2024-2025學(xué)年北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知角α的終邊經(jīng)過P(2,?1)，則cosα等于(

)A.55 B.?55 2.已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=1?i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.cos30°cos15°?sin30°sin15°的值為(

)A.1 B.12 C.224.在△ABC中，bcosB=csinC，則A.π6 B.π4 C.π35.已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m⊥α，α⊥β，則m//β B.若α∩β=l，l//m，則m//β

C.若m?α，α⊥β，則m⊥β D.若m⊥α，α//β，則m⊥β6.下列函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增的是A.y=tan(x+π4) B.y=|sinx| 7.將函數(shù)y=sin(2x+π3)的圖象向右平移π2個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(φ,0)A.π6 B.π4 C.π38.在△ABC中，已知a=2,A=π3，則下列說法正確的是(

)A.當(dāng)b=1時(shí)，△ABC是銳角三角形 B.當(dāng)b=433時(shí)，△ABC是直角三角形

C.當(dāng)b=73時(shí)，△ABC是鈍角三角形 9.已知a，b是非零向量，則“a⊥b”是“對(duì)于任意的λ∈R，都有|a+λA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值(單位：m)的部分記錄表．時(shí)間0：003：006：009：0012：00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來描述.試估計(jì)13：00的水深值為(

)A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.67二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.若z(1+i)=2i，則|z|=______．12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(35,m)，則cosβ=13.已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，BC=2BP，則AP?BD=14.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成(如圖).已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為16πcm2的球，其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，若圓柱的高為2cm，則該圓柱的側(cè)面積為______cm2，該陀螺的體積為______15.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱AA1，C1D1，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)H在平面EFG內(nèi)，且DH=1.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①A1B//平面EFG；

②點(diǎn)H軌跡的長度為π；

③存在點(diǎn)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sin(x?π6)+sin(x+π2)．

(Ⅰ)求f(0)的值和f(x)17.(本小題14分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=4，E為CC1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AC1//平面EDB；

(Ⅱ)18.(本小題14分)

已知OA=a，OB=b，|a|=2，|b|=1，<a，b>=π4．

(Ⅰ)19.(本小題14分)

在△ABC中，b+2c?2acosB=0．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)若△ABC的面積是32，求a20.(本小題15分)

如圖1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D，E分別為AC，BC的中點(diǎn).將△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到四棱錐C1?DABE，如圖2．

(Ⅰ)求證：DE⊥C1A；

(Ⅱ)若M是線段C1B上的點(diǎn)，平面DEM與線段C1A交于點(diǎn)N.再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.使點(diǎn)M唯一確定，并解答問題．

(i)求證：N為C1A的中點(diǎn)；

(ii)求證：C1A⊥平面DEMN．

條件①：21.(本小題15分)

已知n維向量a=(a1,a2,?,an)，給定k∈{1,2,…,n?1)，定義變換φk：選取i∈(0,1,…n?1}，再選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，對(duì)a的坐標(biāo)進(jìn)行如下改變：

若此時(shí)i+k≤n，則將ai+1，ai+2，…，ai+k同時(shí)加上x，其余坐標(biāo)不變；

若此時(shí)i+k>n，則將ai+1，ai+2，…an及a1，a2，…，ai+k?n同時(shí)加上x，其余坐標(biāo)不變．

若a經(jīng)過有限次變換φk(每次變換所取的i，x的值可能不同)后，最終得到的向量(t1,t2,?,tn)滿足t1=t2=?=tn，則稱a為k階可等向量．

例如，向量(1,3,2)經(jīng)過兩次變換φ2可得：

(1,3,2)→i=2,x=1(2,3,3)→i=1,x=?1(2,2,2)，所以(1,3,2)是2階可等向量．

(Ⅰ)判斷(1,2,3)是否是2階可等向量？說明理由；

(Ⅱ)若取參考答案1.C

2.C

3.C

4.B

5.D

6.B

7.A

8.B

9.C

10.C

11.212.?313.?1

14.43π15.①②④

16.解：(Ⅰ)∵f(x)=sin(x?π6)+sin(x+π2)=32sinx?12cosx+cosx=sin(x+π6)，

∴f(0)=12；

令17.解：(Ⅰ)證明：如圖，設(shè)AC∩BD=F，連接EF，

∵在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC，

∴F為AC的中點(diǎn)，又E為CC1的中點(diǎn)，

∴AC1//FE，又AC1?平面EDB，F(xiàn)E?平面EDB，

∴AC1/?/平面EDB；

(Ⅱ)證明：∵在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC，

∴BD⊥AC，且CC1⊥底面ABCD，又BD?底面ABCD，

∴BD⊥CC1，又AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1，又BD?平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ACC1；

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面18.解：(Ⅰ)因?yàn)閨a|=2，|b|=1，<a，b>=π4，

所以a?b=|a|?|b|cos<a,b>=1，

所以|a19.解：(Ⅰ)因?yàn)閎+2c?2acosB=0，

由正弦定理可得：sinB+2sinC?2sinAcosB=0，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB+2cosAsinB=0，而sinB>0，

所以cosA=?12，

因?yàn)锳∈(0,π)，

可得A=2π3；

(Ⅱ)因?yàn)镾△ABC=12bcsinA=32，A=2π3，

可得bc=4，

20.證明：(Ⅰ)在△ABC中，因?yàn)锳B=3，AC=4，BC=5，

所以AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，

因?yàn)镈，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

所以DE/?/AB，所以DE⊥AC，

所以DE⊥C1D，DE⊥AD，

又因?yàn)镃1D∩AD=D，

所以DE⊥平面C1AD，

又因?yàn)镃1A?平面C1AD，

所以DE⊥C1A.

(Ⅱ)選條件①：C1M=MB，

(i)因?yàn)镈E/?/AB，

又因?yàn)镈E?平面C1AB，AB?平面C1AB，

所以DE/?/平面C1AB，

又因?yàn)镈E?平面DEMN，平面DEMN∩平面C1AB=NM，

所以DE//NM，

又因?yàn)镈E/?/AB，所以NM//AB，

因?yàn)镃1M=MB，

所以C1N=NA，即N為C1A的中點(diǎn)．

(ⅱ)因?yàn)镈C1=DA，由(i)得C1N=NA，

所以DN⊥C1A，

由(Ⅰ)得DE⊥C1A，

又因?yàn)镈N∩DE=D，

所以C1A⊥平面DEMN．

(Ⅱ)選條件③：EM⊥C1B，

又因?yàn)镋C1=EB，所以C1M=MB，

(i)因?yàn)镈E/?/AB，

又因?yàn)镈E?平面C1AB，AB?平面C1AB，

所以DE/?/平面C1AB，

又因?yàn)?1.解：(Ⅰ)(1，2，3)是2階可等向量，

例如，向量(1,2,3)經(jīng)過兩次變換φ2可得：

(1,2,3)→i=3,x=1(2,3,3)→i=1,x=?1(2,2,2)，

所以(1,2,3)是2階可等向量．

(Ⅱ)設(shè)(a1,a2,a3,a4)進(jìn)行一次變換φ2后