人教版高中數(shù)學(xué)必修五培優(yōu)輔導(dǎo)拔高講義-學(xué)生版

人教版高中數(shù)學(xué)必修五培優(yōu)輔導(dǎo)拔高講義

第一章解三角形

1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，R為AABC的外接圓的半徑，則

有，一=~^—=，一=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的變形公式：①Q(mào)=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2RsinC；

dhc

（2）sinA=——，sinB=——，sinC=——；（3）a:/?:c=sinA:sinB:sinC；

27?2R2R

〃++cahc

④——--------=_L=」_=_^.（正弦定理主要用來(lái)解決兩類問(wèn)題：1、已知兩邊和其

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

中一邊所對(duì)的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無(wú)解三中情況）

如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫(huà)出圖：法一：把a(bǔ)

擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡與AD有無(wú)交點(diǎn)：1.當(dāng)無(wú)交點(diǎn)則B無(wú)解、2.當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、3.

當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：1.當(dāng)a＜bsinA,則B無(wú)解

2.當(dāng)bsinAVaWb,則B有兩解3.當(dāng)a=bsinA或a＞b時(shí)，B有一解

注：當(dāng)A為鈍角或是直角時(shí)以此類推既可。

3、三角形面積公式:=—bcsinA=—“OsinC=—acsinB

222

4、余弦定理：在AABC中，a2-b2+c2-2hccosA,Z?2=a2+c2-2czccosB,

c2=a2+b2-labcosC.

人人b~+c~—u~u~+c~-b~_ci~+b—c~

5、余弦定理的推論：cosA=----------------,cosB=------------------,cosC-------------------

2bclaclab

（余弦定理主要解決的問(wèn)題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角）

6、如何判斷三角形的形狀：設(shè)。、b、c是AABC的角A、B、C的對(duì)邊,

則：①若力+尸=^,則。=90；②若/+尸＞/,則。＜90.

③若/+〃＜。2,則若＞90.

7.正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距6千米的C、D

兩點(diǎn)，并測(cè)得NACB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,NADB=45°（A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求兩目標(biāo)A、B

之間的距離。

8.三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

第二章數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù).2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).

3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.4、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.

5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：a?tl>a?）.

6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：a?H<a?）.

7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：

8、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

9,數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列｛q,｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系的公式.

10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)q,與它的前一項(xiàng)凡（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式.

11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這

個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.符號(hào)表示注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

①一%_1=d（"N2,d為常數(shù)）②=?！?[+冊(cè)_]（“22）③冊(cè)=（〃，及為常數(shù)）

12、由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則A稱為“與匕的等差中項(xiàng).若

〃+C

b=-,則稱分為a與c的等差中項(xiàng).

2

13、若等差數(shù)列｛4〃｝的首項(xiàng)是q,公差是d,則%=q+（〃-l）d.

（I—Q

14、通項(xiàng)公式的變形：?an=am+（n-rn）d.②4=41③-二；

a-a,.J_a“一"m

@n=-n⑤d—.

dn-m

15、若｛4｝是等差數(shù)列，S.m+n=p+q（m、〃、p、qeN*）,則知+為=%+為；若｛a,｝是等

差數(shù)列，且2〃=p+q（〃、p、qeN*）,則24=%+為.

c°〃伍—1）,

16、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式：①=一--；②S.=.q+、2d.③

s〃=q+%++

17、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2〃（〃eN*）,則S2"=M4+Q”+J,且S偶-S奇=〃/,

"■=馬-.②若項(xiàng)數(shù)為2〃-l（〃N"）,則S2“L（2〃一1）4,且5奇一5偶=4,^-=—（其中

3偶4+1S俯n-1

S奇—na”,5偶=（?—1）??）?

18、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這

個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.符號(hào)表示：4叱=4（注：①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號(hào)位上

a“

的值同號(hào)）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①?！?%_闖（〃之2,g為常數(shù)且H0）②

播（在2,冊(cè)冊(cè)+/_戶0）③斯=""（c，4為非零常數(shù)）.④正數(shù)列｛?！埃傻缺鹊某湟獥l件

是數(shù)列｛1。&an]（x>l）成等比數(shù)列.

19、在。與匕中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，則G稱為。與匕的等比中項(xiàng).若G2=ab,

則稱G為a與b的等比中項(xiàng).（注：由G?="不能得出a,G,方成等比，由a,G,b=>G2=a/?）

20、若等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)是%,公比是q,則an=而1.

21、通項(xiàng)公式的變形：①4=%〃""'；②，=a〃qY"T）；③〃，一=2；④〃=2.

1

22、若｛4｝是等比數(shù)列，且m+〃=〃+“（m>〃、p、^GN*）,則4〃?4=ap?4；若｛〃〃｝是等比

+2

數(shù)列，且2〃=p+q（〃、p、g6N）,則%=冊(cè)?4.

叫（q=1）

+a

23、等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和的公式:①S,,="（I—/）aaq.②％=4+。2+?

S[=?|（?=1）

24、對(duì)任意的數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和邑，與通項(xiàng)a”的關(guān)系：即=彳/[注]:①

冊(cè)/+（"-/=?+（%―/）（d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）―若

"不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.②等差｛%,｝前"項(xiàng)和S,尸命+的公卜+口仁介一1?可以為

零也可不為零一為等差的充要條件一若4為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的

充分條件.③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

25、幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，在"YO時(shí)，有最大值.如何確定使S“取

最大值時(shí)的”值，有兩種方法：一是求使?！?0,冊(cè)+1Y0,成立的"值；二是由S“=3"2+（巧_多〃利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求〃的值.數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)

等差數(shù)列y=dx+5（dw0時(shí)為一次函數(shù)）

an=+(%一l)d=嬴+(何-d)

等比數(shù)列=acx

n-i以1nyi（指數(shù)型函數(shù)）

%=可1=—q

q

數(shù)列前n項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)

n(n-X),d2,d、2

等差數(shù)列sna

n=\+2d=2"+31-2)?y=ax+bx（aw0時(shí)為二次函數(shù)）

等比數(shù)列歹=3、+&（指數(shù)型函數(shù)）

Dv)----------——----Q十----

]-q1—(71—(7

我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開(kāi)了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為

我們解決數(shù)列有關(guān)問(wèn)題提供了非常有益的啟示。響

26、等差數(shù)列中，a*=求=建,（活。則&*■?=.

分析:因?yàn)椋?）是等差數(shù)列，所以即是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,

),(m,n),(m+n,

n-m_a^n-n

%<+*）三點(diǎn)共線，所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即搐一”（冽+功-川，得白海+￡=0（圖像如上）,

這里利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡(jiǎn)潔。

27、等差數(shù)列中，刈=25,前n項(xiàng)和為%,若S9=旬7,n為何值時(shí)％最大？

d2,,d、

VW~^n+31一三）〃

分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和其可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)5=22,

（冬％）是拋物線,（X）=5x+31.5）'上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，,（9）二/（17）,

9+17

X==13

則因?yàn)橛驧最大值，故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，并且對(duì)稱軸為

A最大。

28、遞增數(shù)列LJ,對(duì)任意正整數(shù)n,恒成立，求工

1°構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列1點(diǎn)J遞增得到：即+1一樂(lè)>°對(duì)于一切%C獷恒成立，即2花+1+4>0恒成

立，所以，>一（2?2+1）對(duì)一切％6兇.恒成立，設(shè)/5）=-（2^+1）,則只需求出/（%）的最大值即可，

顯然了5）有最大值/⑴=-3,所以4的取值范圍是：4>-3。

2°構(gòu)造二次函數(shù)，%=/+.看成函數(shù)〃x）=/+4x,它的定義域是OIxNLxeN*）,因?yàn)槭沁f

__A

增數(shù)列，即函數(shù)/（X）=/+為遞增函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為［Lm）,拋物線對(duì)稱軸''―2,因?yàn)楹瘮?shù)f（x）

A

x=~,

為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱軸2在x=L5

A3

——〈一

的左側(cè)也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，22,得為>-3.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前

〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：

242"

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，

公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,人的最小公倍數(shù).

29.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法：對(duì)于n22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證

為同一常數(shù)⑵通項(xiàng)公式法。（3）中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證2aM=a“+??-2

an-\

（a*=anall+2）neN都成立。

a>0

30.在等差數(shù)列｛q｝中，有關(guān)心的最值問(wèn)題：（1）當(dāng)q>0,d<0時(shí)，滿足《m的項(xiàng)數(shù)m使得%取

14向<°

最大值.（2）當(dāng)/<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得s,“取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用。

二、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于」一其中｛凡｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘

。,4+1.

的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛a?bn｝其中｛a,,｝是等差數(shù)列，｛b,,｝是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論1):1+2+3+...+n=+D2)1+3+5+.??+(2n-l)-n~

2

一2

I~\l2+22+32+…+〃2」〃(〃+l)(2〃+l)

3)l3+23+---+n3=-?(?+!)4)

6

、11111/1、

5)-----------=-------------------------------=-(--------------)6)—=---(---)(p<q)

n(n+1)n〃+1n{n+2)2n九+2

第三章不等式

1、a-b>0<=>>/?；a—b=Ooa=b；a-b<0a<b.

2、不等式的性質(zhì)：?a>b<^>b<a；?a>b,b>c=>a>c；③a>h=a+c>b+c；

@a>b,c>0ac>be,b,C<0AdC〈be

(§)a>b,c>d=>a+c>b+d；

(§)!⑦a>b>()=a">""(〃wN,〃>l)；?a>b>O^>\[a>^(HGN,H>1).

3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.

4、含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

5.整式不等式(高次不等式)的解法

nx

穿根法(零點(diǎn)分段法)求解不等式：+axx-+a2fL2+.??+4>0(<0)(a()>0)

解法：①將不等式化為ao(x-x)(x-X2)…(x-xJ>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”：(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并將根按從小到大的在數(shù)軸上從左到右的表示出來(lái)；③由右上方穿線(即從右向左、從上往下:

偶次根穿而不過(guò)，奇次根一穿而過(guò))，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；④若不等式(x的系數(shù)化“+”

①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的討論.

A>0A=0A<0

、

二次函數(shù)1rA\\1J

y—ajc+bx+c\LT

(a>0)的圖象X1=X2XJrx

一元二次方程有兩相等實(shí)根

有兩才電異實(shí)根

ax2+bx+c=Qh

-

X1,X2(X]<x2)%]=工2=T-無(wú)實(shí)根

(a>。的根2a

ax1+bx+c>0

CX1^)C>x2]<

3>0)的解集2a]R

ax1+bx+c<0

心<x<x}

20

3>0)的解集0

對(duì)于a<0的不等式可以先把a(bǔ)化為正后用上表來(lái)做即可。

2.分式不等式的解法(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為』”>0(或工”<0)；N0(或的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)44>°^fMsM>o；440■0

g(x)g(x)[g(x)*u

3.含絕對(duì)值不等式的解法：基本形式：①型如：|x|Va(a>0)的不等式的解集為：｛x[—a<x<。｝

②型如：|x|>a(a>0)的不等式的解集為：｛x[x<—4或x>@變型：

\ax+b\<c(c>0)型的不等式的解集可以由｛x\-c<ax+h<c]解得。其中-c<ax+b<c等價(jià)于不等式組

QX+b<c

-在解-c<ax+b〈c得注意a的符號(hào)。|ax+4>c(c>0)型的不等式的解法可以由

ax+b>-c

｛x\ax+b>c,或我+b<-c｝來(lái)解。③對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值的不等式：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”

A>0

-±<0

②若兩根都小于0,即a<0,尸<0,則有

2a

/（0）>0

③若兩根有一根小于0一根大于0,即。<0<夕，則有/(0)<0

④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即加<aW/?<〃，

A>0

b

則有《2a

>0

./(?)>0

⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間，即機(jī)<a</<用<〃，

/(/?)>0

則有，/(0<0

./(〃)〉0

常由根的分布情況來(lái)求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

5、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.

6、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組.

7、二元一次不等式(組)的解集：滿足二元一次不等式組的X和)，的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x,y),所有這

樣的有序數(shù)對(duì)(%,y)構(gòu)成的集合.

8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ar+By+C=0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)「(小,%)?

①若B>0,A%+Byo+C>O,則點(diǎn)P（%,%）在直線Ar+By+C=0的上方.

②若B>0,A^+B.y0+C<0,則點(diǎn)P（小,%）在直線Ar+By+C=0的下方.

9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ar+By+C=O.

(一)由B確定：①若B>0,則Ax+By+C〉0表示直線Ar+B)，+C=0上方的區(qū)域；Ar+By+C<0

表示直線Ax+B），+C=O下方的區(qū)域.②若B<0,則Ax+B），+C>0表示直線Ax+B），+C=O下方的

區(qū)域；Ax+By+C<0表示直線Ar+By+C=O上方的區(qū)域.

（-）由A的符號(hào)來(lái)確定：先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號(hào)方向：①若是“〉”號(hào)，則Ax+By+C>0

所表示的區(qū)域?yàn)橹本€1：Ax+By+C=0的右邊部分。②若是“心號(hào)，則Ax+B），+C<0所表示的區(qū)

域?yàn)橹本€1:Ax+By+C=0的左邊部分。

（三）確定不等式組所表示區(qū)域的步驟：①畫(huà)線：畫(huà)出不等式所對(duì)應(yīng)的方程所表示的直線②定測(cè)：由上

面（一）（二）來(lái)確定③求交：取出滿足各個(gè)不等式所表示的區(qū)域的公共部分。

10、線性約束條件：由尤，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x,），的線性約束條件.

目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x,y的解析式.

線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x,丁的一次解析式.

線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題.

可行解：滿足線性約束條件的解（x,y）.可行域：所有可行解組成的集合.

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.

11、設(shè)。、b是兩個(gè)正數(shù)，則生吆稱為正數(shù)。、匕的算術(shù)平均數(shù)，向稱為正數(shù)。、b的幾何平均數(shù).

2

12、均值不等式定理：若a>0,b>0,則°+。22而，即拓.

2

2i2

13、常用的基本不等式：①a2+吩N2ah（a,b￡R）；②ab<^—（a,beR）；③

,+八，小a2+b2（a+b\八、

"W[2J（〃>0,0>0）；④---21-2-J（za,b;sR）?

14、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：⑴若x+y=s（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積盯取得最大值

$2l

?⑵若xy=p（積為定值）9則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值2J萬(wàn).

第1講正弦定理和余弦定理

★知識(shí)梳理★

1.內(nèi)角和定理：在A4BC中，A+B+C=7T；sin（A+6）=sinC；cos（A+8）=-cosc

A+B.C

cos-sin—

22

2.面積公式：S=—absinC=—￡>csinA=—easinB

MBC222

b

3.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它的所對(duì)角的正弦的比相等.公式為:

sinAsinBsinC

4.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍..

222222

公式為:a=b+c-2bccosAb=c~+a-2cacosBc=/+〃-2abcosC

->2i2

,b-+c-a~-a-+/7--c-

變形為:cosA=---------c-o--s--B--=----------------cosC=----------------

2bc2ca2ab

★重難點(diǎn)突破★

1.重點(diǎn):熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式，利用內(nèi)角和定理實(shí)現(xiàn)三內(nèi)角之間的轉(zhuǎn)換，解題時(shí)應(yīng)注

意四大定理的正用、逆用和變形用

2.難點(diǎn)：根據(jù)已知條件，確定邊角轉(zhuǎn)換.

3.重難點(diǎn)：通過(guò)正弦定理和余弦定理將已知條件中的角化為邊或邊化為角后，再實(shí)施三角變換的轉(zhuǎn)化過(guò)程

以及解三角形中的分類討論問(wèn)題.

(1)已知兩邊和其中一對(duì)角，.求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意分類討論

問(wèn)題1:在A43c中，A、B的對(duì)邊分別是a、b,且A=30",a=，b=4,那么滿足條件AABC

()

A、有一個(gè)解B,有兩個(gè)解C、無(wú)解D、不能確定

問(wèn)題2:已知圓內(nèi)接四邊形ABCO的邊長(zhǎng)分別為A3=2,BC=6,CD=04=4,求四邊形43CD的

A.

B

'0D

C

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1:運(yùn)用正、余弦定理求角或邊

題型1.求三角形中的某些元素

例1.已知：A、B、C是AABC的內(nèi)角，a,b,c分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量相=(6,cos(%-A)—1),

t7CfVs

n=(cos(--A),l),ml.n.(I)求角A的大??；(II)若a=2,cosB=—,求人的

長(zhǎng).

題型2判斷三角形形狀

［例2］在AA5c中，bcosA=acosB,試判斷三角形的形狀.

考點(diǎn)2:三角形中的三角變換

題型:利用正、余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，進(jìn)行邊角互換,結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.

例1.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,，且A=60°,c=3機(jī)求：（1）區(qū)的值；（II）

c

cotB+cotC的值.

考點(diǎn)3與三角形的面積相關(guān)的題

題型1:已知條件求面積

53

例1:在AABC中，cosA=-一，cos6=—.(I)求sinC的值；(II)設(shè)BC=5,求△ABC的

135

面積.

題型2:已知面積求線段長(zhǎng)或角

5433

例2.在AABC中，cos￡?=-p,cosC=-.⑴求sin4的值；⑵設(shè)A48C的面積S^BC=彳，求BC

的長(zhǎng).

第2講解三角形應(yīng)用舉例

★知識(shí)梳理★

1.已知兩角和一邊（如A,B,c）,由A+B+C=;r求C,由正弦定理求。涉.

2.已知兩邊和夾角（如。，女C）,應(yīng)用余弦定理求c,邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用

A+B+C=,求另一角.

3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a,"A）,應(yīng)用正弦定理求3,由A+3+C=7求C,再由正弦定理

或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況.

4.已知三邊。,6,c,應(yīng)用余弦定理求A6,C,再由A+B+C=萬(wàn)，求角C.

5.方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角

（一般指銳角），通常表達(dá)成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，南偏東XX度，偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上

方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中。。,。石是視線，NDOC是仰角，NEOC是俯角.

7.關(guān)于三角形面積問(wèn)題

①SM8C=；a6o=gbhb=；c/jc（h。、小人分別表示a、b、c上的高）；

2

②Sv1M=-absinC=—bcsinA=—acsinB；（DS.Anr=2RsinAsin8sinC.（R為外接圓半徑）

222

④SMBC=萼;⑤SAABC=Js（s-a）（S-。）（S-C）/S=：（a+"c）］；

4AkJ

@S&ABC=r>5,（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）

★重難點(diǎn)突破★

1.重點(diǎn)：熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式，結(jié)合幾何性質(zhì)建模解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題

2.難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定

3.重難點(diǎn)：熟練掌握解斜三角形的方法.，熟悉實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化的方法；（1）解三角函數(shù)應(yīng)用

題要通過(guò)審題領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)的本質(zhì)，將問(wèn)題中的邊角關(guān)系與三角形聯(lián)系起來(lái)，確定以什么樣的三角形為模

型，需要哪些定理或邊角關(guān)系列出等量或不等量關(guān)系的解題思路,然后尋求變量之間的關(guān)系，也即抽象出

數(shù)學(xué)問(wèn)題。

問(wèn)題1.如圖，為了計(jì)算北江岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和。兩個(gè)測(cè)

量點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得AO_LCO,AD^lOkm,AB^l4km,ZBDA=60°,/BCD=135°,求兩景點(diǎn)8與

C的距離（假設(shè)4,區(qū)C,。在同一平面內(nèi)，測(cè)量結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：

收=1.414,6=1.732,=2.236）

問(wèn)題2.用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀A8和同時(shí)望見(jiàn)氣球E在它們的正西方向的上空，分別測(cè)得氣球的

仰角是a和夕，已知民。間的距離為a,測(cè)角儀的高度是b,求氣球的高度.人

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1：測(cè)量問(wèn)題

題型:運(yùn)用正、余弦定理解決測(cè)量問(wèn)題

例1.如圖4-4-12,甲船以每小時(shí)3（X歷海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲

船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西1OS方向的四處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到

達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120’方向的層處，此時(shí)兩船相距10后海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多

少海里？

例2.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條

筆直的小路且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120P.已知某人從C沿走到。用了10分鐘，從。沿D4走

到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑。4的長(zhǎng)（精確到1米）.

【新題導(dǎo)練】

1.為了立一塊廣告牌，要制造一個(gè)三角形的支架,三角形支架形狀如圖，要求NAC8=6O",3C的

長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米.為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越好，求AC最短

為多少米？且當(dāng)AC最短時(shí)，8C長(zhǎng)度為多少米?

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1：測(cè)量問(wèn)題

題型:運(yùn)用正、余弦定理解決測(cè)量問(wèn)題

[例1]（2007?山東）如圖4-4-12,甲船以每小時(shí)30底海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直

線航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的4處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船

航行20分鐘到達(dá)4處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的4處，此時(shí)兩船相距100海里，問(wèn)乙

船每小時(shí)航行多少海里？

【新題導(dǎo)練】

1.甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的速度向正北方向行

駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向南偏西60°方向行駛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，甲、乙兩船相

距最近？

乙

2.在奧運(yùn)會(huì)壘球比賽前，C國(guó)教練布置戰(zhàn)術(shù)時(shí)，要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成15°的方向

把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及測(cè)速儀的顯示，通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍，問(wèn)按這樣的布置，游擊

手能不能接著球？（如圖所示）

[例2]（08上海高考）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，

小區(qū)里有兩條筆直的小路A。，DC,且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120.已知某人從。沿0。走到。用了10分鐘，

從。沿D4走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)（精確到1

米）.

【新題導(dǎo)練】

1.如圖，貨輪在海上以35公里/小時(shí)的速度沿方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角）為152°

的方向航行.為了確定船位，在B點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔A的方位角為122°.半小時(shí)后，貨輪到達(dá)C點(diǎn)處，觀

測(cè)到燈塔A的方位角為32°.求此時(shí)貨輪與燈塔之間的距離.

2.（汕頭市金山中學(xué)2015屆高三數(shù)學(xué)期中考試）為了立一塊廣告牌，要制造一個(gè)三角形的支架,三角

形支架形狀如圖，要求NACB=60°,BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米,為了廣告牌穩(wěn)固，

求AC的長(zhǎng)度越短越好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時(shí)，BC長(zhǎng)度為多少米？，A

★搶分頻道★

1.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的

地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（）

A.0.5小時(shí)B.1小時(shí)C.1.5小時(shí)D.2小時(shí)南

2.在A43c中，A:3=1:2,C的平分線CO把三角形面積分成3:2兩部分，則,

cosA=（）

3.如圖，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)4測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15。，向山h

頂前進(jìn)100m后，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45。，假設(shè)建筑物高50m,設(shè)山對(duì)于地平面的斜度。，則

cos0=?"R

4.如右圖，在半徑為K的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的

光線與桌面的夾角9的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即/=〃?粵，其中k

r

是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么電燈懸掛的高度力=,才能使桌子邊緣處最亮.

5.（15年韶關(guān)市二模）某市電力部門在今年的抗雪救災(zāi)的某項(xiàng)重建工程中，需要在A、8兩地之間架設(shè)

高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測(cè)量A、B兩地距離.現(xiàn)測(cè)量人員在相距60〃的。兩地（假

設(shè)A、B,C、。在同一平面上），測(cè)得NACB=75,NBCD=45,ZADC=30,ZADB=45

6.在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，

俯角為30°的8處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60。西、俯角為60°的C處。（1）求船的航行速度是

每小時(shí)多少千米；（2）又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的。處，問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？

7.在正三角形45c的邊AB、4c上分別取E兩點(diǎn),使沿線段OE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊

上，在這種情況下，若要使4。最小，求AZ）：A5的值.

8.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向

與湖岸成15°角，速度為2.5km/h,同時(shí)岸邊有一人，從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度

為4km/h,在水中游的速度為2km/h.問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速

度是多少？

第3講等差數(shù)