電路基礎(chǔ)（微課版）課件 第8章 非正弦周期交流電路

第8章

非正弦周期交流電路第8章非正弦周期交流電路本章介紹非正弦周期交流電路。首先介紹非正弦周期量的概念以及利用傅里葉級(jí)數(shù)將非正弦周期量分解為正弦量的方法；然后介紹非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率；最后介紹非正弦周期交流電路的分析方法。2第8章非正弦周期交流電路8.1非正弦周期量8.2非正弦周期量的分解8.3有效值、平均值和平均功率8.4非正弦周期交流電路的分析38.1非正弦周期量前面討論了正弦交流電路的分析計(jì)算方法，從中得出，在一個(gè)線性電路中有一個(gè)或多個(gè)同頻率的正弦信號(hào)同時(shí)作用時(shí)，電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的正弦量。但是，在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中，除了正弦交流電外，還會(huì)經(jīng)常遇到非正弦交流電。在電力工程中，交流發(fā)電機(jī)由于制造等方面的原因，其發(fā)出的電壓波形實(shí)際上是一種近似的正弦波。晶體管交流放大器中的電壓、電流是直流分量和交流分量的疊加。如圖所示為晶體管交流放大器中的電流波形。48.1非正弦周期量在計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制等技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)大量應(yīng)用的脈沖電路中，電壓和電流的波形也都是非正弦的。圖（a）、（b）和（c）所示分別為周期脈沖電壓、方波電壓和鋸齒波電壓的波形圖。另外，如電路中含有非線性元件，即使在正弦電壓作用下，電路中也會(huì)出現(xiàn)非正弦電流，如圖（d）所示為通過(guò)半波整流器得出的電壓波形。58.1非正弦周期量上述電流和電壓的波形雖然各不相同，但如果它們能按一定規(guī)律周而復(fù)始地變化，則稱為非正弦周期電壓或電流。分析非正弦周期交流電路，需要用傅立葉級(jí)數(shù)將非正弦周期電流或電壓分解為一系列不同頻率的正弦電流或電壓之和，然后分別計(jì)算它們?cè)陔娐分袉为?dú)作用時(shí)產(chǎn)生的正弦電流或電壓分量，最后再根據(jù)線性電路的疊加定理，把所有分量疊加起來(lái)就得到了電路中實(shí)際的穩(wěn)態(tài)電流或電壓。68.2非正弦周期量的分解對(duì)于給定的周期函數(shù)，當(dāng)其滿足狄里赫利條件，即（1）周期函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)；（2）間斷點(diǎn)的數(shù)目為有限個(gè)；（3）在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即78.2.1傅里葉級(jí)數(shù)它就可以分解為一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)，即8.2非正弦周期量的分解式中

，

項(xiàng)為偶函數(shù)，

項(xiàng)為奇函數(shù)，可按下列公式計(jì)算得到88.2.1傅里葉級(jí)數(shù)8.2非正弦周期量的分解上述表達(dá)式還可以利用三角函數(shù)公式合并成另一種形式98.2.1傅里葉級(jí)數(shù)其中8.2非正弦周期量的分解上述的無(wú)窮三角級(jí)數(shù)稱為周期函數(shù)

的傅立葉級(jí)數(shù)，后一式中

稱為

的直流分量，它是非正弦周期函數(shù)一周期內(nèi)的平均值。

稱為

的

k次諧波分量。

是

k次諧波分量的振幅，

是

k次諧波分量的初相位。特別的，

當(dāng)

時(shí)，稱為

的基波分量，其周期或頻率與

相同。

的各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波，它們的頻率是基波頻率的整數(shù)倍。108.2.1傅里葉級(jí)數(shù)8.2非正弦周期量的分解118.2.1傅里葉級(jí)數(shù)工程中常見(jiàn)的幾種典型的非正弦周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)一般收斂很快，較高次諧波的振幅很小實(shí)際工程中一般只需計(jì)算前幾項(xiàng)就足夠準(zhǔn)確了。8.2非正弦周期量的分解在電工電子技術(shù)中，常見(jiàn)的非正弦周期函數(shù)常具有某種對(duì)稱性，在對(duì)稱周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)中不一定包含全部項(xiàng)，它們有一定的規(guī)律可循，掌握這些規(guī)律可使得傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的求解大大簡(jiǎn)化。下面討論幾種常見(jiàn)的對(duì)稱周期函數(shù)。128.2.2周期函數(shù)的對(duì)稱性8.2非正弦周期量的分解周期函數(shù)為偶函數(shù)138.2.2周期函數(shù)的對(duì)稱性將偶函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，有即偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)無(wú)正弦諧波分量，只含有直流分量和余弦諧波分量。8.2非正弦周期量的分解周期函數(shù)為奇函數(shù)148.2.2周期函數(shù)的對(duì)稱性將奇函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，有即奇函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)不含直流分量和余弦諧波分量。8.2非正弦周期量的分解周期函數(shù)為半波對(duì)稱函數(shù)158.2.2周期函數(shù)的對(duì)稱性將半波對(duì)稱函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，有即半波對(duì)稱函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)無(wú)直流分量，無(wú)偶次諧波分量，因此半波對(duì)稱函數(shù)又稱為了奇諧波函數(shù)。8.2非正弦周期量的分解解根據(jù)圖示波形可寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式16例題

求下圖所示周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)。函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此它是奇函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知其傅立葉級(jí)數(shù)中只包含正弦諧波分量，其系數(shù)為將代入上式得8.2非正弦周期量的分解解因此可以得到傅立葉級(jí)數(shù)17例題

求下圖所示周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)。8.3有效值、平均值和平均功率在正弦交流電路中討論過(guò)，任何周期量的有效值都定義為它的方均根值。以電流為例，其有效值為188.3.1有效值若

i的解析式已知，可直接由上式計(jì)算其有效值。若

i為非正弦周期電流，可將其分解為傅立葉級(jí)數(shù)，即8.3有效值、平均值和平均功率將該表達(dá)式代入有效值定義式中，得198.3.1有效值先將上式根號(hào)內(nèi)的平方項(xiàng)展開(kāi)，展開(kāi)后有4項(xiàng)可分為兩種類(lèi)型，第一類(lèi)是各次諧波的平方，有下面2項(xiàng)，它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的平均值分別為8.3有效值、平均值和平均功率所以，非正弦周期電流的有效值與它的各次諧波分量的有效值的關(guān)系為208.3.1有效值同理可得非正弦周期電壓的有效值8.3有效值、平均值和平均功率解先求各諧波分量的有效值21例題求電壓的有效值。根據(jù)前面結(jié)論可得整體有效值為8.3有效值、平均值和平均功率在實(shí)際工程中，除用到有效值外，還常用到平均值。仍以電流為例，其平均值定義為228.3.2平均值從上式可知，交流量的平均值實(shí)際上就是其傅立葉級(jí)數(shù)中的直流分量。對(duì)于那些直流分量為零的交流量，其平均值總是為零。為了便于測(cè)量與分析，常用交流量的絕對(duì)值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值來(lái)定義交流量的平均值，即上式有時(shí)也稱為整流平均值。8.3有效值、平均值和平均功率對(duì)于正弦量有238.3.2平均值或即正弦波的有效值是其整流平均值的1.11倍。同樣的，對(duì)于電壓量有8.3有效值、平均值和平均功率用不同類(lèi)型的儀表去測(cè)量同一個(gè)非正弦周期量，會(huì)得到不同的測(cè)量結(jié)果。例如磁電系儀表指針偏轉(zhuǎn)角度正比于被測(cè)信號(hào)的直流分量，讀數(shù)為直流量；電磁系儀表指針偏轉(zhuǎn)角度正比于被測(cè)信號(hào)有效值的平方，讀數(shù)為有效值；而整流系儀表指針偏轉(zhuǎn)角度正比于被測(cè)信號(hào)的整流平均值，其標(biāo)尺是按正弦量的有效值與整流平均值的關(guān)系換算成有效刻度的，只在測(cè)量正弦量時(shí)，測(cè)得的才確實(shí)是它的有效值，而測(cè)量非正弦量時(shí)就會(huì)有誤差。因此，在測(cè)量非正弦周期量時(shí)要合理選擇測(cè)量?jī)x表。248.3.2平均值8.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流電路的平均功率仍定義為其瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。設(shè)一個(gè)負(fù)載或者二端網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流為258.3.3平均功率式中u、i

取關(guān)聯(lián)參考方向，則負(fù)載或二端網(wǎng)路的瞬時(shí)功率為8.3有效值、平均值和平均功率代入平均功率的定義式，得平均功率為268.3.3平均功率上式右邊項(xiàng)展開(kāi)后將包含有兩種類(lèi)型的積分項(xiàng)：一種是同次諧波電壓和電流的乘積，它們的平均值為8.3有效值、平均值和平均功率另一種是不同次諧波電壓和電流的乘積，根據(jù)三角函數(shù)的正交性，它們的平均值為零。因此得到平均功率278.3.3平均功率上述討論可知非正弦周期電流電路中，不同次（包括零次）諧波電壓、電流雖然構(gòu)成瞬時(shí)功率，但不構(gòu)成平均功率；只有同次諧波電壓、電流才構(gòu)成平均功率；電路的平均功率等于各次諧波的平均功率之和（包括直流分量）。8.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流電路的無(wú)功功率定義為各次諧波無(wú)功功率之和，即288.3.3平均功率非正弦周期電流電路中有時(shí)也用到視在功率，定義為顯然，視在功率不等于各次諧波視在功率之和。功率因數(shù)定義為8.3有效值、平均值和平均功率29例題設(shè)某無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，并且已知求該二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率。解根據(jù)前面結(jié)論可得平均功率表達(dá)式8.4非正弦交流電路的分析30非正弦周期交流電路的分析通常采用諧波分析法，其步驟如下。（1）將給定的非正弦周期電源電壓或電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)，諧波取到第幾項(xiàng)，由所需的計(jì)算精度來(lái)決定。（2）分別計(jì)算電路對(duì)直流分量和各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。對(duì)直流分量，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電路成為電阻性電路。對(duì)各次諧波，電路成為正弦交流電路。要注意的是：電感、電容對(duì)不同頻率的諧波的感抗、容抗不同，諧波次數(shù)越高，感抗越大，容抗越小。（3）應(yīng)用疊加定理，將步驟（2）所計(jì)算的結(jié)果化為瞬時(shí)值表達(dá)式后進(jìn)行相加，最終求得電路的響應(yīng)。這里要注意：因?yàn)椴煌C波分量的角頻率不同，其對(duì)應(yīng)的相量直接相加是沒(méi)有意義的。8.4非正弦交流電路的分析31例題如圖（a）所示電路中，已知求各支路電流。8.4非正弦交流電路的分析32解由于非正弦周期電壓源的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式已經(jīng)給出，因此可直接計(jì)算電源電壓各諧波分量單獨(dú)作用于電路時(shí)的響應(yīng)。（1）電壓源的直流分量單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖（b）所示，用下標(biāo)“0”表示各直流分量（即零次諧波）。此時(shí)電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路，各支路電流為8.4非正弦交流電路的分析33（2）電壓源的基波分量單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖（c）所示，用下標(biāo)“1”表示各基波分量（即一次諧波），此時(shí)感抗和容抗為8.4非正弦交流電路的分析34因此各支路電流相量為8.4非正弦交流電路的分析35（3）電壓源的三次諧波分量

單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖（d）所示，用下標(biāo)“3”表示各三次諧波分量，此時(shí)感抗和容抗為8.4非正弦交流電路的分析36因此各支路電流相量為8.4非正弦交流電路的分析37（4）將上述計(jì)算所得的直流分量和各次諧波分量疊加在一起，得各支路電流為8.4非正弦交流電路的分析38例題如圖所示電路中，已知求BC兩點(diǎn)之間的電壓及其有效值。8.4非正弦交流電路的分析39解（1）基波單獨(dú)作用于電路時(shí)，由于，故此時(shí)所在支路發(fā)生串聯(lián)諧振