2024-2025學(xué)年湖南省長沙市望城一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市望城一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.22cos15°+A.32 B.12 C.?2.若集合A={x||2x?1|>3}，B={x|(2x+1)(x?3)<0}，則A∩B是(

)A.{x|?1<x<?12或2<x<3} B.{x|2<x<3}

C.3.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如如圖所示，則f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)=ex?ln|x|e2x?1

4.在四面體ABCD中，點M，N滿足AB=2MB，CN=2ND，若MN=xA.?13 B.13 C.15.已知tan(α?π4)=14，A.322 B.1318 C.166.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是(

)A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.87.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，設(shè)四棱柱的外接球的球心為O，動點P在正方形ABCD的邊上，射線OP交球O的表面于點A.42π3 B.228.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點，AP?AQ=2|PQ|A.1

B.52

C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1的虛部與z2的實部均為2，則下列說法正確的是(

)A.z1是虛數(shù)

B.若|z1|=|z2|=2，則z1=z2

C.若z1=10.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的5個紅球和2個白球，則下列結(jié)論正確的是(

)A.從中任取3球，恰有一個紅球的概率是17

B.從中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有兩個白球的概率為20343

C.從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為23

D.從中有放回的取球11.已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的棱長均為1，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，EA.A1C=2

B.若AP=12PC1，則A1P/?/面EFC

C.若AP=3PC1，則A1C⊥面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=2x2,x<1,2x,x≥1,13.《中國居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的體重(單位：千克)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的50%分位數(shù)是______．14.已知一個圓臺的側(cè)面積為352π，下底面半徑比上底面半徑大1，母線與下底面所成角的正切值為7，則該圓臺的外接球(圓臺的上、下底面圓周上的點均在球面上)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知X，Y兩組各有5位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位：天)記錄如下：

X組：10，11，12，13，14，Y組：12，13，15，14，a

假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從X，Y兩組隨機(jī)各選1人，X組選出的人記為甲，Y組選出的人記為乙．

(1)如果a=8，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；

(2)如果a=16，事件M：“甲康復(fù)時間為11天”，事件N：“甲乙康復(fù)時間之和為25天”，事件M，N是否相互獨立？16.(本小題15分)

如圖所示，已知CE⊥底面ABC，∠ABC=π2，AB=BC=2CE，AA1//=BB1//=2CE，D為BC的中點．

(1)若CE=1，求三棱錐E?17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ln(e2x+1)?x．

(1)當(dāng)x≥0時，函數(shù)g(x)=f(x)?x?a存在零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)?(x)=ln(m?18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cosC=2sinB+sinCsinA．

(1)求角A；

(2)點P在邊BC上，且AP⊥AB，AP=2，求△ABC19.(本小題17分)

已知正實數(shù)集A={a1,a2,?,an}，定義：A2={aiaj|ai,aj∈A}稱為A的平方集.記n(A)為集合A中的元素個數(shù)．

(1)參考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.A

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.0

13.53.75

14.500315.解：(1)當(dāng)a=8時，從X，Y兩組隨機(jī)各選1人，

樣本空間Ω={(x,y)|x∈{10，11，12，13，14}，y∈{12,13,15,14,8}}，共有25種，

甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的情況有{(10,8)，(11,8)，(12,8)，(13,12)，(13,8)，(14,12)，(14,13)，(14,8)}，共8種，

所以概率為825．

(2)當(dāng)a=16時，P(M)=15，

事件N的情況有{(10,15)，(11,14)，(12,13)，(13,12)}，共4種，則P(N)=425

事件MN：“甲康復(fù)時間為11天且甲乙康復(fù)時間之和為25天”的情況為(11,14)，則P(MN)=125，

因此P(M)P(N)=116.解：(1)當(dāng)CE=1時，根據(jù)題意可得，AB=BC=2CE=2，

∴VE?A1CD=VA1?ECD，

∵AA1//CE，∴AA1/?/平面CDE，

∴三棱錐E?A1DC的體積：

VE?A1CD=VA1?ECD=13×S△ECD×AB=13×12×1×1×2=13．

證明：(2)連接B1C，交DE于F，

∵CE⊥面ABC，AA1//BB1//CE，

∴BB1⊥BC，CE⊥BC，∴△B1BC和△ECD為直角三角形，

又BB17.解：(1)∵f(x)=ln(e2x+1)?x，當(dāng)x≥0時，

函數(shù)g(x)=f(x)?x?a存在零點，

即a=ln(e2x+1)?2x在x∈[0,+∞)時有解，

設(shè)φ(x)=ln(e2x+1)?2x(x≥0)，

即φ(x)=ln(1e2x+1)，∵x≥0,1<1e2x+1≤2，∴φ(x)∈(0,ln2]，

即實數(shù)a的取值范圍為(0,ln2]．

(2)若函數(shù)f(x)與?(x)的圖象只有一個公共點，

則關(guān)于x的方程ln(m?ex?2m)=ln(e2x+1)?x只有一解，

∴m?ex?2m=ex+e?x只有一解，令t=ex(t>0)，

得關(guān)于t的方程(m?1)t2?2mt?1=0有一正數(shù)解，

18.解：(1)由2cosC=2sinB+sinCsinA，根據(jù)正弦定理與余弦定理，可得2×a2+b2?c22ab=2b+ca，

整理得b2+c2?a2=?bc，所以cosA=b2+c2?a22bc=?12，結(jié)合0<A<π，可得A=2π3；

(2)設(shè)∠ABP=θ，則∠ACB=π?∠BAC?θ=π3?θ，

因為AB⊥AP，∠BAC=2π3，∠PAC=π6，結(jié)合AP=2，可得BP=APsinθ=2sinθ，

在△ACP19.解：(1)A2={1,2,3,4,6,8,9,12,16}，

n(A2)=9；

(2)∵n(A2)=2016，要使得n(A)最小，就得使ai