概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案

一、必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象一定條件下有確定結(jié)果的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象); (同一型號(hào)的炮彈),各次彈著點(diǎn)可能不盡相同，并且每次射擊之前無法肯定彈察會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果(也就是說，多于一種可能的試驗(yàn)結(jié)果),而且在每次試驗(yàn)試驗(yàn)I:一盒中有十個(gè)完全相同的白球，攪勻后從中摸出一球；試驗(yàn)Ⅱ:一盒中有十個(gè)相同的球，其中5個(gè)白球，5個(gè)黑球，攪勻后從中任對(duì)于試驗(yàn)Ⅱ來說，在球沒有取出之前，不能確定試驗(yàn)的結(jié)果(取出的球)是白球還是黑球，也就是說一次試驗(yàn)的結(jié)果(取出的球)出現(xiàn)白球還是黑球，在試后仍把球放回盒子中攪勻),那么總可以觀察到這樣的事實(shí)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n二、隨機(jī)試驗(yàn)(2)、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，可知道的(在試驗(yàn)之前就可以知道的)并三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象四、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史并且誰先贏c局便是贏家，若一個(gè)賭徒贏a局(a<c),另一賭徒贏b局(b<c)時(shí)終在他們之后，對(duì)于研究這種隨機(jī)(或稱偶然)現(xiàn)象規(guī)律的概率論做出了貢獻(xiàn)被稱為“大數(shù)定律”的一個(gè)定理(貝努里定理)這是研究偶然事件的古典概率論史上第一個(gè)發(fā)表有關(guān)概率論論文的人是貝努里，他于1713年發(fā)表了一篇關(guān)于極究有關(guān)一個(gè)或多個(gè)連續(xù)變化著的參變量的隨機(jī)變數(shù)理論即隨機(jī)過程論，1906年俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾可夫(1856-1922)提出了所謂“馬爾可夫鏈”的數(shù)學(xué)模型對(duì)發(fā)展這一理論做出貢獻(xiàn)的還有柯爾莫哥洛夫(俄國(guó))、費(fèi)勒(美國(guó));1934年俄國(guó)1960年，卡爾門(1930—英國(guó))建立了數(shù)字濾波論，進(jìn)一步發(fā)展了隨機(jī)過程在制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用。概率論的公理化體系是柯爾莫哥洛夫1933年在集合論1、復(fù)旦大學(xué)編概率論第一分冊(cè)概率論第二分冊(cè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)(兩冊(cè))2、中山大學(xué)梁之瞬鄧集賢概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(上下冊(cè))3、南開大學(xué)周概容概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4、浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章事件與概率3、掌握條件概率的定義，并能應(yīng)用有關(guān)條件概率的公式(乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式)計(jì)算概率；4、掌握幾種概型(古典概型、幾何概型、貝努里概型)概率的計(jì)算；1、基本事件例1、例1、一盒中有十個(gè)完全相同的球，分別有號(hào)碼1、2、3……10,從為基本事件(樣本點(diǎn))例1,例2討論的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，是比較簡(jiǎn)單的樣本空間。間取為例如：B發(fā)生(出現(xiàn))必須而且只須下列樣本點(diǎn)之一發(fā)生2、4、6、8、10,如例1中。不可能事件，實(shí)質(zhì)上必然事件就是在每次試驗(yàn)中都發(fā)生的事件，不可能事件就是在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，必然事件與不可能事件的發(fā)生“不確定性”即隨機(jī)性，因而本質(zhì)上不是隨機(jī)事件，但為了討論問題的方便，還例5、例5、一批產(chǎn)品共10件，其中2件次品，其余為正品，從中任取3件則D={三件中至少有一件次品}這些都是隨機(jī)事件而為必然事件對(duì)于這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，基本事件總數(shù)為個(gè)。一就是研究隨機(jī)事件的規(guī)律，通過對(duì)較簡(jiǎn)單事件規(guī)律的研究在掌握更復(fù)雜事件的規(guī)律，為此需要研究事件之間和事件之間的關(guān)系與運(yùn)算。1、事件的包含關(guān)系定義：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含了A,或稱A是B的特款，記作或。比如前面提到過的，這一事件就導(dǎo)致了事件的發(fā)生，因?yàn)槊綐?biāo)號(hào)為6的球意味著偶數(shù)的球出現(xiàn)了，所以可以給上述含義一個(gè)幾何解釋，設(shè)樣本空間是一個(gè)正方體，A,B是兩個(gè)事件，也就是說，它們是的子集，“A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生”意味著屬于A的樣本點(diǎn)在B中由此可見，事件的含義與集合論是一致的。特別地，對(duì)任何事件A例6、例6、設(shè)某種動(dòng)物從出生生活至20歲記為A,從出生到25記2、2、事件的相等設(shè)A,B,若，同時(shí)有，稱A與B相等，記為A=B,易知相等的兩個(gè)事件A,B總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生，在同一樣本空間中兩個(gè)事件想等意味著它們含有相同的樣本點(diǎn)。3、并(和)事件與積(交)事件定義：設(shè)，稱事件“A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”為A和B的和事件或并事件。記作實(shí)質(zhì)上“A或B發(fā)生”若，則例7、例7、設(shè)某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高都合格，則該產(chǎn)品合格。令A(yù)={直徑不合格},B={高度不合格},則={產(chǎn)品不合格}。推廣：設(shè)個(gè)事件，稱“中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件為的并，記作或和事件的概念還可以推廣到可列個(gè)事件的情形。設(shè)，稱“A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件為A和B的積事件或交事件。記作或顯然若，則如例7中，若C={直徑合格},D={高度合格},則={產(chǎn)品合格}。推廣：設(shè)個(gè)事件，稱“同時(shí)發(fā)生”這一事件為的積事件。記作或或同樣積事件的概念也可以推廣為可列個(gè)事件的情形。4.差事件定義：設(shè)，稱“A發(fā)生B不發(fā)生”這一事件為A與B的差事件，記作如例7中={該產(chǎn)品的直徑不合格，高度合格},明顯地有5、對(duì)立事件由此說明，在一次試驗(yàn)中與有且僅有一個(gè)發(fā)生。即不是發(fā)生就是發(fā)生。顯然，由此說明與互為逆事件。例8、設(shè)有100件產(chǎn)品，其中5件產(chǎn)品為次品，從中任取50件產(chǎn)品。記A={50件產(chǎn)品中至少有一件次品}則{50件產(chǎn)品中沒有次品}={50件產(chǎn)品全是正品}由此說明，若事件A比較復(fù)雜，往往它的對(duì)立事件比較簡(jiǎn)單，因此我們?cè)谇髲?fù)雜事件的概率時(shí)，往往可能轉(zhuǎn)化為求它的對(duì)立事件的概率。6、互不相容事件(互斥事件)定義：若兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即，稱A與B為互不相容事件(或互斥注意：任意兩個(gè)基本事件都是互斥的。推廣：設(shè)n個(gè)事件兩兩互斥，稱互斥(互不相容)若A,B為互斥事件，則A,B不一定為對(duì)立事件。但若A,B為對(duì)立事件，則A,A,B互斥。7、事件的運(yùn)算法則1)1)交換律3)3)分配律4)4)對(duì)偶原則或或3)恰有一個(gè)事件發(fā)生4)恰有兩個(gè)事件發(fā)生5)三個(gè)事件都發(fā)生6)至少有一個(gè)事件發(fā)生或3)4)5)之并例10:試驗(yàn)E:袋中有三個(gè)球編號(hào)為1.2.3,從中任意摸出一球，觀察其號(hào)試問：1)E的樣本空間為什么?2)A與B,A與C,B與C是否互不相容? 因?yàn)槲覀冇懻摿耸录g的運(yùn)算“”“”和“-”,如果A,B都是事件，即A,BF,自然要求AB,AB,A-B也是事件，因此，若AF,BF就要求ABF,用集合論的語言來說，就是事件域關(guān)于運(yùn)算“”“”和“-”是封是1)F;2)若AF,則F;在集合論中，滿足上述三條件的集合類稱為布爾代數(shù)(代數(shù))所以事件域是一個(gè)布爾代數(shù)，對(duì)于樣本空間,如果是的一切子集的全體，§概率與頻率那么隨機(jī)事件A(正面朝上)和隨機(jī)事件B(正面朝下)發(fā)生的可能性是一樣的(都為1/2)。又如袋中有8個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取一球。當(dāng)然取到白球的定義：隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量(數(shù)值),稱為A發(fā)生的概率，記為P再來看，擲硬幣的試驗(yàn)，做一次試驗(yàn)，事件A(正面朝上)是否發(fā)生是不確f(A)=A發(fā)生的頻率=頻數(shù)/試驗(yàn)總次數(shù)接近與1/2一般的，設(shè)隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)n次，比值f(A)=n/n稱為事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率實(shí)驗(yàn)者nn蒲豐K.皮爾遜K.皮爾遜試判斷“頻率的極限就是概率”這句話是否正確?即嗎?則由頻率的定義=,,很快可以得到頻率的性質(zhì)，4、不可能事件的頻率為0,=0;6、對(duì)有限個(gè)兩兩互不相容的事件的頻率具有可加性，即若(),則=。§古典概型1)1)樣本空間的元素(基本事件)只有有限個(gè)，不妨設(shè)為n個(gè)，記為，,…,;2)2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有…=。本事件，(正、正),(正、反),(反、正),(反、反),每個(gè)基本事件出現(xiàn)的但將兩枚硬幣一起擲，這時(shí)試驗(yàn)的可能結(jié)果為(正、反),(反、反),(正、正)但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同的，(正、反)出現(xiàn)的可能性為，而其它的而對(duì)此又通常根椐實(shí)際問題的某種對(duì)稱性進(jìn)行理論分析，而不是通過實(shí)驗(yàn)來判利用古典概型的公式計(jì)算事件的概率關(guān)鍵是要求基本事件總數(shù)和的有利事件數(shù)，則需要利用數(shù)列和組合的有關(guān)知識(shí)，例1.例1.在盒子中有五個(gè)球(三個(gè)白球、二個(gè)黑球)從中任取兩個(gè)。問取出的兩個(gè)球都是白球的概率?一白、一黑的概率?分析：說明它屬于古典概型，從5個(gè)球中任取2個(gè)，共有C種不同取法，可以將解：設(shè)A=,B=A的有利事件數(shù)為C,B的有利事件數(shù)為，。例2:在盒子中有十個(gè)相同的球，分別標(biāo)為號(hào)碼1,2,3,……,9,10,從中任則故基本事件總數(shù)n=10令A(yù)=,因而A含有5個(gè)基本事件因而，例3:一套五冊(cè)的選集，隨機(jī)地放到書架上，求各冊(cè)書自左至右恰好成1,2,3,4,5的順序的概率。解：將五本書看成五各球，這就是一個(gè)摸球模型，基本事件總數(shù)5!A包含的基本事件數(shù)為2,例4:從52張撲克牌中取出13張牌來，問有5張黑桃、三張紅心、3張方塊、2令A(yù)表示13張牌中有5張黑桃、3張紅心、3張方塊、2張草花例5:設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去住(n解：因?yàn)槊恳粋€(gè)人有N個(gè)房間可供選擇(沒有限制每間房住多少人),所以n個(gè)二n個(gè)人相同生日問題，n封信裝入n個(gè)信封的問題(配對(duì)問題),擲骰子問例6:某班級(jí)有n個(gè)人(n<365)解：假定一年按365天計(jì)算，將365天看成365個(gè)“房間”,那么問題就歸結(jié)為ln數(shù)達(dá)到50人時(shí)，竟有97%的班級(jí)會(huì)發(fā)生上述事件，當(dāng)然這里所講的半數(shù)以上，有97%都是對(duì)概率而言的，只是在大數(shù)次的情況下(就要求班級(jí)數(shù)相當(dāng)多),例7:在電話號(hào)碼簿中人取一個(gè)號(hào)碼(電話號(hào)碼由7個(gè)數(shù)字組成),求取到的號(hào)解：此時(shí)將0-9這10個(gè)數(shù)子看成“房子”,電話號(hào)碼看成“人”,這就可以歸回的取7次，要求7次取得的號(hào)碼都不相同。例8:從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中等可能地、有放回的連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字，試B=三個(gè)數(shù)字中不含1和5;C=三個(gè)數(shù)字中5恰好出現(xiàn)了兩次；的有利事件數(shù)為，故==B的有利事件數(shù)為(三個(gè)數(shù)只能出現(xiàn)2,3,4),故==剩下的一個(gè)數(shù)只能從1,2,3,4中任意選一個(gè)數(shù)字，有種選法，故C的有利事件數(shù)為，故P(C)==事件D包含了5出現(xiàn)了一次，5出現(xiàn)兩次，5出現(xiàn)三次三種情況或可以轉(zhuǎn)化為求D的對(duì)立事件的概率=三個(gè)數(shù)字中5一次也不出現(xiàn)說明三次抽取得都是在1,2,3,4中任取一個(gè)例9:在這十個(gè)數(shù)字中無重復(fù)地任取4個(gè)數(shù)字，試求取得的4個(gè)數(shù)字能組成四位解：設(shè)A=取得的4個(gè)數(shù)字能組成四位偶數(shù)從10個(gè)數(shù)中任取4個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，共有種排列方式，所以共有個(gè)基本事或先從0,2,4,6,8這5個(gè)偶數(shù)中任選一個(gè)排在個(gè)位上，有種排法，然后從剩下的9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)排在剩下的3個(gè)位置上，有種排法，故個(gè)位上是偶故A的有利場(chǎng)合數(shù)為：-例10:任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方數(shù)的末位數(shù)字是1的概率。0,1,2……,9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，現(xiàn)任取一個(gè)正整數(shù)的含義，就是這十那么A包含的基本事件為2,A=1,9,該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1,則B=1,3,7,9,C=該數(shù)的立方后的最后兩位數(shù)字都是1則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1,設(shè)最后的第二位數(shù)字是a,那么該數(shù)立方的最后兩個(gè)數(shù)字為1和3a個(gè)個(gè)位數(shù)，要使3a的個(gè)位數(shù)為1,必須a=7,應(yīng)而A包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，故P(C)=?！?.4概率的公理化定義及概率的性質(zhì)文件域F和概率P已在前面得到解決。在古典概型中，試驗(yàn)的結(jié)果是有限的，的：在區(qū)域中有任意一個(gè)小區(qū)域A,若它的面積為，則點(diǎn)A落在A中的可能性大為A,則由P()=1可得P(A)=,這一類概率稱為幾何概率。例1:(會(huì)面問題)甲乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)在平面上建立直角坐標(biāo)系(如圖)為a(a>0),向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為1(1<a)的針，試求針與平行線相交的概率。如果投針N次，其中針與平行線相交n次，則頻率為，于是。機(jī)實(shí)驗(yàn)，若記A為該點(diǎn)落入[0,]中這個(gè)事件，而以記該點(diǎn)落在中這一事件。二iii)對(duì)任何事件A,P(A)0二其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用已出現(xiàn)了越來越大的興趣，但是直到那時(shí)為長(zhǎng)將假定公理化，其他結(jié)論則由它演繹導(dǎo)出，在這種背景下，1933年俄國(guó)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在集合與測(cè)度論的基礎(chǔ)上提出了概率的公理化定義這個(gè)結(jié)構(gòu)綜3.3.可列可加性：若F,且兩兩互不相容。有=1)樣本空間；2)事件域(-代數(shù))F;3)概率(F上的規(guī)范測(cè)度)P習(xí)慣上1)1)不可能事件的概率為0,即P()=0;2)2)概率具有有限可加性：即若=(),則=;推論1:若，則P(A)P();推論2:對(duì)任一事件A,P(A);5)對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,有P()=P()+P()-P()推論1:P()P()+P();推論2:設(shè)，,為n個(gè)隨機(jī)事件，則有二推論3:P()+P()+P()+……+P()。定義：對(duì)于F上的集合函數(shù)P,若對(duì)F中的任一單調(diào)不減的集合序列{}有=,則試求P(),P(),P(),P(),P()例2:設(shè)P(A)=p,P(B)=q,P()=r,求P(AB)、P(A)、P()。P(A)=P(A)-P(AB)=p-(p例3.設(shè)ABC為三個(gè)事件，且ABC。證明P(A)+P(B)-P(C)1所以P(A)+P(B)-P(C)P(AB)1例4:設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=。P(AB)=。P(BC)=P(AC)=0求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。從而P(ABC)=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8又P(ABC)P(BC)所以P(AB)+P(AC)-P(BC)P(A)例6:某人一次寫了n封信，又寫了n個(gè)信封，如果他任意將n張信紙裝入n個(gè)信封中問至少有一封信的信紙和信封是一致的概率是多少?解：令A(yù)={第i張信紙恰好裝進(jìn)第i個(gè)信封P(AA)=1/n(n-1)i=1,2,.n同理得=C=P()=…(-1)P(AA…A)當(dāng)n充分大時(shí)，它近似于是1-e時(shí)有P(A)及P(B)即該知道P(AB)。因而很自然要問，能不能通過P(A),P(B)大小排列)的性別分別為(男，男),(男，女),(女，男),(女，女)的可能性記為P(A|B)。1.1.條件概率的定義定義1.若()是一個(gè)概率空間BF,且P(B)>0.有由此可知，對(duì)給定的一個(gè)概率空間()和事件BF,如果P(B)>0,則條二例2:甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,兩地同時(shí)下雨占12%。求：1)兩市至少有一市是雨天的概率；2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市也出現(xiàn)雨天的概率；3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市也出現(xiàn)雨天的概率。解：1)例3:(抽簽問題)有一張電影票，7個(gè)人抓閹決定誰得到它，問第i個(gè)人抓到票個(gè)人有希望在剩下的6個(gè)閹中抓到電影票，所以,例4:有外形相同的球分別裝兩個(gè)袋子，設(shè)甲袋有6只白球，4只紅球，乙袋中有3只白球6只紅球，現(xiàn)在先從每袋中各任取一球再?gòu)娜〕龅亩蛑腥稳∫磺?，顯然導(dǎo)致B發(fā)生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，因此，如果令=先取出的二球有只白球,=0,1,2上例中采用的方法是概率論中頗為有用的方法，為了求比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解為兩個(gè)(或若干個(gè))互不相容的較簡(jiǎn)單的事件的并，求定理1:設(shè)，…….是一列互不相容的事件，且有=,對(duì)任何事件A,有P(A)=證明：見書例5:某工廠有四條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一中產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%,35%,又這四條流水線的不合格品率為5%,4%,3%,及2%,現(xiàn)在從出廠的產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少?()例6:某保險(xiǎn)公司認(rèn)為，人可以分為兩類，第一類是容易出事故的，另一類，30%,那么一客戶在購(gòu)買保險(xiǎn)單后一年內(nèi)出一次事故的概率為多少?()人?指標(biāo)(譬如體溫、脈搏、轉(zhuǎn)氨酶含量等)他想用這類指標(biāo)來幫助診斷，這時(shí)可則=被檢驗(yàn)者未患肝癌還是很少的，(只占%),把P(C|A)=和已知的P(A|C)=及P()=對(duì)比一下是很有解：顯然P(A)=P(B)=P(BA)=P(B|A)=P(B)由此可得P(AB)=P(A)P(B)。驗(yàn)證：Q={(正、正)(正、反)(反、正)(反、反)}A={(正、正)(正、反)}B={(反、正)(正、正)}P(A)=P(B)=P(AB)==令A(yù)={一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩},B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}1)家庭中有兩個(gè)小孩；2)家庭中有三個(gè)小孩。Q={(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)}A={(男、女),(女、男)}B={(男、男),(男、女),(女、男)}AB={(男、女),(女、男)}2)有三個(gè)小孩的家庭，樣本空間Ω={(男、男、男),(男、男、女),(男、女、男),(女、男、男)(男、女、女),(女、女、男),(女、男、女),(女、女、女)}。由等可能性可知，這8個(gè)基本事件的概率都是，這時(shí)A包含了6個(gè)基本事顯然P(AB)=P(A)P(B),從而A與B相互獨(dú)立。定義2、設(shè)三個(gè)事件A,B,C滿足二二定理2設(shè)相互獨(dú)立，則將其中任意m個(gè)(1)換成其對(duì)立事件，則所得n個(gè)事件二1/3,1/4,試求(1)恰有一人解出的概率；(2)難題被解出的概率。則A=例8.如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r,0<r<1,且各元件能否正常工作是1)每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；2)每次試驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果：事件A和事件；3)每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同即P(A)=p,P()=1-p=q。稱試驗(yàn)E表示的數(shù)學(xué)模型為貝努里概型。若將試驗(yàn)做了n次，則這個(gè)試驗(yàn)如果要求“n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次”這一事件的概率記{n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次}。在n貝努里試驗(yàn)。事件A至少發(fā)生一次的概率為1-。例1.例1.金工車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電功率為10千瓦，已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)12分鐘，且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的，現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏┚o張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺(tái)機(jī)床。問這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大?解：50千瓦電力可用時(shí)供給5臺(tái)機(jī)床開動(dòng)，因而10臺(tái)機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)為況，且開動(dòng)的概率為12/60=1/5。不著的機(jī)床臺(tái)數(shù)為，則0于是同時(shí)開動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)不超過5臺(tái)的概率為二由此可知，這10臺(tái)機(jī)床能正常工作的概率為，也就是說這10臺(tái)機(jī)床的工作例2.例2.某人有一串m把外形相同的鑰匙其中只有一把能打開家門。有一天解：因?yàn)樵撊嗣看螐膍把鑰匙中任取一把(試用后不做記號(hào)又放回)所以能打開在第k次才把門打開，意味著前面k-1次都沒有打開，于是由獨(dú)立性即得P(第k次才把門打開)=…=例3.(巴拿赫火柴問題)某數(shù)學(xué)家常帶有兩盒火柴(左、右袋中各放一盒)每多少?(r=0.1.2.…,N,N為最初盒子中的火柴數(shù))N-r次失敗發(fā)生在第2N-r根火柴，其中從左袋中取了N根，并且在2N-r+1次取由對(duì)稱性首次發(fā)現(xiàn)右袋中沒有火柴而左袋中恰有r根的概率為第一章習(xí)題課1)描述性定義2)統(tǒng)計(jì)定義3)公理化定義例題例2.例2.某人一次寫了n封信，又寫了n個(gè)信封，如果他任意將n張信紙裝解：令={第I張信紙恰好裝進(jìn)第I個(gè)信封}i=.….n1=1-…當(dāng)n充分大時(shí)，它近似于1-這就是歷史上有名的“匹配問題”或“配對(duì)問題”例3.甲、乙兩個(gè)人擲均勻的硬幣，其中甲擲了n+1次，乙擲n次求甲擲出正面例4:一個(gè)人把6根草緊握在手中，僅露出它們的頭和尾，然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接，求放開手后6根草恰巧連接一個(gè)環(huán)的概率，并把上述結(jié)果推廣解：6根草取它的一個(gè)頭，它可以與其它5個(gè)頭之一相接，再取一頭又可以與其所以P(A)==例5:將3個(gè)小球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中求盒子中球的最多個(gè)數(shù)分別為1,2,3解：這是一個(gè)古典概型問題，3個(gè)球放入4個(gè)盒子中是有重復(fù)的排列，總方法有種(1)、盒子中球的最多個(gè)數(shù)為1,即3個(gè)球分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中包二(2)盒子中球的最多個(gè)數(shù)為2,即3個(gè)球分別放入2個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中，放法為，其中一個(gè)盒子中有2個(gè)球，另一個(gè)盒子中有1個(gè)球，這一個(gè)球從3個(gè)球中任取，取法為組合數(shù)為，所以該事件包含的基本事件數(shù)為：=36(3)盒子中球的最多個(gè)數(shù)為3,即3個(gè)球分別放入4個(gè)盒子中的1個(gè)盒子中，二例6:已知一個(gè)母雞生k個(gè)蛋的概率為，而每一個(gè)雞蛋能孵化成小雞的概率為p,求一個(gè)母雞恰有r個(gè)后代(小雞)的概率。利用全概率公式有二二二二二二二第二章離散型隨機(jī)變量黑)從中任取三球，則取到的黑球數(shù)可能為0,1,2本身就是數(shù)量且隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的。又如在“n重貝努里事件A出現(xiàn)k次”這一事件可以簡(jiǎn)記為(ξ=k),從而有可能出現(xiàn)的次數(shù)0,1,2,……n,有些初看若試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)正面，令n=1,從而{試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)正面}=(n=1);若試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)反面，令n=0,從而{試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)反面}=(n=0)。發(fā)生聯(lián)系在上面的例子中，我們遇到了兩個(gè)隨機(jī)變量ξ,n,這兩個(gè)變量取什么值，為對(duì)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果の都有函數(shù)ξ(ω)與之對(duì)應(yīng)，所以ξ(ω)的定義域是樣本定義1:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果(樣本點(diǎn))ω唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱實(shí)變量為隨機(jī)變量，通常用希臘字母或大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量，取值為0,1,2……例5:設(shè)袋中有五個(gè)球(3個(gè)白球2個(gè)黑球)從中任取兩球，則取到的黑球數(shù)為隨機(jī)變量，的可能取值為0,1,2。二二二或012如果離散型隨機(jī)變可能取值為()相應(yīng)的取值的概率稱也可以用下列表格或矩陣的形式來表示，稱為隨機(jī)變量的分布于是的分布列為非負(fù)性：1)….規(guī)范性：2)發(fā)生的概率均可由分布列算出，因?yàn)?)=其中例7:設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：解：的分布列為P(=i)=c解：的可能取值為0,1,2,3……m例9:拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0<p<1解：的所有可能取值為2,3……設(shè)的分布列為10pq稱服從兩點(diǎn)分布或0—1分布或貝努里分布。3.二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P()=k=0.1.2…n稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布認(rèn)為～b(k;n,p)大家可以發(fā)現(xiàn)二點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布在n=1的情形。4.幾何分布在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為q=1-p,設(shè)試驗(yàn)進(jìn)行到第次才出現(xiàn)成功。的分布列為P(k=…)是幾何級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。因此稱它為幾何分布記為～g(k;p)。5.普哇松(Poisson)分布觀察電信局在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，某公共汽車站在單位時(shí)間內(nèi)來站乘車的乘客數(shù)等。可用相應(yīng)的變量表示，實(shí)踐表明的統(tǒng)計(jì)規(guī)律近似地為P()k=0其中>0是某個(gè)常數(shù)，易驗(yàn)證也就是說，若的分布列為P()k=0.1.2…()稱服從參數(shù)為的普哇松(Poisson)分布，記為～p(k;)在很多實(shí)踐問題中的隨機(jī)變量都可以用Poisson分布來描述。從而使得(Poisson定理)在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為(與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān))。若當(dāng)時(shí)(>0常數(shù))。則有這個(gè)定理在近似計(jì)算方面有較大的作用，在二項(xiàng)分布中，要計(jì)算b(k;n,p)=,當(dāng)n和k都比較大時(shí)。計(jì)算量比較大，若此時(shí)np不太大(即p較小)那么由Poisson定理就有b(k;n,p)其中而要計(jì)算有專用的Poisson分布表例10.已知某中疾病的發(fā)病率為1/1000,某單位共有5000人，問該單位患有這其中b(k;5000,1/1000)=可以利用Poisson定理p()=1-p()查Poisson分布表得于是p()。例11.由該商店過去的銷售記錄知道，某中商品每月銷售數(shù)可以用參數(shù)的Poisson分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?解：設(shè)該商店每月銷售某種商品件，月底的進(jìn)貨為a件則當(dāng)()時(shí)就不會(huì)脫銷。因而按題意要求為又查Poisson分布表得于是這家商店只要在月底進(jìn)貨某種商品15件(假定上月沒有存貨)就可以以95%的把握保證這種商品在下個(gè)月不會(huì)脫銷。一、多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布列定義1.設(shè)是樣本空間上的n個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱n維向量()是上的一個(gè)n維離散型隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。對(duì)于n維隨機(jī)變量而言，固然可以對(duì)它的每一個(gè)分量分別研究，但我們可以將它看成一個(gè)向量，則不僅能研究各個(gè)分量的性質(zhì)，而且更重要的是要考慮它們之間的聯(lián)系。下面主要討論二維離散型隨機(jī)變量。設(shè)()是二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取值為()i,j=1,2…與一維時(shí)的情形相似，人們也常常習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分與一維時(shí)的情形相似，人們也常常習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用下面表格形式表示2.聯(lián)合分布的性質(zhì)容易證明二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布具有下面的性質(zhì)：1)非負(fù)性：i,j=1,2…2)規(guī)范性：二.邊際分布(邊緣分布)設(shè)()為二維離散型隨機(jī)變量，它們的每一個(gè)分量的分布稱為()關(guān)于的邊際分布，記為與。若()的聯(lián)合分布為i,j…由此可以發(fā)現(xiàn)，由聯(lián)合分布列可以唯一確定邊際分布，反之，由邊際分布不能唯一確定聯(lián)合分布(反例在下面舉)。大家可以發(fā)現(xiàn)，邊際分布列的求法只須在聯(lián)合分布列{}的右方加了一列，一列中的對(duì)i相加而得到恰好就是邊際分布列，這也是邊際分布列名稱的來歷。即落入第1號(hào)中球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)為，求()的聯(lián)合分布列解：的可能取值為0.1.2.3(首先確定()的所有可能取值(i,j))然后利用所以()的聯(lián)合分布列0123例2.把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1.2.3的三個(gè)盒子中，解：()的可能取值為(i,j=0.1.2.3)0123例3.袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，現(xiàn)進(jìn)行有放回(無放回)摸球，求()的聯(lián)合分布列與邊際分布列：解：無放回()的聯(lián)合分布列為12有放回()的聯(lián)合分布列為12定義3:設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，的可能取值為成立則的可能取值為1或0,對(duì)或0()明對(duì)()的所有取值，都有。個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)，下面就研究如何根據(jù)隨機(jī)變量的分布列(或聯(lián)合分布列)來求變量，當(dāng)取值a時(shí)，它取值y=g(a)稱為隨機(jī)變量的函數(shù)，記為=g()若的分布列為，現(xiàn)求=f()的分布列。1.若隨機(jī)變量取不同的值時(shí)，隨機(jī)變量函數(shù)=g()也取不同的5求=的分布列。解：的可能取值為1,3,5,7,9,11,它們互不相同，5求=的分布列。解：的可能取值為0,1,4,9它們有相同的。9布列則有=例3:設(shè)，是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為和的Poisson分布求的分布列。=二此例說明了Poisson分布對(duì)加法具有封閉性。類似地可以證明二項(xiàng)分布也是一個(gè)可加性分布，即若,是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，則。例4:設(shè)，為獨(dú)立分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為：§數(shù)學(xué)期望的定義及性質(zhì)一、數(shù)學(xué)期望的概念日走時(shí)誤差定義1:設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，其分布列為，則當(dāng)時(shí)稱存在數(shù)學(xué)期望(均值),并且數(shù)學(xué)期望為=設(shè)的分布列為，則設(shè)的分布列為設(shè)的分布列為則定理1:設(shè)為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為又g(x)是實(shí)變量x的單值函數(shù)，如果(既絕對(duì)收斂),則有=定理2:若()是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為又g(x,y)是實(shí)變量x,y的單值函數(shù)，如果例3、隨機(jī)變量的分布列為例3、隨機(jī)變量的分布列為解：=四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1、若，則存在，而且有。特別，若C為一個(gè)常數(shù)，則EC=C2、對(duì)任一二維離散型隨機(jī)變量(),若存在，則對(duì)任意實(shí)數(shù)一般地3、若與相互獨(dú)立，則。例4:若～,,求：E(3-5),E(2+3)例5:若隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望解：令i=…n于是由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即得所以一.方差的概念若的分布列為2.方差的計(jì)算公式二.幾種常用分布的方差1.退化分布=1c為常數(shù)E=CD=0即常數(shù)的方差為02.兩點(diǎn)分布設(shè)的分布列為10p二項(xiàng)分布~b(k;n,p)三.方差的性質(zhì)十二其中是表示在“”如果()的聯(lián)合分布列已知，則邊際分布列為：從而反過來，如果已知，(或，)也可求得聯(lián)合分布列顯然當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí),。生在第次的概率都是,因?yàn)橐簿褪钦f在已知的條件下，的取值為1,2……,當(dāng)給定時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)可能取值就有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，因而第三章連續(xù)型隨機(jī)變量一、教學(xué)目的與要求隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的異同。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)差的有關(guān)概念。教學(xué)難點(diǎn)是協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的有關(guān)計(jì)算，及卷積公式的應(yīng)用。第三章連續(xù)型隨機(jī)變量1)非負(fù)性：2)單調(diào)性：若則3)若4)極限性5)左連續(xù)性2)、4)、5)是分布函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)，反過來還可以證明任一個(gè)滿足隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，既然分布函數(shù)能夠全面地描述一般的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)設(shè)為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的分布列為10Pq求的分布函數(shù)F(x)。例3、設(shè)的分布列為2當(dāng)當(dāng)例5.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求1)常數(shù)A,B;2)P(。解：1)由極限性得從而解于是例6.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，求：1)常數(shù)A;2)落在上的概率。解：1)左連續(xù)故§連續(xù)型隨機(jī)變量一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念1、定義定義：設(shè)是隨機(jī)變量，是它的分布函數(shù)，如果存在可能函數(shù)使得對(duì)任意的，有，2、密度函數(shù)的性質(zhì)1)非負(fù)性：2)規(guī)范性：反過來，定義在R上的函數(shù)，如果具有上述兩個(gè)性質(zhì)，即可定義一個(gè)分布函密度函數(shù)除了上述兩條特征性質(zhì)外，還有如下一些重要性質(zhì)：3)在R上連續(xù)，且在的連續(xù)點(diǎn)處，有，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)和密度函數(shù)可以相互確定，因此密度函數(shù)也完全刻畫了連續(xù)型隨機(jī)變量的分布規(guī)律。4)設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有這表明連續(xù)型隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為0,這與離散型隨機(jī)變量有本質(zhì)的區(qū)5)對(duì)任意積為1。試求1)常數(shù)c;2)的分布函數(shù)；解：1)由密度函數(shù)的性質(zhì)可知即試求1)常數(shù)c;2)分布函數(shù)F(x);3)。解：1)由密度函數(shù)的性質(zhì)2)當(dāng)當(dāng)于是所以隊(duì)打電話的人中，后一個(gè)人等待前一個(gè)人的時(shí)間(1)超過10分鐘；(2)10分從而從而，若，則上的n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量，并稱n元函數(shù)顯然3)對(duì)任意x和y,有4)對(duì)任意和(,其中有3、邊緣(邊際)分布函數(shù)求：1)常數(shù)A,B,C;2)邊際分布函數(shù)。解：1)由定義2:設(shè)為一個(gè)二維隨機(jī)變量，為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在可積函數(shù)，使對(duì)1)非負(fù)性：2)規(guī)范性：3)若在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，是相應(yīng)的分布函數(shù)則有。求：1)常數(shù)C;2)分布函數(shù)F(x,y);解：1)由聯(lián)合密度的性質(zhì)解得c=4于是1、均勻分布設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A,令則是一個(gè)密度函數(shù)，以為密度函數(shù)的二維聯(lián)合分布稱為區(qū)域G上的均勻分布。若服從區(qū)域G上的均勻分布，則G中的任一(有面積)的子區(qū)域D,有。其中是D的面積。上式表明二維隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)域D的概率與D的面積成正比，而與在G中由此可知“均勻”分布的含義就是“等可能”的意思。特別的若服從G上的均勻分布，其聯(lián)合密度函數(shù)為相應(yīng)的邊際密度2、二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從二維正態(tài)分布，記為，習(xí)慣上稱為二維正態(tài)向量，由的聯(lián)合分布可以求得邊際密度函數(shù)分別為則兩個(gè)二維正態(tài)分布是不相同的。但由上面可以知道它們有完全相同的邊際分能唯一確定她們的聯(lián)合分布，此外即使兩個(gè)邊際分布都是正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合分布還可以不是二維正態(tài)分布。例3、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求邊際密度函數(shù)。同理例4、設(shè)服從G上的均勻分布。試問它們是否相互獨(dú)立?若G為矩形區(qū)域呢?定義4、設(shè)n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為其中解：當(dāng)y當(dāng)在n=1時(shí)的特例，也就是說N(0,1)變量的平方是自由度為1的變量。例3、設(shè)與相互獨(dú)立且都服從N(0,1)證明故如果是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，每一個(gè)都服從N(0,1),由例2可知每自由度為n的分布，即n個(gè)相互獨(dú)立的N(0,1)的平方和是一個(gè)參數(shù)為n的分解：的密度函數(shù)為上式的密度函數(shù)的分布稱為參數(shù)為n,m的F-分布，記作F(n,m)它是數(shù)理比較(*)與(**)可知其中J與對(duì)F(u,v)求導(dǎo)，得(U,V)的聯(lián)合密度為(其余為0)且，的數(shù)學(xué)期望是的可能取值(關(guān)于概率)的平均，這里要求道理與離散型隨機(jī)1)均勻分布設(shè)，則2)指數(shù)分布設(shè)，則3)正態(tài)分布設(shè)，則，事實(shí)上4)分布這里用到定理3、若為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x),又f(x)為實(shí)變且則定理4、設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為例2、過單位圓上一點(diǎn)P作任意弦PA,PA與直徑PB的夾角服從均勻分布，性質(zhì)2與性質(zhì)3可以推廣到任意有限個(gè)情形1)均勻分布設(shè)2)指數(shù)分布3)正態(tài)分布設(shè)，則。4)分布設(shè)由此可知P()=0從而其中常數(shù)a即為。4)若相互獨(dú)立，則。定義4、若(為一個(gè)二維隨機(jī)變量，且稱2)的充要條件是以概率為1線性相關(guān)，即存在常數(shù)a,b使得例5、設(shè)則(期望)就是一階原點(diǎn)矩。第四章大數(shù)定律與中心極限定理二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是講清大數(shù)定律的條件、結(jié)論和中心極限定理的條件、定理的應(yīng)用。對(duì)所有的樣本點(diǎn)都成立?件()還是有可能發(fā)生的，不過當(dāng)n很大時(shí)，事件()發(fā)生的可能性很小。例如，對(duì)上面的，有。若將(4)式中的換成常數(shù)列，即得大數(shù)定律的一般定義。證明見書196頁。推論(貝努里大數(shù)定律):設(shè)是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每證：設(shè)由假定，獨(dú)立同分布(均服從二點(diǎn)分布)井證明：表明對(duì)充分大的n,的方差存在即(*)式稱為馬爾可夫條件。故服從大數(shù)定律(馬爾可夫大數(shù)定律)。以上大數(shù)定律是以契貝曉夫不等式為基礎(chǔ)的，所以要求隨機(jī)變量的方差存在，通過進(jìn)一步研究，我們發(fā)現(xiàn)方差存在的條件并不定理(辛欽大數(shù)定律)設(shè)是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望存在問(1)的數(shù)學(xué)期望及方差是否存在?(2)是否服從大數(shù)定律?解：(1)因?yàn)楣实臄?shù)學(xué)期望存在。又因?yàn)楣实姆讲畈淮嬖凇?2)由(1)知存在，故滿足辛欽大數(shù)定律的條件，問：(1)是否滿足契貝曉夫大數(shù)定律的條件?(2)是否滿足辛欽大數(shù)定律的條件?一個(gè)物體的某指標(biāo)值，可以獨(dú)立重復(fù)地測(cè)量n次，得到一組數(shù)據(jù)：,當(dāng)n充分大§隨機(jī)變量序列的兩種收斂性P()=0,其中或等價(jià)于(,試證：(,由契貝曉夫不等式二,由則中至少有一個(gè)成立，即于是即2)、設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量序列，,b為常數(shù)，若且在g(x,y)在點(diǎn)(a,b)處連續(xù)，證明方法類似于1)F(x),并記作相定理5隨機(jī)變量序列§中心極限定理定理7:(德莫佛—拉普拉斯)極限定理在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為(0<<1),為n定理8:(林德貝爾格-勒維)中心極限定理三、應(yīng)用設(shè)是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則～,對(duì)任意有當(dāng)n很大時(shí)，直接計(jì)算很困難。這時(shí)如果不大(即p較小時(shí)接近與0)或不大(即p接近于1)則用普阿松近似公式來計(jì)算當(dāng)p不太接近于0或1時(shí)，可用正態(tài)分布來近似計(jì)算例1、已知紅黃兩種番茄雜交的第二代結(jié)紅果的植株與結(jié)黃果的植株的比率為3:1,現(xiàn)種植雜交種400株，求結(jié)黃果植株介于83到117之間的概率。概率；種植雜交種400株，相當(dāng)于做了400次貝努里試驗(yàn)若記為400株雜交種結(jié)黃果的株數(shù)，則~故結(jié)黃果植株介于83到117之間的概率為解得所以總機(jī)至少備有16條外線，才能以95%的把握保證各個(gè)分機(jī)使用外線時(shí)那么對(duì)給定的和較大的，究竟有多大?對(duì)充分大的,故第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念本章的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)都是正態(tài)總體的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的分布。 二維隨機(jī)向量()可能取值的全體看成一個(gè)母體。簡(jiǎn)稱二維母體。這二維隨機(jī)變隨機(jī)抽樣。假如我們抽取了n個(gè)個(gè)體，且這n個(gè)個(gè)體的某一指標(biāo)為()稱這幾個(gè)觀測(cè)到()的一組確定的值()稱為容量為n的子樣的觀測(cè)值(或數(shù)據(jù))。在隨機(jī)抽樣中，每個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量，從而我們可以把容量為n的子樣()看成一個(gè)n維隨機(jī)向量，容量為n的子樣的觀測(cè)值()可以看成一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的提出一些要求。最簡(jiǎn)單的抽取的子樣必須具有(1)代表性；(2)隨機(jī)性。具體地說若()為來自母體的一組子樣，且滿足2)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。由此可見是一個(gè)分布函數(shù)，稱作經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(或子樣分布函數(shù))對(duì)于每一個(gè)固定的x,是事件“”發(fā)生的概率，當(dāng)n固定時(shí)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，據(jù)貝努定義1、一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是子樣的一個(gè)函數(shù)，如果子樣容量為n,它也就是n個(gè)隨機(jī)2、常用統(tǒng)計(jì)量定義2、是由母體取出的容量為n的子樣，統(tǒng)計(jì)量稱為子樣方差；統(tǒng)計(jì)量稱為子樣的k階原點(diǎn)矩；統(tǒng)計(jì)量稱為子樣的k階中心矩；若是子樣()的一組觀測(cè)值定理2、設(shè)母體服從，()是取自這個(gè)母體的一個(gè)子樣，則服從正態(tài)分布。則1)相互獨(dú)立；2)服從自由度為n-1的分布。度為n-1的t變量，它服從t(n-1)分布第六章點(diǎn)估計(jì)1、掌握對(duì)母體未知參數(shù)的矩估計(jì)法與極大似然方差無二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)第六章點(diǎn)估計(jì)估計(jì)量將穩(wěn)定于真值，由于對(duì)同一個(gè)待估參數(shù)可以構(gòu)造許多估計(jì)量，但又不是偏估計(jì)量若一個(gè)估計(jì)不一定無偏的,但當(dāng)則稱的漸進(jìn)無偏估計(jì)。例4、設(shè)母體，為未知參數(shù)，稱的矩估計(jì)量，并判斷是否為的無偏估計(jì)3、有效性在例5中，均為的無偏估計(jì)，哪這n個(gè)無偏估計(jì)中哪個(gè)更有效呢?界?在什么條件下下界存在?下面我們就來討論建立一個(gè)方差下界的羅一克拉定理1、(羅一克拉美不等式)設(shè)為取自具有概率函數(shù)的母體的一個(gè)子樣，a,b1)集合無關(guān)；2)存在，且對(duì)一切3)令稱為信息量，則概率1成立有時(shí)我們稱滿足上述兩個(gè)正則條件1)和2)的估計(jì)量為正規(guī)估計(jì)，由此我的一些性質(zhì)20世紀(jì)初才由費(fèi)歇所研究，因此人們常常把這種方法的建立歸功于教學(xué)目的4、使學(xué)員能熟練將本章所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、教改和§假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念說明例在進(jìn)行一項(xiàng)教學(xué)方法改革實(shí)驗(yàn)之前，我們可以在同一年級(jí)隨機(jī)抽取30取得全年級(jí)的平均成績(jī)?chǔ)?標(biāo)準(zhǔn)差0和30人樣本的平均分。根據(jù)這些資料，如這里的問題，也只需檢驗(yàn)是否有μ>μ,仿上面的例，我們先作待檢假設(shè)：H:μ=μ。(1500)并稱H:μ>μ。我們是想根據(jù)抽取的樣本(這里抽取的是容量為25的樣本)來檢驗(yàn)H是否為真，如不真則接受備擇假設(shè)H。的假設(shè)，常作為備擇假設(shè)，用H表示。而H的對(duì)立面稱為零假設(shè)或待檢假設(shè)，接檢驗(yàn)H的真實(shí)性一般是比較困難的，因此我們總是通過檢驗(yàn)H的不真實(shí)性來證明H的真實(shí)。當(dāng)我們推斷出H不真時(shí)，就認(rèn)為H是真實(shí)的，從而拒絕H,接受H,而認(rèn)為H為真時(shí)就接受H,認(rèn)為H不真。像上面兩例這類只對(duì)總體分布=1675>1500造成這種差異有兩種可能，一種可能是采用新工藝后，確實(shí)有μ>K時(shí)就認(rèn)為H不真，而接受H,反之若-μ≤K,則接受H,這就是假設(shè)檢驗(yàn)的再回到例取α=由(3)給定顯著性水平α,并在H為真的假定下，由U的分布確定出臨率不超過α,即記為β,即設(shè),……,為取自正態(tài)母體N(μ,o)的一個(gè)子樣，02=為已知常數(shù)，對(duì)給定的水平α由=α,查表得臨界值，確定出拒絕域?yàn)镃={},其中u為例(見書P315—316)由{}=查表得因?yàn)槿∽阅阁wN(μ,σ?)的子樣，需檢驗(yàn)，般成年男子有無顯著差異?(=計(jì)算t值：設(shè)，……,是取自正態(tài)母體N(μ,o2)的子樣，,,……,是取自正態(tài)由的系3,所示的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tt(n+n-2)當(dāng)T的觀察值t則拒絕H,否則接受H例(見書P319-P320)拒絕域?yàn)镃=在實(shí)際應(yīng)用中，如遇兩個(gè)獨(dú)立子樣的容量都較大(均超過30)這時(shí)可不管獨(dú)例對(duì)7歲兒童作身高調(diào)查結(jié)果如下所示，能否說明性別對(duì)7歲兒童的身高有人數(shù)(n)平均身高()標(biāo)準(zhǔn)差男女所以在=下，拒絕H,接受H,即認(rèn)為性別對(duì)7歲兒童的身高有顯著影響。對(duì)于兩個(gè)來自非正態(tài)總體的獨(dú)立樣本，其中至少一個(gè)的容量小于30時(shí)，則以上討論的U-檢驗(yàn)和T-檢驗(yàn)都是關(guān)于均值的檢驗(yàn)，現(xiàn)在來討論正態(tài)母體方設(shè)，……,為取自正態(tài)母體N(μ,σ2)的子樣，需檢驗(yàn)假設(shè)H:(現(xiàn)分別對(duì)由給定的水平，由P{k≤≤k}=1-,查表定出臨界值k,k?及拒絕域，接受H的判斷。例(書P322)此為單側(cè)檢驗(yàn)H:02=:σ?>~N(U,02),n~N(u,o2)且相互獨(dú)立，分別從，n中取得子樣二對(duì)給定的水平，由()=(查分布表定出臨界值，進(jìn)而確定出拒絕域()()視統(tǒng)計(jì)量的觀察值是否落(1)提出假設(shè):(2)定臨界值由(3)計(jì)算f值(2)計(jì)算臨界值分布表得(24)=