高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)課時跟蹤檢測（五十一）古典概型（重點(diǎn)高中）

課時跟蹤檢測（五十一）古典概型(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)1．從兩名男生和兩名女生中任意選兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名女生、星期日安排一名男生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：選A兩名男生分別記為A1，A2，兩名女生分別記為B1，B2，任意選兩人在星期六、星期日參加某公益活動有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，共12種情況，而星期六安排一名女生、星期日安排一名男生有B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，共4種情況，故所求概率P＝eq\f(4,12)＝eq\2．已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,4)x))，a為拋擲一顆骰子所得的點(diǎn)數(shù)，則函數(shù)f(x)在[0,4]上零點(diǎn)的個數(shù)不小于4的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析：選B依題意，函數(shù)f(x)在[0,4]上零點(diǎn)的個數(shù)不小于4等價于函數(shù)f(x)的周期的eq\f(7,4)倍不大于4，即eq\f(7,4)×eq\f(2π,\f(aπ,4))≤4，解得a≥eq\f(7,2)，故a＝4,5,6，而所有a的值共6個，所以函數(shù)f(x)在[0,4]上零點(diǎn)的個數(shù)不小于4的概率為eq\f(1,2).3．(2018·?？诙?已知集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，設(shè)(a，b)為有序?qū)崝?shù)對，其中a是從集合A中任取的一個整數(shù)，b是從集合B中任取的一個整數(shù)，則“a－b∈(A∪B)”的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：選C由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，因為a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12個結(jié)果，即12個基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，設(shè)事件E為“a－b∈(A∪B)”，則事件E包含9個基本事件，故事件E發(fā)生的概率P(E)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).4．先后兩次拋擲同一個骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則a，b,5能夠構(gòu)成等腰三角形的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,18) D.eq\f(2,3)解析：選C基本事件的總數(shù)是36，當(dāng)a＝1時，b＝5符合要求，有1種情況；當(dāng)a＝2時，b＝5符合要求，有1種情況；當(dāng)a＝3時，b＝3,5符合要求，有2種情況；當(dāng)a＝4時，b＝4,5符合要求，有2種情況；當(dāng)a＝5時，b＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6種情況；當(dāng)a＝6時，b＝5,6符合要求，有2種情況．所以能夠構(gòu)成等腰三角形的共有14種情況，故所求概率為eq\f(14,36)＝eq\f(7,18).5．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|a∈M，b∈M))，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選C易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).6．(2018·重慶適應(yīng)性測試)從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，則所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為________．解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，共有10種不同的取法，其中所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的取法共有1＋3＝4種(包含兩種情形：一種情形是所取的3個數(shù)均為偶數(shù)，有1種取法；另一種情形是所取的3個數(shù)中2個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．將編號分別為1,2,3,4的四個小球放入一個袋中，這些小球僅編號不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個小球，其編號記為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個小球，其編號記為b，則不等式a－2b＋4<0成立的概率為________．解析：由題意知(a，b)的所有可能結(jié)果為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．其中滿足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4個．故所求概率P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學(xué)校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．解析：從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結(jié)果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件eq\x\to(N)表示“A1和B1全被選中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率計算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)9．(2018·西安八校聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)，[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1.(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率；(2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率．解：(1)設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x，則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x.依題意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.05.(2)由頻率分布直方圖及(1)得，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[45,55)，[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為0.3,0.2,0.1.用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，則在區(qū)間[45,55)內(nèi)應(yīng)抽取6×eq\f(0.3,0.3＋0.2＋0.1)＝3件，記為A1，A2，A3；在區(qū)間[55,65)內(nèi)應(yīng)抽取6×eq\f(0.2,0.3＋0.2＋0.1)＝2件，記為B1，B2；在區(qū)間[65,75)內(nèi)應(yīng)抽取6×eq\f(0.1,0.3＋0.2＋0.1)＝1件，記為C.設(shè)“從樣本中任意抽取2件產(chǎn)品，這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)”為事件M，則所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15種，事件M包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種，所以這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率P(M)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).10．某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對本次全部數(shù)學(xué)成績按1∶20進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績?yōu)闃颖荆煽冇们o葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計頻數(shù)b頻率a0.25(1)求表中a，b的值及成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率(成績在[90,150]內(nèi)為及格)；(2)若從莖葉圖中成績在[100,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個，求取出兩個樣本數(shù)字之差的絕對值小于或等于10的概率．解：(1)∵由莖葉圖知成績在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130)范圍內(nèi)的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成績在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4＝8，估計這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率為p＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21個基本事件，設(shè)事件A＝“取出的兩個樣本中數(shù)字之差小于等于10”則A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10個基本事件，∴取出的兩個樣本數(shù)字之差的絕對值小于或等于10的概率P(A)＝eq\f(10,21).B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．(2018·長沙二模)一個不透明的袋子裝有4個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2,2，現(xiàn)甲從中摸出1個球記下球上數(shù)字后放回，乙再從中摸出1個球，若誰摸出的球上的數(shù)字大則獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，則在甲獲勝的條件下，乙摸出的球上的數(shù)字為1的概率為()A.eq\f(5,16) B.eq\f(9,16)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：選D記甲摸出的球上的數(shù)字在前，乙摸出的球上的數(shù)字在后，則甲勝的情況有10,20,21,20,21，共5種，其中乙摸出的球上的數(shù)字為1的情況有2種，因此所求概率P＝eq\f(2,5).2．(2018·江南十校聯(lián)考)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)).定義映射f：M→N，則從中任取一個映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32) B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：選C∵集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的6個面的中心分別為E，F(xiàn)，G，H，I，J，甲從這6個點(diǎn)中任選2個點(diǎn)連成直線l1，乙也從這6個點(diǎn)中選2個點(diǎn)連成與直線l1垂直的直線l2，則l1與l2解析：如圖所示，因為正方體6個面的中心構(gòu)成一個正八面體，所以甲、乙連成的兩條直線互相垂直的情況有：IJ⊥EF，IJ⊥GH，IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共15組，其中異面的有：IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共12組，故所得的兩條直線異面的概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)4．我們把形如“3241”形式的數(shù)稱為“鋸齒數(shù)”(即大小間隔的數(shù))，由1,2,3,4四個數(shù)組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則該四位數(shù)恰好是“鋸齒數(shù)”的概率為________．解析：通過畫樹狀圖可知，由1,2,3,4四個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有24個，四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10個，所以四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的概率為eq\f(10,24)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)5．(2018·合肥質(zhì)檢)在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5.甲先從箱子中摸出一個小球，記下球上所標(biāo)數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個小球．(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；(2)若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6，則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？解：用(x，y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25個．(1)設(shè)甲獲勝的事件為A，則事件A包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10個．故所求概率P(A)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).(2)設(shè)甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C.事件B所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10個．則P(B)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5)，所以P(C)＝1－P(B)＝eq\f(3,5).因為P(B)≠P(C)，所以這樣規(guī)定不公平．6．(2018·湖南長郡中學(xué)月考)從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于155cm～195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155,160)、第二組[160,165)、第三組[165,170)、……、第八組[