2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第9章解析幾何第7節(jié)拋物線跟蹤檢測(cè)文含解析

PAGE第九章解析幾何第七節(jié)拋物線A級(jí)·基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|固根基|1.拋物線y＝ax2(a<0)的準(zhǔn)線方程是()A．y＝－eq\f(1,2a) B．y＝－eq\f(1,4a)C．y＝eq\f(1,2a) D．y＝eq\f(1,4a)解析：選B拋物線y＝ax2(a<0)可化為x2＝eq\f(1,a)y，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4a).故選B.2．(2025屆四川成都檢測(cè))已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，－eq\r(3))．若線段FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，則|MF|＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(3),3)解析：選A由題意，F(xiàn)(1，0)，|AF|＝2，設(shè)|MF|＝d，則M到準(zhǔn)線的距離為d.M的橫坐標(biāo)為d－1，由三角形相像，可得eq\f(d－1,1)＝eq\f(2－d,2)，所以d＝eq\f(4,3)，故選A.3．直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線方程是()A．y2＝12x B．y2＝8xC．y2＝6x D．y2＝4x解析：選B設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，依據(jù)拋物線定義，x1＋x2＋p＝8，因?yàn)锳B的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，所以eq\f(x1＋x2,2)＝2，所以p＝4，所以拋物線方程為y2＝8x.故選B.4．(2025屆太原模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，且l過(guò)點(diǎn)(－2，3)，M在拋物線C上，若點(diǎn)N(1，2)，則|MN|＋|MF|的最小值為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B依題意，知l：x＝－2，則拋物線C：y2＝8x，過(guò)點(diǎn)M作MM′⊥l，垂足為M′，過(guò)點(diǎn)N作NN′⊥l，垂足為N′，則|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3，故選B.5．(2025屆陜西省百校聯(lián)盟高三模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|QF|＝()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D.eq\f(5,2)解析：選B依題意得F(1，0)．設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為M，則|FM|＝2.如圖，過(guò)點(diǎn)Q作l的垂線，垂足為Q1，則eq\f(|QQ1|,|FM|)＝eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，所以|QQ1|＝eq\f(3,4)|FM|＝eq\f(3,2)，所以|QF|＝|QQ1|＝eq\f(3,2)，故選B.6．已知直線l與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為(2，1)，則直線l的方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝4x1，①,yeq\o\al(2,2)＝4x2，②))由①－②得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，由題可知x1≠x2.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直線l的方程為y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.答案：y＝2x－37．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________．解析：在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，eq\f(AB,2)＝eq\f(\r(3),3)p，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),3)p，－\f(p,2))).又因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線上，故eq\f(\f(p2,3),3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6.答案：68．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為_(kāi)_______．解析：因?yàn)殡p曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以2＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以雙曲線的漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0.因?yàn)閽佄锞€C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以F到雙曲線C1的漸近線的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，所以p＝8，所以拋物線C2的方程為x2＝16y.答案：x2＝16y9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，由題意可得4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)．又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，且FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)，①因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4)，且MN的方程為y－2＝－eq\f(3,4)x，②聯(lián)立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).10．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.B級(jí)·素養(yǎng)提升|練實(shí)力|11.已知拋物線x2＝4y上一動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到直線l：x＋y＋4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5\r(2),2)＋2 B.eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2 D.eq\f(5\r(2),2)－1解析：選D拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0，1)，由拋物線的定義可得d1＝|PF|－1，則d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦點(diǎn)F到直線l的距離，即(|PF|＋d2)min＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2的最小值是eq\f(5\r(2),2)－1.12．(一題多解)(2025屆湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且斜率為eq\r(3)的直線交拋物線C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為拋物線C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．2eq\r(2)解析：選B解法一：因?yàn)橹本€MF的斜率為eq\r(3)，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以M到直線NF的距離為2eq\r(3).故選B.解法二：由題意可得直線MF的方程為x＝eq\f(\r(3),3)y＋eq\f(p,2)，與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立消去x可得y2－eq\f(2\r(3),3)py－p2＝0，解得y＝－eq\f(\r(3),3)p或y＝eq\r(3)p，又點(diǎn)M在x軸上方，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p)).因?yàn)镸N⊥l，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(3)p))，所以|NF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))\s\up12(2)＋（0－\r(3)p）2)＝2p.由題意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2eq\r(3))，F(xiàn)(1，0)，直線NF的方程為eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2eq\r(3))，所以M到直線NF的距離為eq\f(|3\r(3)＋2\r(3)－\r(3)|,\r(3＋1))＝2eq\r(3)，故選B.解法三：由題意可得直線MF的方程為x＝eq\f(\r(3),3)y＋eq\f(p,2)，與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立消去x可得y2－eq\f(2\r(3),3)py－p2＝0，解得y＝－eq\f(\r(3),3)p或y＝eq\r(3)p，又點(diǎn)M在x軸上方，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p)).因?yàn)镸N⊥l，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(3)p))，所以|NF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))\s\up12(2)＋（0－\r(3)p）2)＝2p.由題意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2eq\r(3))，F(xiàn)(1，0)，M(3，2eq\r(3))，設(shè)M到直線NF的距離為d，在△MNF中，S△MNF＝eq\f(1,2)|NF|×d＝eq\f(1,2)|MN|×yM，所以d＝eq\f(1,4)×4×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，故選B.13．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解：(1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以直線AB的方程為y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，即eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4.所以拋物線的方程為y2＝8x.(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2).所以A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))．則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(1＋4λ，－2eq\r(2)＋4eq\r(2)λ)．因?yàn)镃為拋物線上一點(diǎn)，所以(－2eq\r(2)＋4eq\r(2)λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0