2022新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第10章三角恒等變換 課時練習(xí)題及章末綜合檢測含答案解析

第10章三角恒等變換

10.1兩角和與差的三角函數(shù).....................................................1

10.1.1兩角和與差的余弦.................................................1

10.1.2兩角和與差的正弦.................................................7

10.1.3兩角和與差的正切................................................12

10.2二倍角的三角函數(shù)........................................................17

10.3幾個三角恒等式..........................................................24

第10章測評...................................................................29

10.1兩角和與差的三角函數(shù)

10.1.1兩角和與差的余弦

1.(2021黑龍江哈爾濱香坊高一期末)化簡cos160?cos44°?cos74°sin44°的值為

()

A.—B.~C.-D.--

2222

|解析卜os16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin

44°=cos（16°+44°）=cos60°故選C.

2.計算迷辿的值是（）

sina-cosa

A.V2B.-V2C.yD*

2

nr-qcos（7+a）cosycosa-sinysina

解析.I"）=—」----—

-----^ina-cosasina-cosa

sina-cosa）J2

卓1

sina-cosa2"

3.已知sina=|,a^（0,?廁以“件+口）等于（

）

AA.——4金C考D.更

5io

答案B

廨析|由題意可知cosa=-,cos+a）=cos12兀二+a）=cos）=cosacos-+sinasin-=

1--------1544444

4無3互_7在

―X------1—X———.

525210

4.（2021重慶高一期末）若a￡（0,兀），且cos（a+?4則cosa等于（）

A「-1-2巡

A.-1-2-V-6B.----

66

C1+24D-1+2歷

6,6

踴c

I解析I因為a￡（0,兀）且cosQ+pW，

?5J

所以sin（a+三）=Zig

33

J）n]11,2V2V31+2V6

cosa=cosLva+-7—J=-x-H----x—=-----.

3332326

5.已知cos（a+￡）=g,cos（a/）=-*^Jcosacosp=.

I解析I由已知得cosacos夕-sinasin/?=pcosacos/?+sinasin夕=-3,兩式相加，得2cosacos

￡二0,故cosacos6=0.

6.若cos6二-募,（爪,羅）,貝1」cos（6+?）=.

I解析IVcos夕二卷，￡（n,y）,:.sin^=~.

cosf0+=cos^cos--sin0sin-

\4/44

12V2.5V27V2

=—X-----1-----X-=-.

13213226

7.（2021山東威海高一期末）已知cos（a/）二卷cos（a+Q）=且（1,兀）/+夕￡（當(dāng)2兀）,

求角￡的值.

闡由a-陣(;兀),且cos(a-￡)=-絲，得sin(a/)=2.由a+歸包,2兀),且cos?+少戶二得

21313213

sin(a+/?)=-A/.cos2^=cos[(?+^)-(?-/?)]

=cos(a+6)cus(a-0)+sin(cc+0sin(a/)

=l￡x(-^)+(.±)x-5-=-i

13131313?

又a+g佟,2北)以/￡(今兀)，

???2￡￡?浮).???2介私則

8.(2021河南洛陽高一期末)已知sina-sinfi=\-^-,cosa-cos夕，則cos(a/)的值為()

A.-B.—C.-D.l

224

^M|B

I解析I因為sina-sin0=\當(dāng),

所以sin2a-2sinasin￡+sin2sq—V5.①

又因為cosa-cos夕W，

所以cos2a-2cosacos夕+cos%=*②

所以①+②得2cos(a/)=F.

所以cos(a/)二序故選B.

9.(2021四川成都高一期末)已知cos(》」)=-￡則cosx+cosQq)等于()

633

A.-—B.±—C.-lD.±l

33

踴c

I解析|因為COsQ-?=-y,

所以cosx+cos(x--)=cosx+Losx+—sinx

322

V5COSQE)=?1.故選c.

6

（2020云南玉溪一中高一檢測）《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直

角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為

且小正方形與大正方形面積之比為4:9,則cos（a/）的值為（）

■A

庭明設(shè)大的正方形的邊長為1,由于小正方形與大正方形面積之比為4:9,所以小正方形

的邊長為3可得cosa-sina=-,

sin￡-cos6=彳,

由圖可得:cosa=sin^,sina=cosB，

①x②可得:±=cosasin夕+sinacos^-cosacos尸-sinasin/?=sin2/?+cos2^-cos(a-/?)=1-

9

cos(a/),

解得cos(a/)=；.

9

IL(多選)下列滿足sinasin介cosacosP的有()

A.a=6=90°B.a=18°,/?=72°

C,?=130°,^=-40°D.a=140°/=40。

|答案|BC

麗I由5畝益足/?=85。8$萬可得859+為=0,因此。+夕二火」80°+90°,k￡Z,B,C項符合.

12.（多選）若［sinx+4cosx=cos（x+0）,則（p的值可能是（）

答案|AC

解析|對比公式特征知,cose=",sin勿二-：,故夕二T，都合適?

-----2266

13.（多選）已知a/,y￡（O，T）

,sina+siny=sinW，cosy9+cosy=cos。，則下列說法正確的是

()

A.cosQ?-a)=1B.cosQ?-a)=-1

C.fi-a=^D.fi-a=^

矗］AC

|解析|由已知，得siny=sin夕-sina,cos尸cosa-cos￡.兩式分別平方相加，得(sin￡-sin

a)2+(cosa-cosfi)2-1,-2cos(^-?)~-1,Acos()9-a)-1,AA正確,B錯誤.

,:a,的R(0,9，；?sin尸sin￡-sina>0,

：.fi>a,：.fi-a=^：.C正確,D錯誤.

2cos10°-sin20°

14.化簡:

cos20°

2cos(30°-20°卜sin200

cos20c

2cos30°COS20：+2sin30'sin20：-sin20'

cos200

_bcos200+sin200-sin20°_每os20。

cos200-cos20°

15.若0<a<p-^<^<0,cosQ+a)=1,cosQ-^)=苧，則sinQ-0=,cos(a+

f)

廨府因為0<a<:所以工<-+a<-,

1----12444

又cosQ+a)=1，所以sinQ+a)=等.

因為悔<夕<。,所以汴：Yv去

又cos(瀉)=*所以sin(抬)=當(dāng)

于是cos(a+§)=cos〔&+。一佇4)]

=cosf-+a)cos(7-g)+sin(E+a)sin(E--^=-x—+—X—=—.

\4)\42/44233339

16.己知向量a=(sina,v5cosa-sina),b=(cos)8-v5sin1,cos1),且ab=2.

(1)求cos(a+0的值；

⑵若0<0竹,0<4樣,且sin。=*，求2a+B的值.

網(wǎng)(1)由題意，得ab=sina(cos^-V5sin向+(述cosa-sinct)cos^=V5cosacos^-V5sinasin

￡=V5COS(Q+￡),

因為a?b=2,所以西cos(a+夕)=2,

即cos(a+丑)二野.

⑵因為0<a<psina=^^,

所以cos

io

因為0<a<1,0<夕<],所以0<。+《<兀

因為cos(a+為二管，所以sin(c+/0=Y，

所以cos(2a+/?)=cos[a+(?+^)]=cosacos(a+/?)-sinasin(tt+^)=y.0為0<a<p0<^<p

所以0<2a+￡告，所以2a+fi=^.

17.已知函數(shù)/(x)=Asin(x+-R),K/0)=1.

4

⑴求A的值；

(2)若y((x)=-*a是第二象限角，求cosa.

圈(1)依題意得10)二由成=44=1,故A=y/2.

⑵由⑴得危尸&sinQ+?,

由加尸］可得出尸/sinQ+?二.

則sin(a+2)=-3「；。是第二象限角,

410

TT

；?2^7t+-<a<2A：7t+n(^￡Z),

???2271g<。+2<2&兀+邇(&￡Z),

444

r.(n)V2

又sin^a+-'=—<0,

410

???a+2是第三象限角，

4

?\cos(a+：)=Jl?sin2(a+；)=一詈,

Acosa=cos[(a+

(,TT)11.(,IT).n

=cosva+--,cos-+sin\a+-/sin-

4444

7V2V2V2V24

=-------X---------------X-=--.

1021025

10.1.2兩角和與差的正弦

1.化簡sin16°cos440+sin74°sin44°的值為()

答案|A

解析sin16°cos44°+sin74°sin44°=sin16°cos44°+cos16°sin

44°=sin(16°+44°)=sin60°二?故選A.

2.化簡:sinQ+?+sinQ-?=()

A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx

答案B

解析|sinvx+-/+sinvx--/=-sinx+-^cosx+^sinx-^cosx=sinx.

---------332222

3.若sinQ-a^=cosQ+a),則tana=()

A.-1B.OC.-D.l

2

答案A

由已知得：cosa-ysina=*osa-|sina,因"匕^^sina=^|^cosa,于是tana--\.

4.己知（7t,—\sin（犯,2;r）,cos尸二士，貝！|0+￡為（）

2425

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

^]B

|解析|由已知得cosasin.

所以sin（a+/?）=sinacos夕+cosasin0

=洛

20

故a+夕為第二象限角.

5.(2021天津和平高一期末)已知tanA=2tanB,sin(A+B)=,則sin(4-B)=()

4

D弓

宣c

2sinB

由tanA=2tanB得---

cos/lcosB

即sinAcosB=2cosAsinB.

Vsin(A+B)=-,sinAcos8+cosAsin8=-.

44

sinAcos8=，,cosAsinB=^

則sin(A-B)=sinAcosB-cosAsin~~=專,故選C

6.已知a=(2sin35°,2cos35°),b=(cos5°,-sin5°)，則a?b=.

^]1

解析ab=2sin35°cos5°-2cos35°sin5°=2sin30°=1.

7化簡.sin(a-150。)+cos(a-120c)_

??cosa------------?

客-1

I解析I原弋一sinacosl500-cosasinl500+cosacosl200+sinasinl20°

'——-_''、cosa

-^sina-^cosa-^cosa+^sina

--------------------------------1.

cosa

8.化簡求值：

(l)sin(a+cos(a+￡)sin(a/);

(2)cos(70°+a)sin(1700-a)-sin(700+a)cos(100+a).

國(1)原式=sin(a+/?+a/)=sin2a.

(2)原式=cos(70°+a)sin(10°+a)-sin(70°+a)cos(10°+a)

=sin[(10°+a)-(70°+a)]=sin(-60°)=-~-

9.（2021江蘇蘇州昆山校級月考）已知若cos（a/）4，sin（a+用）二則sin

4qxoo

25=()

A.-B.--喈

33

函D

隨責(zé),?彳<￡<av拳

???a/￡(0,p,a+作(嶗),

123

若cos(a-^)=—,sin(a+^)=--,

.??sin(a/)=Jl-cos2(a-6)=總

cos(a+0)=-y/l-s\n2(a4-p)

12(J)516

則sin2^=sin[(?+^)-(a-/?)]=sin(?+^)-cos(a-y?)-cos(a+^)sin(a-/?)=--XX——--.

13~51365

故選D.

10SE7；+31；sin：的值等于(

cos7-sinl5sin8)

A.2+V3B萼C.2-V3D.竽

甌C

函原式二寫f喑岑

cos(15-8)-sinl5sin8

Sinl5°cos8"sinl5°sin(450-300)&=2-倔

cosl50cos8coslS0cos(45°-30°)

4

11.（多選）下面各式中，正確的是（)

.(n.ir).nn.\[3n

AA.sin4--f=sin-cos-H----cos-

434324

c5n42.itnTT

B.cos—=—Sin—COS-COS-

122343

TTTT,i/6

C.cos=cos-cos-H——

12434

nnitn

D.cos—=COS-cos-

1234

唇剽ABC

,..(nj).itn,it.n.nn.V3it.5n7n

?sin:+-^sin-cos-cossm-=sincos-+ycos-,.1A正確;*.*cos—=-cos—=-cos

+;z1212

\一+-/-——sin-cos-cos-,..B正確；

342343

口）(nn)ITn,.n.nnn.>/6.

.COS'-=cos\------)=cos-cos-+sin-sin-=cos-cos-H-----,??C正x確￡A;

12434343434’

?n(---)/cos--cos-,AD不正確.故選ABC.

?COS—=COS

123434

萼,(0「),則sin(a-,⑹二

12.已知sina+cosa=

244

5n)5Tt.5TT

解析sin'a-:1=sinctcos--cosasm—

-------444

y[2V2.V2Z.、

7cosa-sin?=T(cosa-sina).

*/(sin?+cosa)2=|,2sinacosct=1,

(sina-cosa)2=-,Va^(0；),

24

cosa>sina,

..V2

..cosa-sina=-.

2

,.(5n)1

..sin-'=-.

42

13.若cosa="1,sin/?=-y,aE（1,兀），蚱（斗,2兀）,則sin（a+夕）的值為

2

???cosa=-1-,au^|n)??sina=Vl-cosa=Vsin6=]6W奉2J

cos介Jl-siM/?=當(dāng)

.*.sin(a+^)=sin?cos￡+cosasin￡

二2X漁+Q)X(?=更

33339

14.（2020遼寧沈陽和平期末）已知a，為銳角,cosa=1,cos（a+/?）=-^.

⑴求sin9+夕）的值;

（2）求sin￡的值.

嘛1);a/為銳角,cos(a+^)=~

.??sin(a+6)=Jl-cos2(a+0)=誓.

⑵a為銳角,cosa=1,sina=Vl-cos2a=

Asin/?=sin[(a+y9)-a]=cosasin(a+^)-sinacos(a+0

_15b45/3（11）_V3

——x--------X\-—/-.

7147142

15.已知函數(shù)段）=sin（2x+?+sin（2x--）+cos2x+a（a^R,a為常數(shù)）.

66

⑴求函數(shù)/U）的最小正周期及增區(qū)間；

⑵當(dāng)A-e[（）,（時次x）的最小值為-2,求a的值.

廨|（l）V/x）=2sin2xcos^+cos2x+a

=V3sin2x+cos2x+4=2sin（2r+2）+〃，

6

的最小正周期T二T=兀

當(dāng)2人產(chǎn)劣I浮2尿?,GZ,

即時，函數(shù)大幻是增函數(shù),

36

故該函數(shù)的增區(qū)間為

⑵當(dāng)xe[o,J時,2X+：￡

ZODO

/.當(dāng)x=;時?r）取得最小值.

.\2sin

10.1.3兩角和與差的正切

1.已知tana=1,tan介，，且角a/為銳角，則a+p的值是（）

.3n

A.一B：或生

444

D.—

44

甌C

2.在“8C中，已知121141@118是方程3<+81-1=0的兩根,則tan。等于（）

A.2B.-2

C.4D.-4

前A

3.（2021新疆維吾爾自治區(qū)哈密伊州高一期末）已知tan（aT）=|，則^?=（）

A.-B.--

55

C.5D.-5

^M]B

Anxr-I(3n)tana-tantancx+l281?；.A宜

解析tan'a—)=------------=------------=一，解付tan。=-一，故選B.

---------4l+tanatan1-tana35

4.已知tan(a+￡+2)=-,tan(h⑹=-；則tanQ+2)的值為()

62633

A.它B.5

27

C.1D.1

^M|D

|解析|tan(a+?=tan

5.已知A,B都是銳角，且(1+tanA)(l+tanB)=2,!MA+B=.

Ill

|解析|(1+tan4)(1+tanB)=l+tan4tanB+tanA+tanB=2,

tanAtanB=l-(tanA+tanB).

?，,oxtanA+tanB.

..tan(A+B)=—-----------------=1.

'l-[l-(tani4+tan5)]

VA,B都是銳角，J0<A+B<K：.A+B=-.

4

6.(2021江蘇運河中學(xué)高一期中)如圖,三個全等的矩形相接，且AB=a,AD=b.

AB

⑴若〃=2a,求tan(a+/?)的值;

⑵若a+人可，求，的值.

網(wǎng)(1)若/?=2。,則tana=|,tan夕=1.

所以tan(a+y?)=tana+tan/J

1-tanatan/?

(2)由圖可得,tana=^,tan尸=.tan尸*

因為“+￡=＞，所以tan(a+￡)=；：：：；：：：二tany,

化簡，得后二戶,所以a=b.

所以2的值為1.

a

7.若tan(a+￡)qtan(a/)W，則tan2?=()

ci琮

答案D

解析tan2a=tanf(a+^)+(?-^)]=tan(a+/J)+tan(a-/?)

l-tan(a+/?)tan(a-0)

8.(2021河南焦作第一中學(xué)高一期末)已知(岸兀)，且sinQCOSa=-|,tan(a+￡)q則tan

B二()

A.1B.7C.1或7D.2或6

■A

|解析[由仁仁(手，兀)，則-1<tana<0.

由sinacosa=sinacosatana_2

sin2a+cos2atan2a+l5’

即2tan2a+5tanG+2=0,解得tan或tana=-2.

所以

tana=—2.

tan.=lan[(a+夕)-g]=tan(a+/?)；ana_故選A

1L\X，Jl+tan(a+6)tanai+|x(-1)

9.(2021北京朝陽高一期末)已知tan(a-2)=2,tan(a+份=-3,則tan(￡+,)=()

A.1B.2C.3D.4

|解析|因為+('+?=a+B，

所以tan(S+J=tan[(a+A)-(。-，一

tan(a+/?)-tan(a-7)

l+tan(a+6)tan(a-￡)

故選A.

10.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3V3,tan25=tanAtanC,則角B等于()

A.3O°B.45°C.120°D.60°

踴D

畫由公式變形得

tanA+tanB=tan(A+B)(l-tanAtanB)

=tan(180°-C)(l-tanAtanB)

=-tanC(1-tanAtanB)

=-tanC+tanAtanBtanC,

tanA+tanB+tanC

=-tanC+tanAtanBtanC+tanC

=tanAtanBtanC=3A/3.Vtan2B=tanAtanC,

Atan3B=3V3..,.tanB=V3.??.B=60°.古攵選D.

11.(多選)在中,C=120°,tanA+tan8=等，下列各式正確的是()

A.A+8=2CB.tan(A+8)=-V5

C.tanA=tanBD.cosB=V3sinA

答案|CD

阿祠,.?C=120。,：.A+B=60°,A2(A+B)=C,

??.tan(A+8)=75,，選項A,B錯誤；

*.*tanA+tanB=V3(l-tanAtan8)二等，

/.tanAtanB=g,①

又tanA+tanB=苧,②

；?聯(lián)立①②解得tanA=tan8=子

Acosfi=V3sinA,故選項C,D正確.

12.已知銳角a/滿足(tana-l)(tan。-1)=2,則tan(a+^)=,a+0=.

|解析|因為(tana-l)(tan/?-l)=2,

所以tana+tan￡=tan畫anp-\.

tana+tan/?

因此tan(a+S)=

1-tanatan/?

因為a+夕￡(0,71),所以a+P=—.

13.已知a/均為銳角，且tan〉:黑黑:，求lan(a+0的值.

匾|tan4二cosa-sina1-tana=tan(:?a

cosa+sinal+tana

因為a/均為銳角,

所以T<

又因為尸anx在(-甥)上是增函數(shù)，

所以介己-0,即a=^,tan(a+/9)=1.

14.在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的取值范圍

是.

霞［8,+8)

|由已知條件sinA=sin（B+Q=2sinBsinC,

得sin8cosC+cosBsinC=2sinBsinC,

兩邊同除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC,

tanB+tanC

V-tanA=tan（B+Q=

1-tanBtanC9

tanAtanBtanC=tanA+lanB+lanC.

tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC

>2V2tan/ltanBtanC,

令tanAtanBtanC=x>0,

即x^2y/2x^?x，8,或xWO（舍去）,，工的最小值為8.

當(dāng)且僅當(dāng)tanB=2+V2,tan。=2-衣上1114=4（或tan8,tanC互換）時取等號，此時A,B,C

均為銳角.故tanAlanfilanC的取值范畫是［8,十8）.

10.2二倍角的三角函數(shù)

l.（cos^-sinA）（cos2L+sinZ）=（）

A.旦B」

22

C-D.—

22

原式二cos2E-sin22=cosE=血，故選D.

S121262

2.若tana=3,則當(dāng)?shù)闹档扔冢ǎ?/p>

cos^a

A.2B.3C.4D.6

廄舜嚶=2Sinacosa=2tan々=2x3=6.

,----]cos^acos￡a

3.（2021湖南永州高一期末）已知cos（《）《胃四與則3。20的值等于（）

A24

人?五B噌D噌

答案B

cos(岬=sin歸/〈吟所以cos^Vl-Sin^=|.所以sin20=2sinGeos

八.A.

6=c2x4-x-3=—24.故選B.

5525

4.（2021天津高一期末）已知sin（兀-a）二號,則cos2a=（）

A.-B.--C.-D.--

8844

制c

|解析|Vsin(7t-a)=^=sina,

cos2a=l-2sin2a=?.故選C.

4

5=.-vS-s-i-n-a-+--c-o-s-a-=二1,則nnita'n2ca=(/\)

sina-cosa2

A,--B.-C.--D.-

4433

I解析I等式s：na+c°sa=:左邊分子、分母同時除以COSa(顯然COS(#0),得㈣1竺1=；解得

1--------1sina-cosa2tana-12

2tana3

tan2a=

i-tan2a41

6.（2021上海虹口高一期末）已知0￡（0,兀），且有l(wèi)-2sin2a=cos2a,則cosa-.

|解析|由1-2sin2a=cos2a,得l?cos2a=2sin2a,

即2sin2a=4sinacosa.

又因為a￡(0,兀),所以sin存0,所以sina=2cosa>0.

由sin2a+cos2?=(2cosa)2+cos2a=5cos2a=1,

解得cosa=Y-

2sin2acos2a_

7.化簡:

1+cos2acos2a

答案tan2a

2sin2acos'a,c

廨前原式二------=tan2a.

2cos2acos2a

8.求下列各式的值：

,.\2cos2?-l.

2tan償a州M居+。丫

(2)2V3tan15°+tan215°;

(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.

限)原式=2taW晨同〃)

_______cos2a______

2tan(5-a)cos2(J-a)

_cos2a_cos2a

2sin(^-a)cos(^-alsin(2x與2al

cos2ai

------=1

cos2a

⑵原式二V5tan30°(1-tan215°)+tan215°

=V3Xy(l-tan215°)+tan215°=1.

(3)方法一sin10°sin30°sin50°sin700

=icos20°cos40°cos80°

_2sin20<,cos20;cos40cos80:

4sin200

sin40°cos40°cos800sin80°cos8001sinl6001

4sin200—8sin200-16sin20°-16'

方法二令工=$吊10°sin50°sin70°,

y=cos10°cos50°cos70°.

貝I—=sinlO°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°

=>20。.觸100。.迪140。

="n200sin8。。sin4。。

Vos100cos50。cos700

因為歸0,所以彳三

8

所以sin100sin30°sin50°sin70°=—.

16

l-cos0+sin0

9.（2021甘肅天水高一期末）已知tan-=3則的值為（)

23l+cosO+sinJ

4

答案A

,?*62

?tan--

23

2sin21+2sin|cos^

.l-cos0+sin0

*l+cos0+sin02cos21+2sin^cos?

2sinHsinf+cos|)e2.

23觸部福小力泮選A.

10.若tanfa+則cos2a+2sin2a=()

A，?B.lD]

5?5

答案B

典,3（。+加景一

tana=2,

.c八?ccos2a-sin2a.4sinacosal-tan2a4tana3

..cos2a+2sin2a=-；--f-4----；---++4

cosza+sinzacos"a+siMa1+tan2al+tan2a5

11.4sin8。。?黑-二()

A.V3B.-V3

C.V2D.2V2-3

答案B

廨和sin800-空到4cosl00sinlO°-coslO°

sinio0sinlO0

_2sin200-coslO02sin(300-10>COS10°

sinl0°sinlO°

_2(sin30°coslO°-cos300sin)0°)coslO°

sinlO°

=-V3.

12.若且cos2a+cosQ+2a)=*則tana=()

弓D.*

空C

cos2a-2sinacosal-2tana3

|解析|cos%+cos停+2a)=cos2a-sin2a=cos2a-2sinacosa=------------=----

sin2a+cos2atan2a+l10'

整理得3tan2a+20tana-7=0,解得tan或tana=-7.又因為c(e(°，］)，所以tan［故選

C.

13.(多選)下列各式的值為:的是()

A.(sin15°-cos150)2

B.tan15°cos215°

馥ACD

解析A符合，原式=l-2sin15°cos15°=l-sin30°=1尚=舞不符合，原式=sin15°cos

15°=-sin30°=-;C符合，原式二/cosE=-;D符合，原式二sin30°=-.

243622

14.（多選）已知函數(shù)於）二|sinx||cosx|,則下列說法正確的是（）

A7U）的圖象關(guān)于直線工專對稱

B4x）的周期為］

cm,o）是人箝的一個對稱中心

DJU)在區(qū)間上是增函數(shù)

宣AB

|解析［因為函數(shù)/(x)=|sinx||cosx|=|sin^cosx|=j|sin2x|,

畫出函數(shù)圖象，如圖所示，

由圖可知人到的圖象關(guān)于直線x=^(kWZ)對稱，

所以直線/=］是兀￥)圖象的一條對稱軸,A正確；

?￥)的最小正周期是所以B正確；

?r)是偶函數(shù)，沒有對稱中心,C錯誤；

由圖可知J(x)=jsin2x|在區(qū)間［：,1］上是減函數(shù),D錯誤.

15.若cos(75°+a)=/貝!Jsin(60°+2a)=.

|解析［依題意,cos(75。+a)=g,貝Icos(150°+2?)=2cos2(a+750)-1=2XQ)-1=-

^,sin(60°+2a)=-cos(90°+60°+2a)=-cos(150°+2a)=^.

16.化簡:丁2+或+2cosa(2n:<a<3兀)=.

匿卻si《

------4

??c令?a3nna3TI

?2n<a<3ji…兀<一<一<一.

S922244

/.72+V2T2cosa=j+J4cos2?

4sin2*2si吟

yj2

17.（2021安徽合肥高一檢測）求證:益葛-tan仇an28=1,

邂篇“an麗2夕二焉sin0sin20

COS0COS20

cos0-2sinz0cos0l-2sinz0

-c-o-s-20-=11

cos0cos20cos20cos20

18.已知sina+cos。=亭,?！辏?,：）=.e（4，5）

⑴求sin2a和tan2a的值；

⑵求cos（a+20的值.

解（1）由題意得（sina+cos仁產(chǎn)4即1+sin2a=|,

sin2a胃,又易知2a￡（0,；）,

i3

cos2a=Vl^sin22a=

tan2a=sin2a4

cos2a3

⑵??/€（泊）行eM）,sin（竹）q

?'cos（"）7

.?.sin2（0-：）=2sin（咤）cos僅=）=.

又sin20：）二-cosip,cos2fi=-.

又2蚱（封）,??由2介我

>1+cos2a4

又COS~。=——：---=一,

25

,2Vs..Vs

??cosa=—,??sina=—,

?zcc、cc?.cc2V5（24、Vs711V5

..cos（a+2^）=cosacos2/?-sinasm2/?=—x（--）——x—=.

19.如圖所示,在某點8處測得建筑物的頂端A的仰角為“沿由點8到點E的方向前

進30m至點。處，測得頂角A的仰角為2。,再沿剛才的方向繼續(xù)前進10V3m到點。測

得頂點A的仰角為40,求。的大小和建筑物AE的高.

A

00%

BCDE

gvZACD=0+ZBAC=20,

：.ZBAC=Oy：.AC=BC=3Om

又ZADE=20+ZCAO=4。,，ZCAD=29,

：.AD=CD=Wy/3m,

J在RSAOE中?4E=ADsin4/9=10V3sin40,

在RsACE中,AE=ACsin29=30sin20,

：.10V3sin46>=30sin2ft

即20V3sin2<9cos2J=30sin2仇

Acos20=坦?又2?！辏∣,-）,/.2<9=-,

226

/.^=—^4E=30sin-=15m,

126

故。的大小為工,建筑物AE的高為15m.

10.3幾個三角恒等式

1.將2cos(a-45°)sin(a+45°)化為利的形式為()

A.sin2aB.sin2a-1

C.sin2。+1D.-sin2a-1

踴C

2.己知a為第一象限角，且tan焉,則sin抑值為()

畫因為a為第一象限角，且tan所以cos而三是第一或第三象限角.當(dāng)三是第一

象限角時,sin2=叵五=■當(dāng)日是第三象限角時,sing二叵9二支故sin也土當(dāng).

2yl25z2y]2525

3.把cos3a+cos5a化為積的形式，其結(jié)果為.

答案2cos4?cosa

|解析,os3a+cos5a=2cosf“cos"；—2cos4acosa.

,、iasin700+sin500

4?計算：sin8。

答案目

sin7(T+sin50°_2sin60"co$SO°=V3.

sin80°coslO0

5.若tan則i+c)2a=

7sm2a---------------------

答案7

|解析|因為tana-sin2a=之所以上期二:7

l+cos2a7sin2a

6.設(shè)0<4<。<去求證:a/>sina-sinp.

|證明|當(dāng)（）vxv1時,易證sinx<x.

VO<^<a<p

:.sina-sin<2sinW<2xW=a￡即?-/?>sina-sinp.

7.若3T：VXV4兀，貝ij)

A.V2cos(--B.-V5cos(E-"

4242

C.V2sin(---)D.-V2sin(---)

4242

甌c

|解析|因為3兀今<4兀，

所以到<三<2兀,所以sin-<0,cos->0.

2222

于是厘9+下妥=|cos[+lsin；l

X.Xx/2Xx/2.x)

=cos-sin-=72、—cos-----sin-7

222222

=V2sin(--

42

8.在8c中，若sinAsin3=cos2(則下列等式中一定成立的是()

A.A=BB.A=C

C.B=CD.A=B=C

藕A

l+COSC11/A,n\

—2—~2~ros(A+8)

=1—/cosAcosB-sinAsin3)、

.'.^cosAcosB+-sinAsinB=-.

222

cos(A-B)=l.

*/0<A<K,0<B<7：,-7i<>4-B<n,

：.A-B=0,：.A=B.

9.已知等腰三角形的頂角的余弦值等于奈則它的底角的余弦值為()

答案|B

|解析|設(shè)等腰三角形的頂角為出底角為小則cosa=4.又/?=--cos/?=cos（--

252222

=sin^=乒=#S=2.

2、2N25

10.（多選）有以下四個關(guān)于三角函數(shù)的命題，其中正確的是（）

R,sin2-+cos2-=-

222

B.3x,y￡R,sin(x-y)=sinx-siny

/1-COS2X.

C.Vx￡[0,兀],j------=sinx

D,若sinx=cosy則

答案BC

|解析［因為sin2：+cos2：=14所以A為假命題;當(dāng)x=y=0時,sin(x-y)=sin九-siny,所以B為真

命題;因為sinx=［0,兀］,所以C為真命題;當(dāng)x=^y=2it07,sinx=cosy,但x+)若,

所以D為假命題.

^^71+尢)+COS(q，+x)(x￡R,A￡Z)的結(jié)果為

11.化簡cos

|答案|cosX

I解析《os(+1+COS(+/)

6R+1

Z+X)+(等T7+X)

=2cos——