超幾何分布高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七章隨機(jī)變量及其分布7.4.2超幾何分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布課標(biāo)要求1.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值.2.能用超幾何分布解決簡單的實(shí)際問題.素養(yǎng)要求通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究11.問題已知4枚骰子中有2枚質(zhì)地不均勻，某人從中任取2枚，記取出質(zhì)地不均勻的骰子的個(gè)數(shù)為X.試問： (1)取出質(zhì)地不均勻的骰子的個(gè)數(shù)X的取值是多少？提示

X的取值可以為0，1，2.(2)取出的2枚骰子中有1枚質(zhì)地不均勻的概率是多少？有2枚質(zhì)地不均勻的概率是多少？(3)取出的2枚骰子中有質(zhì)地不均勻的骰子的概率是多少？2.填空(1)一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.np溫馨提醒

(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”.(2)超幾何分布的特點(diǎn)：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實(shí)質(zhì)是古典概型.B3.做一做(1)一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為(

)解析

設(shè)取到的次品數(shù)為X，則X服從超幾何分布.(2)從裝有大小、質(zhì)地相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取2個(gè)球，設(shè)其中有ξ個(gè)紅球，則E(ξ)＝________.√4.思考辨析正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”.(1)從4名男演員和3名女演員中隨機(jī)選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(2)超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望值都為np.(

)(3)在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”等.(

)(4)一個(gè)箱子中有6個(gè)白球，8個(gè)紅球，從中隨機(jī)有放回地摸出4個(gè)球作為樣本，用X表示樣本中白球的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布.()提示

是有放回地摸取，X服從二項(xiàng)分布.√√×研析題型關(guān)鍵能力提升2(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；題型一超幾何分布的概率計(jì)算解設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人.(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率.解由題意可知，ξ服從超幾何分布，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)1.超幾何分布是一種常見的隨機(jī)變量的分布，所求概率分布問題由明顯的兩部分組成.2.超幾何分布的概率計(jì)算公式給出了求解這類問題的方法，可以直接運(yùn)用公式求解，但是不能機(jī)械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進(jìn)行記憶.思維升華訓(xùn)練1

生產(chǎn)方提供一批50箱的產(chǎn)品，其中有2箱不合格.采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格，便接收該批產(chǎn)品，則該批產(chǎn)品被接收的概率為________.解析

設(shè)X表示取出5箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)，則X服從超幾何分布，其中N＝50，M＝2，n＝5.這批產(chǎn)品被接收的條件是X＝0或1，例2

袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機(jī)抽取球，設(shè)取到1個(gè)紅球得2分，取到1個(gè)黑球得1分，現(xiàn)從袋中任取4個(gè)球. (1)求得分X的分布列；題型二超幾何分布的分布列解從袋中任取4個(gè)球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共4種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5，6，7，8.(2)求得分大于6分的概率.解根據(jù)隨機(jī)變量的分布列可以得到大于6分的概率為求超幾何分布的分布列的步驟思維升華訓(xùn)練2

從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng). (1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)X的分布列.解X的可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，∴X的分布列為題型三超幾何分布的綜合應(yīng)用例3

某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；解設(shè)A＝“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”，(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.解依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機(jī)變量X的可能值為0，1，2，3，所以隨機(jī)變量X的分布列是1.求解超幾何分布的分布列與均值：(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，代入公式計(jì)算隨機(jī)變量取值的概率.(2)求分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值.思維升華訓(xùn)練3

在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品.某顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張. (1)求顧客甲中獎(jiǎng)的概率；解顧客甲中獎(jiǎng)即所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)，(2)設(shè)顧客甲獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.解Y的所有可能取值為0，10，20，50，60，因此隨機(jī)變量Y的分布列為因此顧客甲獲得獎(jiǎng)品總價(jià)值的期望為16元.課堂小結(jié)1.明確超幾何分布的三個(gè)特點(diǎn)，理解超幾何分布的概念.2.掌握兩種方法：(1)若X服從超幾何分布，代入概率公式計(jì)算概率，得分布列.(2)利用數(shù)學(xué)期望的公式求超幾何分布的期望.3.常見誤區(qū)：在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中，如果采用的是不放回抽樣，則抽到的次品數(shù)服從超幾何分布；如果采用放回抽樣，則服從二項(xiàng)分布.分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成31.(多選)關(guān)于超幾何分布，下列說法正確的是(

)ACDA.超幾何分布的模型是不放回抽樣B.超幾何分布的總體里可以有兩類或三類C.超幾何分布中的參數(shù)是N，M，nD.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成解析

由超幾何分布的定義易知A，C，D均正確，因?yàn)槌瑤缀畏植嫉目傮w里只有差異明顯的兩類，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.2.設(shè)袋中有8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中至多3個(gè)紅球的概率為(

)D解析

從袋中任取4個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)X服從參數(shù)為N＝12，M＝8，n＝4的超幾何分布，故至多3個(gè)紅球的概率為P(X≤3)X服從超幾何分布，C4.學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，其中高二(1)班有4名候選人，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù)，則E(X)等于(

)D解析

法一(公式法)由題意得隨機(jī)變量X服從超幾何分布n＝2，M＝4，N＝10，法二由題意知，X的可能取值為0，1，2，則X的分布列為5.(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是(

)ACDA.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB.從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)XC.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)摸球的總次數(shù)解析

由超幾何分布的定義可知B為超幾何分布，其余不是超幾何分布.6.某手機(jī)經(jīng)銷商從已購買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動(dòng)，這20人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝__________.7.袋中裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得3分，取到1個(gè)黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≥8)＝__________.解析

設(shè)口袋中有白球x個(gè)，取出的2個(gè)球中所含白球個(gè)數(shù)為ξ，則ξ服從超幾何分布，3解得x＝3.9.老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求： (1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；解設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，X的可能取值為0，1，2，3，且服從超幾何分布，所以X的分布列為(2)他能及格的概率.10.某高級(jí)中學(xué)為更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活情況，以便給學(xué)生提供必要的幫助，在高一、高二、高三這三個(gè)年級(jí)分別邀請了10，15，25名學(xué)生代表進(jìn)行調(diào)研. (1)從參加調(diào)研的學(xué)生代表中，隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生代表來自不同年級(jí)的概率；記M＝“2名學(xué)生代表來自不同年級(jí)”，則事件M包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(2)從參加調(diào)研的高一、高二年級(jí)學(xué)生代表中隨機(jī)抽取2名，且X表示抽到的高一年級(jí)學(xué)生代表人數(shù)，求X的期望值.解高一、高二年級(jí)分別有10，15名學(xué)生代表參加調(diào)研，從中抽取2名，抽到的高一年級(jí)的學(xué)生代表人數(shù)X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列為A.2 B.4 C.6

D.8AD12.50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，n至少為________.15∴n至少為15.13.根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無效. (1)如果在該次試驗(yàn)中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及均值；解X的所有可能取值為0，1，2，∴X的分布列為(2)如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無效的概率p，并根據(jù)p的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.(參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件)解新藥無效的情況有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，故實(shí)驗(yàn)方案合理.14.某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項(xiàng)體育測試成績中隨機(jī)抽取n個(gè)學(xué)生成績進(jìn)行分析，得到成績頻率分布直方圖(如圖所示).已知成績在[90，100]的學(xué)生人數(shù)為8，且有4個(gè)女生的成績在[50，60)中，則n＝