浙江省“七彩陽(yáng)光”新高考研究聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月階段性評(píng)估試題含解析

PAGE25-浙江省“七彩陽(yáng)光”新高考探討聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月階段性評(píng)估試題（含解析）考生須知：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.全部答案必需寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式，求出集合，進(jìn)而求出的補(bǔ)集，再依據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或，又，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集、補(bǔ)集的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程得，結(jié)合離心率列方程，解得結(jié)果【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以因?yàn)榈碾x心率為，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.3.若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值是（）A.10 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出結(jié)果．【詳解】由約束條件作出可行域，如下圖：聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，所以的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)三視圖可以知道該空間幾何體是一個(gè)半圓錐挖去一個(gè)三棱錐，依據(jù)圓錐和三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由三視圖可知：該空間幾何體是一個(gè)半圓錐挖去一個(gè)三棱錐，因此該幾何體的體積為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求空間幾何體的體積，考查了圓錐和三棱錐的體積公式的計(jì)算，考查了空間想象實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.5.如圖，是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖像的對(duì)稱性和單調(diào)性逐個(gè)推斷即可.【詳解】解：由圖像可知，函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以應(yīng)偶函數(shù)，所以解除A；由圖像可知函數(shù)值能取到小于0的值，所以解除C；對(duì)于當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，而正弦的函數(shù)圖像可知D不正確，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，利用函數(shù)的奇偶性，增減性，或取特別值進(jìn)行識(shí)別，屬于中檔題.6.設(shè)，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】舉例說(shuō)明既不充分也不必要，即得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿意，但不滿意，所以充分性不成立；當(dāng)時(shí)，滿意，但不滿意，所以必要性不成立；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充要關(guān)系推斷，考查基本分析推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.7.已知，，是不相等的實(shí)數(shù)，且，隨機(jī)變量的分布列為則下列說(shuō)法正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得，再依據(jù)方差公式得，利用基本不等式求范圍，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）因?yàn)楣蔬x：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)期望與方差、利用基本不等式求值域，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.8.如圖1，梯形中，，，現(xiàn)將四邊形沿折起，得到幾何圖形（如圖2），記直線與直線所成的角為，二面角的平面角大小為，直線與平面所成角為，則（）A.， B.，C. D.【答案】A【解析】【分析】由線面角是最小的線線角，二面角是最大的線面角可得結(jié)論【詳解】解：因?yàn)?，所以是異面直線與直線所成的角為，又因直線與平面所成角為，而線面角是最小的線線角，所以；如圖取的中點(diǎn)，連接，在平面過(guò)做的垂線交于，則由已知可得就是二面角的平面角，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮?，直線與平面所成角為，而二面角是最大的線面角，所以，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了空間中的線線角，線面角，面面角，考查空間想象實(shí)力，屬于中檔題.9.函數(shù)恒有零點(diǎn)的條件不行能是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)的定義，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一推斷即可.【詳解】令，則有，設(shè)函數(shù)，，選項(xiàng)A：如下圖所示：當(dāng)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)肯定有交點(diǎn)；選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，如下圖所示，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)；選項(xiàng)C；當(dāng)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象肯定有交點(diǎn)，如下圖所示；選項(xiàng)D：當(dāng)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象肯定有交點(diǎn)，如下圖所示：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)推斷零點(diǎn)是否存在問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想.10.已知數(shù)列滿意，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.A當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列B.B.存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，，使得C.C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列D.D當(dāng)時(shí)，數(shù)列，均為遞增數(shù)列【答案】D【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)、對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此有或，而，所以，因此必有或，而，所以有或，因此選項(xiàng)A,C不正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B不正確；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，故，，而函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；，而函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性推斷，考查了對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，已知（為虛數(shù)單位），則_____________.【答案】4【解析】【分析】先求共軛復(fù)數(shù)，再依據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求結(jié)果.【詳解】故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.12.已知直線與圓相交于，，若當(dāng)時(shí)，有最大值4，則_____________，_____________.【答案】(1).2(2).1【解析】【分析】由題可知，弦最長(zhǎng)時(shí)，其長(zhǎng)度等于直徑，由此可知直線過(guò)圓心，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與圓相交于，，若當(dāng)時(shí)，有最大值4，所以直線過(guò)圓心，所以，得，，故答案為：2；1【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)，則_____________.【答案】80【解析】【分析】依據(jù)題意，利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求得的值．【詳解】因?yàn)?，則．故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.如圖，在中，為邊上近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，，則_____________，_____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】在中，利用正弦定理可求得，進(jìn)而可得出，然后在中，利用余弦定理可求得.【詳解】在中，，則，由正弦定理，得，在中，，，，由余弦定理得，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.15.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為_(kāi)____________，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的重心恰為點(diǎn)，則直線斜率為_(kāi)____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】空1：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，干脆求出a，c，再依據(jù)橢圓中a，b，c之間的關(guān)系求出m的值，最終求出上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；空2：設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出弦MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面對(duì)量共線定理進(jìn)行求解即可.【詳解】空1：因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，所以有且，而，所以，因此橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；空2：設(shè)直線MN的方程為：，由（1）可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，直線方程與橢圓方程聯(lián)立：，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，于是有：，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)榈闹匦那辄c(diǎn)，所以有，即，因此有：，得：，所以直線斜率為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了三角形重心的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.16.已知、，設(shè)函數(shù)，上的最大值為，則的最小值為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)得出，由函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)可得出，，再利用肯定值三角不等式可求得的最小值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，所以，，，，，因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查含肯定值的三角函數(shù)的最值的求解，考查肯定值三角不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.17.已知向量，，滿意，，，，則的最小值是______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可利用坐標(biāo)表示向量，化簡(jiǎn)條件得對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡為圓，再依據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡為直線，利用圓心到直線距離求最小值.詳解】可設(shè)，,因此對(duì)應(yīng)點(diǎn)C在以為圓心，2為半徑的圓上設(shè)，則因此對(duì)應(yīng)點(diǎn)D在直線上，到直線的距離為而表示，所以的最小值是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)表示向量、圓的方程、直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解實(shí)力，屬較難題.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.18.已知函數(shù)的最大值為2.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值以及取得最值時(shí)的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）先依據(jù)二倍角正弦公式與余弦公式、協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值，解得，最終代入求的值；（2）先依據(jù)兩角和正弦公式、二倍角正弦公式與余弦公式化簡(jiǎn)，再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值以及對(duì)應(yīng)自變量.【詳解】解：（1），因?yàn)榈米畲笾禐?所以，（2）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角正弦公式與余弦公式、協(xié)助角公式、兩角和正弦公式、正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.19.如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）取，的中點(diǎn)，，連接，，，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）解法一：利用線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐體積公式進(jìn)行求解即可；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最終利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）如圖，取，的中點(diǎn)，，連接，，，因?yàn)?，，所以，，，又，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，即，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；?）解法一：設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，，所以，由?），，又，所以，平面，所以平面，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為，所以，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：建系法如圖，建立空間坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，由，得即，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，可得，于?【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了三棱錐體積公式的應(yīng)用，考查了利用空間向量夾角公式求線面角的正弦值，考查了推理論證實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.20.等差數(shù)列和等比數(shù)列滿意，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意：，求證：.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而再分別求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）先依據(jù)題意得出，繼而可得，然后利用錯(cuò)位相減法求和再證明即可.【詳解】（1）由①，可得（）②，①②得（），又，所以，由得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則有，令，有，令，有，解得，，所以，；（2）由得，所以，令，則，兩式相減得，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查與的關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，屬于?？碱}.21.如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交軸于、兩點(diǎn)，記、的面積分別為、.（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可知，直線的斜率不為，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式與弦長(zhǎng)公式可證得結(jié)論成立；（2）求得直線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得的最小值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）由已知可得、，若直線的斜率為，則該直線與拋物線不行能有兩個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率不行能為，故可設(shè)，聯(lián)立，設(shè)、，則，，所以，而，故；（2）直線，可得，同理，所以，所以，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題，考查三角形的面積、弦長(zhǎng)問(wèn)題，同時(shí)也考查了參數(shù)的最值的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.22.函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，求得，分、、三種狀況探討，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種狀況探討，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證是否成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義