函數(shù)綜合及其應(yīng)用答案

專(zhuān)題二函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

第六講函數(shù)綜合及其應(yīng)用

答案部分

1.A【解析】解法一根據(jù)題意，作出了(X)的大致圖象，如圖所示

當(dāng)xWl時(shí)，若要恒成立，結(jié)合圖象，只需工2一工.+32-(]+〃)，即

Yy1

X2一一+3+。20,故對(duì)于方程/――+3+。=0,△=(——)2-4(3+a)W0,解得

222

47v7Y

；當(dāng)x>l時(shí)，若要恒成立，結(jié)合圖象，只需

即又'+222,當(dāng)且僅當(dāng)±=2,即x=2時(shí)等號(hào)成立，所以aW2,

2x2x2x

綜上，a的取值范圍是[-%>,2].選A.

16

111Y

解法二由題意/U)的最小值為1,此時(shí)％=-.不等式/(X)2|]+〃|在R上恒成立

r1I

等價(jià)于|4在R上恒成立.

當(dāng)。二-2/"時(shí)，令x=L,

不符合，排除C、D：

2

當(dāng)。=募時(shí)，令X=；，苴>不符合，排除已選A，

2.D【解析】“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車(chē)消耗1升汽油,

最多行駛的路程為乙車(chē)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，A錯(cuò)決B中以相同速度行駛相同路程，甲

燃油效率最高，所以甲最省油，B錯(cuò)誤，C中甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，甲

車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km,消耗8升汽油，C錯(cuò)誤，D中某城市

機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí).由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用

丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，選D.

3.B【解析】由題意可知〃=HK+從+c過(guò)點(diǎn)(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入

”=〃2+4+C中可解得。=-02/=1.5,。=一2,???p=-0.2r2+1.5/-2=

-0.2(-3.75)2+0.8125,???當(dāng)[=3.75分鐘時(shí)，可食用率最大.

4.D【解析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為％,原生產(chǎn)總值為a,則(l+〃)(l+g)a=a(l+x)2,解得

x=J(l+p)(l+q)—1,Sfc?D.

5.①④[解析]①e/(x)=/.2Y=(，"在R上單調(diào)遞增，故/(力二2-具有M性質(zhì)；

②=夕?3T=(3在R上單調(diào)遞減，故f(x)=37不具有M性質(zhì)；

3

③〃*)=/?￡,令ga)=eJd,貝ijg'(4)=e*r3+/?3/=d/(九+2),

.?.當(dāng)x>-2時(shí)，g<x)>0,當(dāng)x<-2時(shí)，g,(x)<0,

，/(1)二d?爐在(-00,-2)上單調(diào)遞減，在(一2,+8)上單調(diào)遞增，

故/(x)=，*不具有M性質(zhì)；

④exf(x)=ex(X2+2),令g(x)=ex(x2+2),

則/(x)=ex(x2+2)+^-2x=ex[(x+1)2+l]>0,

A//(x)=e\jc+2)在R上單調(diào)遞增，故/(%)=<+2具有M性質(zhì).

6.8【解析】由丁f(x)e[0,l),則需考慮IWXVIO的情況，

在此范圍內(nèi)，xeQ且xwO時(shí)，設(shè)％=，，。應(yīng)￡1^,〃之2,且〃國(guó)互質(zhì)，

若IgxsQ,則由lgx￡(O/)，可設(shè)lgx=^，肛〃EN*,機(jī)22,且根,〃互質(zhì)，

m

10生=〃10"=("廣

因此m“，則一，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，

pP

因此Igx任Q,

因此Igx不可能與每個(gè)周期內(nèi)工￡。對(duì)應(yīng)的部分相等,

只需考慮1g1與每個(gè)周期X任。的部分的交點(diǎn)，

畫(huà)出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外(1,0)其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù)，屬于每個(gè)周期x￡。的

部分，

且4=1處(lgx)'==<1,則在》=1附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，

xlnlOInlO

7.4/1?【解析】如圖連接?！杲籄C于G,由題意OEJ.AC,設(shè)等邊三角形48C的邊

/3小

長(zhǎng)為x(0<x<5),則GE=5-^X.

66

由題意可知三棱錐的高力=We-OG~=J（5-gxY一（gx?=^25-_^x

底面SSBC=。，'

4

三棱錐的體積為丫=%FX2XI25-fex4-x5,

34V312V3

設(shè)〃(幻=5/一史/，則”（尤）=20/一空/（o<x<5）,

T

令/f(x)=O,解得x=4]當(dāng)％w(0,4皿寸，h\x)>0,〃(為單調(diào)遞增;

當(dāng)兀w(443)時(shí)，h\x)<0,力。)單調(diào)遞減，

所以尤=4#是以幻取得最大值力(4析=(4娟

所以丫=Yi5x產(chǎn)叼聲戶(hù)X(4^)2=4

8fx3-3x,x0

.2,(一8,-1).【解析】①若。=0,則fa)=〈，當(dāng)x>0時(shí)，—2xv。；

\-2x,x>0

當(dāng)x,,0時(shí)，/,(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),所以函數(shù)/(.r)在(-8,-1)上單調(diào)遞

增，在(-1,0］上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(x)在(-oo,0］上的最大值為〃-1)=2.

綜上函數(shù)的最大值為2.

②函數(shù)y二尸一3x與y=-2x的大致圖象如圖所示

若/(x)無(wú)最大值，由圖象可知一2。>2,即av-l.

『192=192

9.24【解析】由題意得〈刈，，即，所以該食品在33℃的保鮮時(shí)間是

［*3=48『

33k+bnkh

y=e=(e)^e=(L^193=24.

2

10.(2歷⑥)【解析】函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?根據(jù)已知得”")+&(')="x),

2

所以h(x)=2/(%)-g(x)=6x+2bJ4-d，h(x)>g(x)恒成立，

即6x+2h-V4-X2>A/4-X2,令、=3x+b,y=\j4-x2則只要直線(xiàn)y=3x+b

在半圓f+'2=4(》20)上方即可，由曳〉

2,解得b>2?(舍去負(fù)值)，故實(shí)

V10

數(shù)h的取值范圍是(2疝+8).

11.160【解析】設(shè)該容器的總造價(jià)為y元，長(zhǎng)方體的底面矩形的長(zhǎng)xm,因?yàn)闊o(wú)蓋長(zhǎng)方體

4

的容積為453,高為所以長(zhǎng)方體的底面矩形的寬為_(kāi)相，依題意，得

X

y=20x4+10(2x+2x4)=80+20a+力80+20x=160

TxVA

12.①③④【解析】對(duì)于①，根據(jù)題中定義，/a)wA=函數(shù)y=/(x),xcO的值域

為R,由函數(shù)值域的概念知，函數(shù)y=/(x),x￡O的值域?yàn)镽=Vb￡尺ma￡O

f(a)=b,所以①正確；對(duì)于②，例如函數(shù)/(冗)=(%"的值域?1]包含于區(qū)間[_?],

2

所以但/(x)有最大值1,沒(méi)有最小值，所以②錯(cuò)誤：對(duì)于③，若

/(x)+g(x)wB,則存在一個(gè)正數(shù)M,，使得函數(shù)f(x)+g(x)eB的值域包含于區(qū)間

[-所以一MiW/(x)+g(x)WM1,由g(x)cB知，存在一個(gè)正數(shù)M2，

使得函數(shù)g(x)的值域包含于區(qū)間[-加I,M?],所以-MzWg(幻亦有

-M2W-g{x}WM2,兩式相加得—(陷+M2)^f(x)WM+"2，于是『(幻eB,

與已知A”矛盾,故/(x)+g(?任3,即③正確；對(duì)于④，如果。>0,

那么Xf+ooj(x)f+00,如果。<0，那么X->-2J(x)->+00,所以/(X)有最

大值，必須々=0,此時(shí)/(?=j在區(qū)間(一2,+0。)上,有一

d+l22

所以即④正確，敢填①?@.

13.【解析】(1)當(dāng)0vxW30時(shí)，f(x)=30<40恒成立，公交群體的人均通勤時(shí)間不可能

少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；

當(dāng)30Vx<100時(shí)，例。<〃?，即十二00-90>40,解微<20(舍)或45；

x

，當(dāng)45<x<100時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；

(2)設(shè)該地上班族總?cè)藬?shù)為〃，則自駕人數(shù)為〃?1%,乘公交人數(shù)為〃-(1-x%).

[30???x%+40?n-(1-x%)

0<xW30

因此人均通勤時(shí)間g(x)=<iQnn〃

(2x+-90).?x%+40-n.(1-x%)

----------------------------------,30<x<100

n

[,40-±x,0<x^30

整理得：g(x)”110,

―2.5)+36.875,30<x<100

則當(dāng)％w(0,30]U(30,32.5],即xe(0,32.5]時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(32.5/00)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增.

實(shí)際意義：當(dāng)有32.5%的上班族采用自駕方式時(shí)，上班族整體的人均通勤時(shí)間最短.適

當(dāng)?shù)脑黾幼择{比例，可以充分的利用道路交通，實(shí)現(xiàn)整體效率提升；但自駕人數(shù)過(guò)多，則容

易導(dǎo)致交通擁堵，使得整體效率下降.

14.【解析】(1)連結(jié)尸。并延長(zhǎng)交MN于H,則巴/_LMN,所以O(shè)H=10.

過(guò)O作OE_L8C于E,則。七〃MN,所以NCOE=6,

故OE=40cos&EC=40sin8

則矩形A8CO的面積為2x40cos6(40sin6M-10)=800(4sin6bos<%cos例，

bCDP的面積為[x2x40cos^40-40sin⑨=1600(cos^-sin^:osG).

2

過(guò)N作GN_LMN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G和K,則GK=KN=10.

1TT

令NGOK=e,則sin8=,6>G(0,).

°040~6

當(dāng)。時(shí)，才能作出滿(mǎn)足條件的矩形ABCD,

°2-

所以sin的取值范圍是J,l).

4

答：矩形ABCD的面積為800(4sinaos/cos份平方米，ACDP的面積為

1600(cos久sinaos⑨，sin弼取值范圍是JJL).

4

(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4：3,

設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為次(2>0),

則年總產(chǎn)值為4Ax800(4sinftosft-cos^)+3火xl600(cosQsina:os例

7T

=8000Msin6bos分cos⑨,猴[6,).

02

設(shè)/(4=sin&osa_cos。，5,

02

則=cos20-sin20-sine-(2sin2分sinQl)=-(2sin0-l)(sinft-l).

71

令/(4=0,得R

jr6

當(dāng)失?,)時(shí)，f⑹>0,所以/(4為增函數(shù)；

06~

當(dāng)魚(yú)("」)蟲(chóng)，/(3<0,所以為減函數(shù)，

62

兀

因此，當(dāng)必/時(shí)，/(仍取到最大值.

6

71

答:當(dāng)圖邛寸，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

6

/1S))()得?

15.【解析】(1)由log2(,上J亍+5>1,

解得工￡(-00,-。(0,-KC).

【小

(2):+〃=(a-4)x+2〃-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,

x

當(dāng)。=4時(shí)，x=-l,經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意.

當(dāng)。=3時(shí)，x1=x2=-l,經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意.

當(dāng)aw3且aw4時(shí)，?=1,x,=-l,x.^Xy.

再是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)1+a>0,即。>2；

修是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)1+a>0,即a>l.

石

于是滿(mǎn)足題意的4￡(1,2].

綜上，4的取值范圍為(1,2］u{3,4}.

(3)當(dāng)0c舌〈工2時(shí)，i+aA^+a，log

X-X-2X

所以/(x)在(o,y)上單調(diào)遞減.

函數(shù)/(%)在區(qū)間［〃+1］上的最大值與最小值分別為了"),/(r+1).

/(，)_/(，+1)=1號(hào)]+[,lo耳'+a'f1即。廠(chǎng)+(a+1>一IN0>

對(duì)任意f￡「1,/成立.

5J

因?yàn)?。?,所以函數(shù)yuar+Gz+l'T在區(qū)間「1/上單調(diào)遞增,

m」

1時(shí)，y有最小值

：〃一|,由:々/NO,得

242423

故〃的取值范圍為「2

,-K?.

仁)

16.懶斤】(I)由題意知，點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).

〃=40

將其分別代入y==1000

二例a=0

?---------=2.5

I400+b

1000(1000)

(2)①由(1)知，y=(5<x<20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,

2000

設(shè)在點(diǎn)p處的切線(xiàn)/交工,y軸分別于A,B點(diǎn)，y=-

10002000

則/的方程為y-=-(Zx-⑸0、B/o：°時(shí)

21

te5,2

故/(。=卜

②設(shè)g(1)=/2+4x1°，蛔。)=2"16>1。6令g()=0,解得r102.

-^5-=丁

當(dāng)左(5,1()4)時(shí)，g'(z)<(),g(f)是減函數(shù);

當(dāng)'t(ioGo)時(shí)，g'a)>o,g(。是增函數(shù).

從而，當(dāng)”10。時(shí)，函數(shù)g。)有極小值，也是最小值，所以g(，L=300,

此時(shí)=15旨.

答：當(dāng)r=10例，公路/的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為153jr米.

17.廨析】(I)因?yàn)樾钏貍?cè)面積的總成本為100?2萬(wàn)/2=200加7元，底面的總成本為

160/元，所以蓄水池的總成本為(200^/2+16(hr2)元.

又題意據(jù)200用為+160加2=12000加所以力二_(300-4r),

5r

從而V(r)=加2〃=%300r一4/).因/?>(),又由。>0可得，<5初"

故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5/.

4jr

(II)因丫(廠(chǎng))=_(300r—4力，故V'(r)=_(300—12/).令已⑺二o,

J~5

解得八=5,々=—5(因力二-5不在定義域內(nèi)，舍去).

當(dāng)「￡(0,5)時(shí)，V\r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)：

當(dāng)「￡(5,56時(shí)，VV)<0,故V(r)在(5,近上為減函數(shù).

由此可知，V(r)在「=5處取得最大值，此時(shí)力=8.

即當(dāng)r=5,。=8時(shí)，該蓄水池的體積最大.

18.B?f](1)當(dāng)匕=1,。=一1,〃...2時(shí)，f(x)=xn4-x-l.

V/(l)/(D=(1-1)xl<0,??./。)在(1,1)內(nèi)存在零點(diǎn).

2T22

又當(dāng)時(shí)，/(幻=電廠(chǎng)+1>0,???7(%)在J/)上是單調(diào)遞增的,

22

???f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

2

⑵解法一由題意知上嚶/(T)1,即[。罌一。2,

-1W(1)1,-2^1b+c由圖像知，b+3c在點(diǎn)

II0,

(0,-2)取得最小值-6,在點(diǎn)(0,0)取得最大值0.

b

解法二由題意知一1強(qiáng)獷(1)=1+匕+c1，即一2強(qiáng)必+c0.…①

一1領(lǐng)J/(一D=1—1，即-2?f+c?().…②

①x2+②得一6?2(當(dāng)+c)+(-b+c)=b