復數(shù)知識點歸納

復數(shù)【知識梳理】復數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：①可和實數(shù)進行四則運算；②；這樣方程就有解了，解為或2、復數(shù)的概念（1）定義：形如(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，a叫做，b叫做。全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集。復數(shù)通常用字母表示，即(a，b∈R)對于復數(shù)的定義要注意以下幾點：①(a，b∈R)被稱為復數(shù)的代數(shù)形式，其中表示和虛數(shù)單位相乘②復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否則不是代數(shù)形式（2）分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復數(shù)的分類a＋為實數(shù)?b＝0a＋為虛數(shù)?b≠0a＋為純虛數(shù)?a＝0且b≠0例題：當實數(shù)為何值時，復數(shù)是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？復數(shù)相等也就是說，兩個復數(shù)相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等注意：只有兩個復數(shù)全是實數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知求的值共軛復數(shù)和共軛的共軛復數(shù)記作，且復數(shù)的幾何意義復平面的概念建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。復數(shù)的幾何意義復數(shù)和復平面內的點及平面向量是一一對應關系（復數(shù)的實質是有序實數(shù)對，有序實數(shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）相等的向量表示同一個復數(shù)例題：（1）當實數(shù)為何值時，復平面內表示復數(shù)的點①位于第三象限；②位于直線上（2）復平面內，已知，求對應的復數(shù)復數(shù)的模：向量的模叫做復數(shù)的模，記作或，表示點到原點的距離，即，若，，則表示到的距離，即例題：已知，求的值復數(shù)的運算（1）運算法則：設z1＝a＋，z2＝c＋，a，b，c，d∈R（2）幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形12可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即\o(,\s\6(→))＝\o(1,\s\6(→))＋\o(2,\s\6(→))，\o(Z1Z2,\s\6(→))＝\o(2,\s\6(→))－\o(1,\s\6(→)).常用結論（1），，，求，只需將除以4看余數(shù)是幾就是的幾次例題：【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()(2)復數(shù)z＝a＋(a，b∈R)中，虛部為.()(3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()(4)原點是實軸和虛軸的交點.()(5)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.()【考點自測】1.(2015·安徽)設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2015·課標全國Ⅰ)已知復數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在復平面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段的中點，則點C對應的復數(shù)是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i4.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位.若a＋i＝2－，則(a＋)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.已知(1＋2i)\x\(z)＝4＋3i，則z＝.【題型分析】題型一復數(shù)的概念例1(1)設i是虛數(shù)單位.若復數(shù)z＝a－\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A.－3B.－1C.1D.3(2)已知a∈R，復數(shù)z1＝2＋，z2＝1－2i，若\f(z12)為純虛數(shù)，則復數(shù)\f(z12)的虛部為()A.1\f(2,5)D.0(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件引申探究1.對本例(1)中的復數(shù)z，若＝\r(10)，求a的值.2.在本例(2)中，若\f(z12)為實數(shù)，則a＝.思維升華解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉化為復數(shù)的實部和虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.(1)若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2014·浙江)已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋)2＝2i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件題型二復數(shù)的運算命題點1復數(shù)的乘法運算例2(1)(2015·湖北)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復數(shù)為()B.－iC.1D.－1(2)(2015·北京)復數(shù)i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命題點2復數(shù)的除法運算例3(1)(2015·湖南)已知\f(1－i2)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)(\f(1＋i,1－i))6＋\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝.命題點3復數(shù)的運算和復數(shù)概念的綜合問題例4(1)(2015·天津)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為.(2)(2014·江蘇)已知復數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為.命題點4復數(shù)的綜合運算例5(1)(2014·安徽)設i是虛數(shù)單位，\x\(z)表示復數(shù)z的共軛復數(shù).若z＝1＋i，則\f()＋i·\x\(z)等于()A.－2B.－2iC.2D.2i(2)若復數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3，則z的虛部為()A.－4B.－\f(4,5)C.4\f(4,5)思維升華復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復數(shù)的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復數(shù)的運算和復數(shù)概念的綜合題，先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋(a，b∈R)的形式，再結合相關定義解答.(4)復數(shù)的運算和復數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋(a，b∈R)的形式，再結合復數(shù)的幾何意義解答.(5)復數(shù)的綜合運算.分別運用復數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.(1)(2015·山東)若復數(shù)z滿足\f(\x\(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1＋i,1－i)))2016＝.(3)\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),1－i)))2016＝.題型三復數(shù)的幾何意義例6(1)(2014·重慶)實部為－2，虛部為1的復數(shù)所對應的點位于復平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)△的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若復數(shù)z滿足－z1|＝－z2|＝－z3|，則z對應的點為△的()A.內心B.垂心C.重心D.外心思維升華因為復平面內的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應的復數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可.(1)如圖，在復平面內，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是()(2)已知z是復數(shù)，z＋2i、\f(z,2－i)均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z＋)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.【思想和方法】解決復數(shù)問題的實數(shù)化思想典例已知x，y為共軛復數(shù)，且(x＋y)2－3＝4－6i，求x，y.思維點撥(1)x，y為共軛復數(shù)，可用復數(shù)的基本形式表示出來；(2)利用復數(shù)相等，將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題.溫馨提醒(1)復數(shù)問題要把握一點，即復數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復數(shù)問題最基本的思想方法.(2)本題求解的關鍵是先把x、y用復數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學方法.(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復數(shù)問題轉化為實數(shù)方程求解.【方法和技巧】1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.復數(shù)z＝a＋(a，b∈R)是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復數(shù)z＝a＋(a，b∈R)，既要從整體的角度去認識它，把復數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識.3.在復數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則，其方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結合.【失誤和防范】1.判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.2.兩個虛數(shù)不能比較大小.3.注意復數(shù)的虛部是指在a＋(a，b∈R)中的實數(shù)b，即虛部是一個實數(shù).【鞏固練習】1.(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,42.設z＝\f(1,1＋i)＋i，則等于()\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)D.23.(2015·課標全國Ⅱ)若a為實數(shù)，且(2＋)(a－2i)＝－4i，則a等于()A.－1B.0C.1D.24.若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)\f(z,1＋i)的點是()5.(2014·江西)\x\(z)是z的共軛復數(shù)，若z＋\x\(z)＝2，(z－\x\(z))i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2015·江蘇)設復數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為.7.若\f(3＋,1－i)＝a＋(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝.8.復數(shù)(3＋i)m－(2＋i)對應的點在第三象限內，則實數(shù)m的取值范圍是.9.計算：(1)\f(－1＋i2＋i3)；(2)\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)\f(1－i,1＋i2)＋\f(1＋i,1－i2)；(4)\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).10.復數(shù)z1＝\f(3＋5)＋(10－a2)i，z2＝\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若\x\(z)1＋z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值.【能力提升】11.復數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2θ＋(λ＋3θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍是()A.[－1,1]\b\\[\\](\a\4\\1(－\f(9,16)，1))\b\\[\\](\a\4\\1(－\f(9,16)，7))\b\\[\\](\a\4\\1(\f(9,16)，7))12.設f(n)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1＋i,1－i)))n＋\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.無數(shù)個13.已知復數(shù)z＝x＋，且－2|＝\r(3)，則\f()的最大值為.14.設a∈R，若復數(shù)z＝\f(a,1－i)＋\f(1－i,2)在復平面內對應的點在直線x＋y＝0上，則a的值為.15.若1＋\r(2)i是關于x的實系數(shù)方程x2＋＋c＝0的一個復數(shù)根，則b＝，c＝.【鞏固練習參考答案】1A.2.3.4.5.6\r(5).7.3.8<\f(2,3).9.解(1)\f(－1＋i2＋i3)＝\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝\f(i,2＋i)＝\f(i2－i,5)＝\f(1,5)＋\f(2,5)i.(3)\f(1－i,1＋i2)＋\f(1＋i,1－i2)＝\f(1－i,2i)＋\f(1＋i,－2i)＝\f(1＋i,－2)＋\f(－1＋i,2)＝－1.(4)\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝\f(－i,\r(3)＋i)＝\f(－i\r(3)－i,4)＝－\f(1,4)－\f(\r(3),4)i.10.解\x\(z)1＋z2＝\f(3＋5)＋(a2－10)i＋\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(3＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵\x\(z)1＋z2是實數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由復數(shù)相等的充要條件可得\b\\{\\(\a\4\\