預(yù)習01講空間向量及其運算2024年高二數(shù)學暑假預(yù)習（人教A版2019選擇性）原卷版

2024年高二數(shù)學暑假預(yù)習（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習01講空間向量及其運算（精講+精練）①空間向量的線性運算②空間向量共線的判斷與應(yīng)用③共面向量的判定與應(yīng)用④空間向量的數(shù)量積運算（數(shù)量積、夾角、模長、投影向量）一、空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，二、空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律：，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理：對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．三、空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．①空間向量的線性運算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河南南陽·階段練習）求為（

）A． B．C． D．2．（2223高二下·全國·單元測試）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（

）A．B．C．D．3．（2324高二下·北京·開學考試）已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（

）A．B．C．D．4．（2324高二下·河南·階段練習）在四面體中，為棱的中點，則（

）A． B． C． D．5．（2324高二上·河北·階段練習）在四面體中，，，，，為的中點，若，則（

）A． B．3 C． D．2②空間向量共線的判斷與應(yīng)用策略方法證明三點共線三點(P，A，B)共線eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點P對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數(shù)）是平行向量，則的值為（

）A．16 B．13 C．3 D．32．（2324高二上·遼寧·期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2324高二上·河南洛陽·階段練習）在四面體中，點E滿足F為BE的中點，且則實數(shù)λ=（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2223高二下·江蘇·課后作業(yè)）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為.5．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)k的值為．③共面向量的判定與應(yīng)用策略方法證明空間四點共面空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【題型精練】一、單選題1．（2223高二上·云南臨滄·階段練習）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·江蘇·階段練習）已知向量不共面，則使向量共面的實數(shù)x的值是（

）A． B． C． D．43．（2324高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面4．（2324高二下·江蘇泰州·階段練習）為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（

）A．1 B． C． D．5．（2324高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）若空間四點滿足，則（

）A．直線B．直線C．點P可能在直線上，也可能不在直線上D．直線，且④空間向量的數(shù)量積運算（數(shù)量積、夾角、模長、投影向量）策略方法空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·廣東茂名·期末）如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（

）

A．1 B． C．0 D．22．（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習）已知，是相互垂直的單位向量，則＝（）A．1 B．2C．3 D．43．（2324高二下·上海·階段練習）由四個棱長為1的正方體組合成的正四棱柱（如圖所示），點是正方形的中心，則向量（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．（2324高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知，，是空間中兩兩垂直的單位向量，則（

）A． B．14 C． D．25．（2324高二上·寧夏銀川·階段練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．6．（2324高二