2023-2024學年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二（下）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一個口袋內裝有大小相同的5個白球和2個黑球，從中取3個球，則不同的取法種數(shù)是(

)A.C51C22 B.C52.(x?2)(x?3)(x?4)…(x?16)(x∈N?,x>16)A.Ax?214 B.Ax?215 C.3.若4名學生報名參加數(shù)學，計算機、航模興趣小組．每人選報1項．則不同的報名方式有(

)A.34種 B.43種 C.3×2×1種 D.4.在四棱柱ABCD?A1B1C1D1A.AM=12AB+12AD+5.在正方體ABCD?A1B1A.A1D1⊥B1C B.6.房間里有6盞電燈，分別由6個開關控制，至少開1盞燈用以照明，則不同的方法種數(shù)是(

)A.31 B.32 C.63 D.647.已知向量a=(1,1,2),b=(?3,2,0)，則aA.(34,34,328.已知a，b，m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(bmodm).如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為9≡21(bmod6)，若a=C240+C241?2+A.2024 B.2023 C.2022 D.2021二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題中正確的是(

)A.若向量a，b滿足a?b<0，則向量a，b的夾角是鈍角

B.若OA,OB,OC是空間的一組基底，且OD=2OA?3OB+2OC，則A，B，C，D四點共面

C.若向量{a,b,c}是空間的一個基底，若向量m10.已知(x+2)7=aA.a2=21

B.a1+a2+a3+a4+a5+a611.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A.當λ=0時，平面BDF⊥平面BDC1

B.任意λ∈[0,1]，三棱錐B?ADF的體積是定值

C.存在λ∈[0,1]，使得AC1與平面BDF所成的角為π3

D.當三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在三棱錐A?BCD中，E、F、G分別是AB、BC、AD的中點，∠GEF=100°，則BD和AC所成角的度數(shù)為______．13.12!+23!14.某同學用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，一共用了1540個球.第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，則這位同學共堆積了______層.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

有3名女生4名男生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的種數(shù)．

(1)全體排成一行，其中4名男生互不相鄰；

(2)全體排成一行，其中甲、乙中間有且只有1人；

(3)全體排成前后兩排，前排3人，后排4人，且后排至少2個男生16.(本小題15分)

已知在圖(1)的平面四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=4，BC=CD=26，沿著對角線BD將△ABD折起，如圖(2)中點A到達A1處，使平面A1BD⊥平面BDC．

(1)求線段A1C的長度；

17.(本小題15分)

已知(2x+1x)n,n∈N?的展開式中，第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為1：3．

18.(本小題17分)

如圖，已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，A1A=4，且A1A⊥底面ABCD，點Q滿足BQ=3QC，點P是棱DD1上的一個點(包括端點)．

(1)19.(本小題17分)

莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應用.所有大于1的正整數(shù)n都可以被唯一表示為有限個質數(shù)(質數(shù)是指大于1的自然數(shù)中，只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù))的乘積形式：n=p1r1p2r2…pkrk(k為n的質因數(shù)個數(shù)，pi為質數(shù)，ri≥1，i=1，2，…，k)，例如：90=2×32×5，對應k=3，p1=2，p2=3，p3=5，r1=1，r2=2，r3=1．

現(xiàn)對任意n∈N?，定義莫比烏斯函數(shù)μ(n)=1,n=1(?1)k,r1=r2=…=r參考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.ACD

11.BC

12.80°

13.1?114.20

15.解：(1)根據(jù)題意，全體排成一行，其中4名男生互不相鄰，

必須男女相間排列，且女生在兩端，有A44A33=144種排法；

(2)根據(jù)題意，分2步進行分析：

①在除甲乙外的5人中，選出1人，安排在甲乙之間，與甲乙一起作為一個整體，有C51A22=10種情況，

②將這個整體與其他4人全排列，有A55=120種排法，

則有10×120=1200種排法；

(3)根據(jù)題意，分3種情況討論：

①后排2男2女，有C42C32A416.解：(1)取BD的中點O，連接A1O，OC，

又因為∠A=90°，AB=AD=4，BC=CD=26，所以A1O⊥BD，

因為平面A1BD⊥平面BDC，平面A1BD∩平面BDC=BD，

A1O?平面A1BD，所以A1O⊥平面BDC，

而OC?平面BDC，

所以A1O⊥OC，A1O=22，OC=BC2?OB2=24?8=4，

所以A1C=A1O2+OC2=8+16=26；

(2)由(1)以O為坐標原點，以OC，OD，OA1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則O(0,0,0)，A1(0,0,22)，D(0,22,0)，B(0,?22,0)，C(4,0,0)，

BA117.解：(1)由于(2x+1x)n的第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為1：3，

故Cn1：Cn2=1：3，整理得nn(n?1)2=13，解得n=7．

故(2x+1x)7的展開式的通項為Tr+1=C7r?218.解：因為A1A⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，

所以AB，AD，AA1兩兩互相垂直，

則以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，B1(2,0,4)，C1(2,2,4)，D1(0,2,4)，

(1)證明：因為BD=(?4,4,0)，B1D1=(?2,2,0)，

所以BD=2B1D1，即BD//B1D1，

又因為BD，B1D1不在一條直線上，所以B1D1/?/BD；

(2)因為點Q滿足BQ=3QC，點P是棱DD1上的一個點(包括端點)，

所以Q(4,3,0)，設DP=λDD1=λ(0,?2,4)=(0,?2λ,4λ)，(0≤λ≤1)，

所以AQ=(4,3,0)，AP=AD+DP=(0,4,0)+(0,?2λ,4λ)=(0,4?2λ,4λ)，

設平面PAQ的法向量為m19.解：(1)∵66=2×3×11，k=3，p1=2，p2=3，p3=11，r1=1，r2=1，r3=1，