數(shù)學(xué)必修二學(xué)案第一章空間幾何體1.31.3.1

1.3空間幾何體的表面積與體積柱體、錐體、臺體的表面積與體積目標(biāo)定位1.了解表面與展開圖的關(guān)系.2.了解柱、錐、臺體的表面積和體積計算公式；能運用柱、錐、臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.自主預(yù)習(xí)1.多面體的表面積多面體的表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積.2.旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱圖形公式圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)3.體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.

即時自測1.判斷題(1)直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，一邊是棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長.(√)(2)圓錐的側(cè)面展開圖是一個等腰三角形.(×)(3)柱體的底面積為S，高為h，其體積V＝Sh，特別地，圓柱的底面半徑為r，高為h；其體積V＝πr2h.(√)(4)已知圓錐SO的底面半徑r＝2，高為4，則其體積為16π.(×)提示(2)圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.(4)V＝eq\f(1,3)π×22×4＝eq\f(16,3)π.2.圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其側(cè)面積等于()A.15 B.15π C.24π D.30π解析S側(cè)＝πrl＝π×3×5＝15π.答案B3.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A.4π B.3π C.2π D.π解析底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.答案C4.圓臺OO′的上、下底面半徑分別為1和2，高為6，則其體積等于________.解析V＝eq\f(1,3)π(12＋1×2＋22)×6＝14π.答案14π類型一空間幾何體的表面積【例1】如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.解以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺，其上底半徑是4cm，下底半徑是16cm，母線DC＝eq\r(52＋（16－4）2)＝13(cm).∴該幾何體的表面積為π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2).規(guī)律方法1.圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上，因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵.2.棱錐及棱臺的表面積計算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解.【訓(xùn)練1】如圖，已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S－ABC，求它的表面積.解先求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D.因為BC＝a，SD＝eq\r(SB2－BD2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)a.所以S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SD＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.因此，四面體S－ABC的表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.類型二空間幾何體的體積(互動探究)【例2】如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1－ABC，三棱錐B－A1B1C，三棱錐C－A1B1C1的體積之比.[思路探究]探究點一題中三棱臺與三棱錐有什么關(guān)系？提示題中三個三棱錐可看作是由三棱臺分割而成的.探究點二求體積的常用方法有哪些？提示求幾何體體積的常用方法有：公式法，等積變換法，補體法，分割法.解設(shè)棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V臺－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.規(guī)律方法求幾何體體積的常用方法【訓(xùn)練2】如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.解在三棱錐A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)·eq\r(2)a·d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.類型三與三視圖有關(guān)的表面積、體積問題【例3】一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A.4eq\r(5)，8 B.4eq\r(5)，eq\f(8,3)C.4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D.8，8解析由正視圖得出四棱錐的底面邊長與高，進而求出側(cè)面積與體積.由正視圖知：四棱錐的底面是邊長為2的正方形，四棱錐的高為2，∴V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).四棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，底為2，高為eq\r(5)，∴S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5).答案B規(guī)律方法1.解答此類問題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計算體積所需要的數(shù)據(jù).2.若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和.【訓(xùn)練3】已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析由三視圖可大致畫出三棱錐的直觀圖如圖，由正、俯視圖可知，△ABC為等腰三角形，且AC＝2eq\r(3)，AC邊上的高為1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3).由側(cè)視圖可知：三棱錐的高h(yuǎn)＝1，∴VS－ABC＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)[課堂小結(jié)]1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題的關(guān)鍵.2.計算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.3.在幾何體的體積計算中，注意體會“分割思想”、“補體思想”及“等價轉(zhuǎn)化思想”.1.已知長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3，對角線的長是2eq\r(14)，則這個長方體的體積是()A.6 B.12 C.24 D.48解析設(shè)長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x、2x、3x，又對角線長為2eq\r(14)，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.∴三條棱長分別為2、4、6.∴V長方體＝2×4×6＝48.答案D2.一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積為()A.12π B.18πC.24π D.36π解析由三視圖知該幾何體為圓錐，底面半徑r＝3，母線l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故選C.答案C3.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比為________.解析設(shè)底面半徑為r，側(cè)面積為4π2r2，表面積為2πr2＋4π2r2，其比為eq\f(1＋2π,2π).答案eq\f(1＋2π,2π)4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，截下一個棱錐C－A1DD1求棱錐C－A1DD1的體積與剩余部分的體積之比.解已知長方體可以看成直四棱柱，設(shè)它的底面ADD1A1的面積為S，高為h，則它的體積為V＝Sh.而棱錐C－A1DD1的底面積為eq\f(1,2)S，高為h，故三棱錐C－A1DD1的體積：VC－A1DD1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh，余下部分體積為：Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱錐C－A1DD1的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.基礎(chǔ)過關(guān)1.圓臺的上、下底面半徑分別是3和4，母線長為6，則其表面積等于()A.72 B.42π C.67π D.72π解析S圓臺表＝S圓臺側(cè)＋S上底＋S下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.答案C2.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1－ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.1解析三棱錐D1－ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案A3.一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如下圖所示該四棱錐側(cè)面和體積分別是()A.4eq\r(5)，8 B.4eq\r(5)，eq\f(8,3)C.4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D.8，8解析由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面邊長為2，高為2，側(cè)面上的斜高為eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以S側(cè)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5)，V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).答案B4.一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為________.解析S圓柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圓錐＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1.答案2∶15.一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.解析根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個底面直徑為4m，高為2m的圓錐，下部是一個底面直徑為2m，高為4m的圓柱.故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π×22×2＋π×12×4＝eq\f(20π,3)(m3).答案eq\f(20π,3)6.如圖是某幾何體的三視圖.(1)畫出它的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積和體積.解(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示.(2)這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱(底面半徑為1，高為2)，它的上部是一個圓錐(底面半徑為1，母線長為2，高為eq\r(3))，所以所求表面積為S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，體積為V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝2π＋eq\f(\r(3),3)π.7.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，三角形面旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.解過C點作CD⊥AB，垂足為D.以△ABC中邊AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個底面重合的圓錐，如圖所示，這兩個圓錐的高的和為AB＝5，底面半徑DC＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12,5)，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝eq\f(84,5)π。V＝eq\f(1,3)π·DC2·AD＋eq\f(1,3)π·DC2·BD＝eq\f(1,3)π·DC2·(AD＋BD)＝eq\f(48,5)π.即所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為eq\f(84,5)π，體積為eq\f(48,5)π.能力提升8.體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是()A.54 B.54π C.58 D.58π解析設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得知eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.答案A一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)π B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)π解析由三視圖知，半球的半徑R＝eq\f(\r(2),2)，四棱錐為底面邊長為1，高為1的正四棱錐，∴V＝eq\f(1,3)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π，故選C.答案C10.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，過A1，C1，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD－A1C1D1，且這個幾何體的體積為10，則AA1＝________.解析由題意知VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝2×2·AA1－eq\f(1,3)×eq\f(