高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)高考23題逐題特訓(xùn)（三）應(yīng)用題

(三)應(yīng)用題1．已知某食品廠需要定期購(gòu)買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價(jià)格為1.8元/千克，每次購(gòu)買配料需支付運(yùn)費(fèi)236元．每次購(gòu)買來的配料還需支付保管費(fèi)用，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以內(nèi)(含7天)，無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數(shù)，根據(jù)實(shí)際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)當(dāng)9天購(gòu)買一次配料時(shí)，求該廠用于配料的保管費(fèi)用P是多少元？(2)設(shè)該廠x天購(gòu)買一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費(fèi)用y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該廠多少天購(gòu)買一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少？解(1)當(dāng)9天購(gòu)買一次時(shí)，該廠用于配料的保管費(fèi)用P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①當(dāng)x≤7時(shí)，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236，②當(dāng)x>7時(shí)，y＝360x＋236＋70＋6[(x－7)＋(x－6)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(370x＋236，x≤7，,3x2＋321x＋432，x>7，))∴設(shè)該廠x天購(gòu)買一次配料平均每天支付的費(fèi)用為f(x)元．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(370x＋236,x)，x≤7，,\f(3x2＋321x＋432,x)，x>7.))當(dāng)x≤7時(shí)，f(x)＝370＋eq\f(236,x)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝7時(shí)，f(x)有最小值eq\f(2826,7)≈404(元)；當(dāng)x＞7時(shí)，f(x)＝eq\f(3x2＋321x＋432,x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))＋321≥393.當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時(shí)取等號(hào)．∵393<404，∴當(dāng)x＝12時(shí)f(x)有最小值393元．2．南半球某地區(qū)冰川的體積每年中隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年的數(shù)據(jù)，冰川的體積(億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)的關(guān)系式為V(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t3＋11t2－24t＋100，0<t≤10，,4t－103t－41＋100，10<t≤12.))(1)該冰川的體積小于100億立方米的時(shí)期稱為衰退期．以i－1<t<i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，問一年內(nèi)哪幾個(gè)月是衰退期？(2)求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積．解(1)當(dāng)0<t≤10時(shí)，V(t)＝－t3＋11t2－24t＋100<100，化簡(jiǎn)得t2－11t＋24>0，解得t<3或t>8.又0<t≤10，故0<t<3或8<t≤10，當(dāng)10<t≤12時(shí)，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋100<100，解得10<t<eq\f(41,3)，又10<t≤12，故10<t≤12.綜上得0<t<3或8<t≤12.所以衰退期為1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7個(gè)月．(2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(3,9)內(nèi)取到．由V′(t)＝(－t3＋11t2－24t＋100)′＝－3t2＋22t－24，令V′(t)＝0，解得t＝6或t＝eq\f(4,3)(舍去)．當(dāng)t變化時(shí)，V′(t)與V(t)的變化情況如下表：t(3,6)6(6,9)V′(t)＋0－V(t)↗極大值↘由上表，V(t)在t＝6時(shí)取得最大值V(6)＝136(億立方米)．故該冰川的最大體積為136億立方米．3．如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北α角方向的OB.位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM＝3eq\r(13)km，且∠AOM＝β.現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)M.其中tanα＝2，cosβ＝eq\f(3,\r(13))，AO＝15km.(1)求大學(xué)M與站A的距離AM；(2)求鐵路AB段的長(zhǎng)AB.解(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cosβ＝eq\f(3,\r(13))，OM＝3eq\r(13)，由余弦定理，得AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM＝152＋(3eq\r(13))2－2×15×3eq\r(13)×eq\f(3,\r(13))＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM＝6eq\r(2)，即大學(xué)M與站A的距離AM為6eq\r(2)km.(2)∵cosβ＝eq\f(3,\r(13))，且β為銳角，∴sinβ＝eq\f(2,\r(13))，在△AOM中，由正弦定理，得eq\f(AM,sinβ)＝eq\f(OM,sin∠MAO)，即eq\f(6\r(2),\f(2,\r(13)))＝eq\f(3\r(13),sin∠MAO)，sin∠MAO＝eq\f(\r(2),2)，∴∠MAO＝eq\f(π,4)，∴∠ABO＝α－eq\f(π,4)，∵tanα＝2，∴sinα＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(1,\r(5))，∴sin∠ABO＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,\r(10))，又∠AOB＝π－α，∴sin∠AOB＝sin(π－α)＝eq\f(2,\r(5)).在△AOB中，OA＝15，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠AOB)＝eq\f(OA,sin∠ABO)，即eq\f(AB,\f(2,\r(5)))＝eq\f(15,\f(1,\r(10)))，∴AB＝30eq\r(2)，即鐵路AB段的長(zhǎng)為30eq\r(2)km.4．(2017·江蘇蘇州大學(xué)指導(dǎo)卷)如圖，某地區(qū)有一塊長(zhǎng)方形植物園ABCD，AB＝8(百米)，BC＝4(百米)．植物園西側(cè)有一塊荒地，現(xiàn)計(jì)劃利用該荒地?cái)U(kuò)大植物園面積，使得新的植物園為HBCEFG，滿足下列要求：E在CD的延長(zhǎng)線上，H在BA的延長(zhǎng)線上，DE＝0.5(百米)，AH＝4(百米)，N為AH的中點(diǎn)，F(xiàn)N⊥AH，EF為曲線段，它上面的任意一點(diǎn)到AD與AH的距離的乘積為定值，F(xiàn)G，GH均為線段，GH⊥HA，GH＝0.5(百米)．(1)求四邊形FGHN的面積；(2)已知音樂廣場(chǎng)M在AB上，AM＝2(百米)，若計(jì)劃在EFG的某一處P開一個(gè)植物園大門，在原植物園ABCD內(nèi)選一點(diǎn)Q為中心建一個(gè)休息區(qū)，使得QM＝PM，且∠QMP＝90°，問點(diǎn)P在何處時(shí)，AQ最?。?1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))，因?yàn)镋到AD與AH距離的乘積為2，所以曲線EF上的任意一點(diǎn)都在函數(shù)y＝－eq\f(2,x)的圖象上．由題意，N(－2,0)，所以F(－2,1)．四邊形FGHN的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))×2＝eq\f(3,2)(平方百米)．(2)設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－2，y)，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(y，－x＋2)，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(y＋2，－x＋2)，因?yàn)辄c(diǎn)Q在原植物園內(nèi)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤y＋2≤8，,0≤2－x≤4，))即－2≤x≤2.又點(diǎn)P在曲線EFG上，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(1,2)))，所以－2≤x≤－eq\f(1,2)，則點(diǎn)P在曲線段EF上，AQ＝eq\r(y＋22＋2－x2)，因?yàn)閥＝－eq\f(2,x)，所以AQ＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)＋2))2＋2－x2)＝eq\r(x2＋\f(4,x2)－4x－\f(8,x)＋8)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,