節(jié)課一-“太平天國運動”的

課堂教學效果如何呢？是否達到課前教學設計的預期目標呢?學生通過本節(jié)課的學習是否理

解了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理呢？

【新課引入】環(huán)節(jié)通過2018年世界杯的問題成功吸引了學生的興趣，這是本節(jié)課成功

的第一步，也是我引以為傲的地方?！拘轮骄俊客ㄟ^幾個經(jīng)典的實例，采用了學校三九模

式，自主學習，成功的總結了兩個計數(shù)原理的概念，并初步了解?！镜淅治觥客ㄟ^幾個例

題的梯度設計，讓學生加深了對概念的理解又能區(qū)分兩種計數(shù)原理的不同。

本節(jié)課環(huán)節(jié)完整，設計巧妙細致，達到了原定的效果。

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教材分析

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理”（以下簡稱“兩個計數(shù)原理”）是人教A版高中

數(shù)學課標教材選修2-3"第一章計數(shù)原理”第1.I節(jié)的內容，教學需要安排4個課時，木節(jié)

課為第1課時.

兩個計數(shù)原理是人類在大量的實踐經(jīng)驗的基礎上歸納出的基本規(guī)律，是解決計數(shù)問題的

最基本、最重要的方法，它們不僅是推導排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想

方法也貫穿在解決本章應用問題的始終，在本章中是奠基性的知識.由于排列、組合及二項

式定理的研究都是作為兩個計數(shù)原理的典型應用而設置的，因此，理解和掌握兩個計數(shù)原理,

是學好本章內容的關鍵。

從認知基礎的角度看，兩個計數(shù)原理實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法

運算的拓展應用，是體現(xiàn)加法與乘法運算相互轉化的典型例證.

從思想方法的角度看，運用分類加法計數(shù)原理解決問題是將一個復雜的計數(shù)問題分解為

若干“類別”，再分類解決；運用分步乘法計數(shù)原理解決問題則是將一個復雜的計數(shù)問題分

解為若干“步驟”，先對每個步驟分類處理，再分步完成.綜合運用兩個計數(shù)原理就是將綜

合問題分解為多個單一問題，再對每個單一問題各個擊破.也就是說，兩個計數(shù)原理的靈魂

是化歸與轉化的思想、分類與整合的思想和特殊與一般的思想的具體化身.

從數(shù)學本質的角度看，以退為進，以簡馭繁，化難為易，化繁為簡，是理解和掌握兩個

計數(shù)原理的關鍵，運用兩個計數(shù)原理是知識轉化為能力的催化劑.

1.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

新知引入

思考？

問題1、用一個大寫的的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多

少種不同的號碼？

問題2.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,

汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走

法？

一、分類加法計數(shù)原理

完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有g種不同的方法，在第2類方法中有m2種不

同的方法......在第n類方法中有批種不同的方法，則完成這件事共有

典型例題

例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩所大學各有一些自己感興趣的

強項專業(yè)，具體情況如下：

A大學：生物學、化學、醫(yī)學、物理學、T程學、

B大學：數(shù)學、會計學、信息技術學、法學

如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

變式1：若還有C大學，其中強項專業(yè)為：新聞學、金融學、人力資源學.那么，這名

同學可能的專業(yè)選擇共有種；

變式2：若還有C大學，其中強項專業(yè)為：數(shù)學、新聞學、金融學、人力資源學.那么，

這名同學可能的專業(yè)選擇共有種.

思考？

問題3.用前6個大寫英文字母和1?9九個阿拉伯數(shù)字，以Al,A2,???,Bl,B2,…的方式

給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

問題4.如圖，由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去

C村，共有多少種不同的走法？

二、分步乘法計數(shù)原理

完成一件事，需要分成n個步驟.做第1步有孫種不同的方法，做第2步有mz種不同的

方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有

典型例題

例2、設某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,

共有多少種不同的選法？

例3、滕州市的部分電話號碼是063255Xxxxx,后面每個數(shù)字來自0?9這10個數(shù)，問可以產(chǎn)

生多少個不同的電話號碼？

例4、書架上第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2

本不同的體育雜志.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

⑵從書架的第1、2、3層各取I本書，有多少種不同取法？

例5、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共

有多少種不同的掛法？

鞏固練習:

1、在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？

2、8本不問的書，任選3本分給3個同學，每人1本，有多少種不同的分法？

3、將4封信投入3個不同的郵筒，有多少種不同的投法？

4、已知?！陒3,4,6},be{1,2,7,8）,r6（8,9）

則方程（%—4）2+（'—6）2=-2可表示不同的圓的個數(shù)