2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形單元綜合測(cè)試含解析新人教B版必修第四冊(cè)

PAGEPAGE1單元綜合測(cè)試一(第九章)時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，則角A等于(D)A．150° B．90°C．60° D．30°解析：由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\r(2))＝eq\f(1,2).∵a<b，∴A為銳角．∴A＝30°.2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，則A＝(A)A．30° B．60°C．150° D．30°或150°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(sin45°,\r(2))＝eq\f(1,2).∵a<b，∴A<B，∴a＝30°.3．三角形兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，則三角形的面積是(B)A．12B．6C．24D．4解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根為－eq\f(3,5)或2.∴兩邊夾角的余弦值為－eq\f(3,5)，則正弦值為eq\f(4,5).故三角形的面積為eq\f(1,2)×5×3×eq\f(4,5)＝6.4．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，且eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c,b)，則△ABC是(D)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．正三角形解析：由eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝eq\f(π,2)，由eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c,b)得∠B＝∠C或∠B＋∠C＝eq\f(π,2).∴∠A＝∠B＝∠C，即△ABC為正三角形．5．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則AC邊上的高為(B)A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．3eq\r(3)解析：由余弦定理，得cosA＝eq\f(9＋16－13,2×3×4)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴AC邊上的高為AB·sinA＝eq\f(3\r(3),2).6．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sinA＋sinB＋10sinC)，A＝60°，則a等于(A)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4D．不確定解析：由已知及正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入有k(sinA＋sinB＋10sinC)＝2(sinA＋sinB＋10sinC)，∴k＝2.∴eq\f(a,sinA)＝2.a＝2sinA＝2sin60°＝eq\r(3)，選A.7．某小區(qū)的綠化地有一個(gè)三角形的花圃區(qū)，若該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別用A，B，C表示，其對(duì)邊分別為a，b，c，且滿意(2b－c)cosA－acosC＝0，則在A處望B，C所成的角的大小為(B)A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)解析：在△ABC中，(2b－c)cosA－acosC＝0，結(jié)合正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，即2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即2sinBcosA－sinB＝0.又因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,3)，即在A處望B，C所成的角的大小為eq\f(π,3).8．已知銳角△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是(C)A．x>2 B．x<2C．2<x<2eq\r(2) D．2<x<2eq\r(3)解析：∵三角形有兩解，如圖，∴a>b>CD＝asin45°.∴2<x<eq\f(2,\f(\r(2),2))＝2eq\r(2).二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．在△ABC中，給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是(ABD)A．若A<B，則sinA<sinBB．若sinA<sinB，則A<BC．若A>B，則eq\f(1,tan2A)>eq\f(1,tan2B)D．A<B，則cos2A>cos2B解析：A.若A<B，則a<b,2RsinA<2RsinB，所以sinA<sinB，所以該選項(xiàng)是正確的；B．若sinA<sinB，∴eq\f(a,2R)<eq\f(b,2R)，∴a<b，則A<B，所以該選項(xiàng)是正確的；C．若A>B，設(shè)A＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(π,6)，∴eq\f(1,tan2A)<0，eq\f(1,tan2B)>0，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．A<B，則sinA<sinB，sin2A<sin2B，∴－sin2A>－sin2B，∴1－sin2A>1－sin2B，∴cos2A>cos2B，故該選項(xiàng)正確．故選ABD.10．在△ABC中，依據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是(BC)A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°C．a(chǎn)＝14，b＝16，A＝45°D．a(chǎn)＝7，b＝5，A＝80°解析：選項(xiàng)A：因?yàn)锳＝45°，C＝70°，所以B＝65°，三角形的三個(gè)角是確定的值，故只有一解；選項(xiàng)B：由正弦定理可知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即sinB<sinC<1，所以角C有兩解；選項(xiàng)C：由正弦定理可知eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，即sinA<sinB<1，所以角B有兩解；選項(xiàng)D：由正弦定理可知eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，即sinA>sinB，所以角B僅有一解，綜上所述，故選BC.11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列四個(gè)命題中正確的命題是(AC)A．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC肯定是等邊三角形B．若acosA＝bcosB，則△ABC肯定是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC肯定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2>0，則△ABC肯定是銳角三角形解析：由eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，利用正弦定理可得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，即tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，△ABC是等邊三角形，A正確；由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2B,2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC是等腰或直角三角形，B不正確；由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，即sin(B＋C)＝sinB，sinA＝sinB，則A＝B，△ABC等腰三角形，C正確；由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，角C為銳角，角A，B不肯定是銳角，D不正確，故選AC.12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a＋c)(b＋c)＝91011，則下列結(jié)論正確的是(ACD)A．sinAsinBsinC＝456B．△ABC是鈍角三角形C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為eq\f(8\r(7),7)解析：因?yàn)?a＋b)(a＋c)(b＋c)＝91011.所以可設(shè)：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9x,a＋c＝10x,b＋c＝11x))(其中x>0)，解得：a＝4x，b＝5x，c＝6x.所以sinAsinBsinC＝abc＝456，所以A正確；由上可知：c邊最大，所以三角形中C角最大，又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4x2＋5x2－6x2,2×4x×5x)＝eq\f(1,8)>0,所以C角為銳角，所以B錯(cuò)誤；由上可知：a邊最小，所以三角形中A角最小，又cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2cb)＝eq\f(6x2＋5x2－4x2,2×6x×5x)＝eq\f(3,4).所以cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,8)，所以cos2A＝cosC，由三角形中C角最大且C角為銳角可得：2A∈(0，π)，C∈(0，eq\f(π,2))．所以2A＝C，所以C正確；由正弦定理得：2R＝eq\f(c,sinC)，又sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(3\r(7),8).所以2R＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))，解得：R＝eq\f(8\r(7),7)，所以D正確；故選ACD.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)eq\a\vs4\al(三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.)13．△ABC為鈍角三角形，且∠C為鈍角，則a2＋b2與c2的大小關(guān)系為a2＋b2<c2.解析：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∵∠C為鈍角，∴cosC<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.14．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，則c＝40eq\r(10).解析：由tanB＝1，tanC＝2，得sinB＝eq\f(\r(2),2)，sinC＝eq\f(2\r(5),5)，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝40eq\r(10).15．在銳角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，則eq\f(AC,cosA)的值等于2，AC的取值范圍為(eq\r(2)，eq\r(3))．解析：設(shè)A＝θ?B＝2θ.由正弦定理得eq\f(AC,sin2θ)＝eq\f(BC,sinθ)，又0°<θ<90°，所以sinθ≠0，所以eq\f(AC,2cosθ)＝1?eq\f(AC,cosθ)＝2.由銳角三角形ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，故30°<θ<45°?eq\f(\r(2),2)<cosθ<eq\f(\r(3),2)，所以AC＝2cosθ∈(eq\r(2)，eq\r(3))．16．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈塔的距離為30eq\r(2)km.解析：如圖所示，由已知條件，得AC＝60km，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，故∠ABC＝45°.由正弦定理得：BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sinB)＝30eq\r(2)km.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．(10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)．解：(1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).又因?yàn)镃∈(0°，180°)，所以C＝120°.(2)因?yàn)閍，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))所以AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，所以AB＝eq\r(10).18．(12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理得sinB＝eq\r(3)cosB，即tanB＝eq\r(3)，因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及正弦定理得c＝2a.由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).19．(12分)如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的長(zhǎng)．解：在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BDcos∠ADB.設(shè)BD＝x，有142＝102＋x2－2×10xcos60°，x2－10x－96＝0.∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，可得BC＝eq\f(16,sin135°)·sin30°＝8eq\r(2).20．(12分)已知△ABC中，A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c，sinB及△ABC的面積．解：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b＋c2－2bc－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).將a＝7，b＋c＝8代入得bc＝15，又b＋c＝8.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,c＝3.))當(dāng)b＝3，c＝5時(shí)，由正弦定理得eq\f(3,sinB)＝eq\f(7,sin120°)，∴sinB＝eq\f(3\r(3),14).S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).當(dāng)b＝5，c＝3時(shí)，同理可得sinB＝eq\f(5\r(3),14)，S△ABC＝eq\f(15\r(3),4).21．(12分)在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．解：(1)由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(2π,3).(2)∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，則△ABC的周長(zhǎng)L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3).∵0<A<eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1，∴2eq\r(3)<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)≤2＋eq\r(3)，∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是