高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧：復(fù)數(shù)-教師版

高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧：復(fù)數(shù)

基礎(chǔ)知識

、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

★1、虛數(shù)單位i：四次一循環(huán)i4k+'=i;i4k+2=-1;i4k+3=-i;z4A+4=1;伏GZ)

★2、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：形如。+方(a/eR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記為：z=a+加(a,bcR)。

a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，記為：Rez=a；

。叫做復(fù)數(shù)z的虛部，記為：Imz=Z?,注意：復(fù)數(shù)的虛部是一個實(shí)數(shù)。

注：虛數(shù)不能比較大?。荒鼙容^大小的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)

★3^z,-a+bi,z2-a-bi(a,beR),則稱zrz2為共輾復(fù)數(shù),記為：z1=z2,或z?=z]。

注：實(shí)數(shù)a的共軌復(fù)數(shù)就是本身，即Z=a(a&R)

★4、zeR=Imz=()=z=zoz2N0；

曰次七.[Rez=O[z+z=O2n

z是純虛數(shù)=4<=>z<0

[imzwO[ZHO

★5、復(fù)數(shù)z=。+次的模(或絕對值)：\z\^\a+bi\^a2+b2

二、復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

------------------zZ—

★★1、共匏的性質(zhì)：①Z[±Z2=Z]±Z2；②Z]?Z2=Z]?之2；③(一4二/；④(Z)=Z；

Z2Z2

★★2、模的性質(zhì)：①[Z]?Z2]=區(qū)卜匕2卜②五=口*；③卜]=忖"；

Z2\Z2\

222222

@|z|=|z|=z-z；(§)\Zl+z2\+\Zl-z2\=2(jzJ+|z2|)；

?||Z]I-|z21|z,+z21^Z1I+1z21

★★3、幕的運(yùn)算法則:(注：n-tn為整數(shù))

①z*z"=zf②（z"）M=z""'=（z"'）";③（Z「Z2）"=（Z1）"（Z2）"；

@（1+z）2=2i=>（1+i）2n=（2i）"；（1-z）2=-2z0（1一i）2"=（-2/）"；

三、復(fù)數(shù)方程

★★1、實(shí)系數(shù)一元二次方程：ax2+bx+c-0{a,b,c&R,a*0)

①當(dāng)△=/一4ac>0時=有兩個實(shí)數(shù)根：%,%=——

=

②當(dāng)△=〃-4ac<0時=有一對共軌虛根：xy,x2=—---------

b

Xj+々=---

★★2、無論A20還是△<(),韋達(dá)定理都成立：=1~a

注意：(1)實(shí)系數(shù)一二次方程辦2+反+。=()3,上CGRMHO)中，以下公式和定理通用：

求根公式；利用判別式判斷根的情況與個數(shù)；韋達(dá)定理；共輾虛根定理(即虛根成對出現(xiàn))

(2)虛系數(shù)一元二次方程中：僅韋咨足理可用；

(3)已知王、馬是一元二次方程由^+bx+c=O(。,仇ce0。工。)的兩根，貝J

A>0A<0

①若[X]-1=P（〃>0），則，

2中2-"22

（X1+x2）-44XJX2—（x,+x2）=p

A>0

②若1用1+1/1=P（P>°），則,

x；+x2+21X]X1=p1

22IX1|+1%|=21X]1=2gX[=

四、復(fù)數(shù)的幾何意義

★1、復(fù)平面的有關(guān)概念：實(shí)軸是x軸,虛軸是y軸；與復(fù)數(shù)超一一對應(yīng)的點(diǎn)

是(a,b)；非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,hGR,a2+b2H0)與復(fù)平面上自原點(diǎn)出發(fā)以點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)

的向量02一一對應(yīng)；復(fù)數(shù)模的幾何意義是:復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

★★★2、復(fù)平面上的軌跡問題:

①兩點(diǎn)間的距離公式：d^\z,-z2\；

②線段的中垂線：|z-zJ=|z—Z2|；

③圓的方程：|z-p|=r（以點(diǎn)〃為圓心，「為半徑）；

④圓的內(nèi)部：|z-p|<r（以點(diǎn)〃為圓心，廠為半徑）；

⑤閉圓環(huán)：（以點(diǎn)p為圓心，個弓為半徑）；

⑥橢圓：\z-z}\+\z-z2\-2a（2a為正常數(shù)，2a>[ZI-Z2|）；

線段：\z-z}\+\z-z2\-2a（2a為正常數(shù)，2a

無軌跡：|z-Z||+|z-Z2|=2a（2a為正常數(shù)，2a<\zt-z2\）；

⑦雙曲線：||z-zj-|z-z2|=2a（2。為正常數(shù)，2a<|z]—Z2”；

射線：||Z-ZJTZ-Z2（=2a（2a為正常數(shù)，2a=k-Z2I）；

無軌跡：||z-zj-|z-z2|=2a（2a為正常數(shù)，2a>\zx-z2\）.

題型與方法

一、復(fù)數(shù)的相關(guān)概念

利用復(fù)數(shù)。+次的形式，理解實(shí)部、虛部、純虛數(shù)、虛數(shù)的限制條件。

【例1】若復(fù)數(shù)出口+,人（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)。的值為

1-i2

【難度】★

【答案】2

【例2】復(fù)數(shù)z滿足z'=1+/,則復(fù)數(shù)z的模等于

1i

【難度】★★

【答案】75

【鞏固訓(xùn)練】

1.當(dāng)用取何值時，復(fù)數(shù)------雁君是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)

【難度】★★

【答案】若z為實(shí)數(shù)，則，"—2m—15=0,解得m=5或〃?=一3（舍），故當(dāng)加=5時，z是

實(shí)數(shù)；若z為虛數(shù)，則機(jī)2-2m—15工0,解得m^5且加力一3,故當(dāng)〃?H5,-3時，z是虛數(shù)；

nr-m-6

---------=（）

若Z為純虛數(shù)，貝Mm+3，解得根=3或加=一2,故當(dāng)加=3,—2時，z是純虛數(shù)；

m2-2m-15。0

2.已知z,◎?yàn)閺?fù)數(shù)，（l+3i>z為純虛數(shù)，。=二一，且|3|=50.求復(fù)數(shù)0.

2+z

【難度】★★

【答案】^z=x+yi,{x,yeR）,則（l+3）z=（x-3y）+（3x+y）i為純虛數(shù)，所以x=3ywO,

因?yàn)?勿引宗1=5及，所以Iz.Jf+V=5?；又x=3y.解得

x=15,y=5;無=-15,y=-5所以3=±"+5'=±（7-j）.

2+i

二、復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算

+=

【例3】S^llz.=-—,z2=---,|z,I'

13-i22-i2---------------

【難度】★

【答案】--

10

【例4］求同時滿足下列兩個條件的所有復(fù)數(shù)z；

(1)Z+—&R,且1<Z+—K6；(2)Z的實(shí)部與虛部都是整數(shù).

ZZ

【難度】★★

【答案】設(shè)2=1+9,0,丁6/?)

1010.10（x-yi）10、八10、.

則rhlz+——=x+?+----；=》+?+—；~V-=X（Z1+F---r）+y（l--，---7）］

zx+yix-+yx+y~x~+y

因?yàn)閦+WeR,所以y（l——￡干）=0.所以y=0或爐+J?=脂

z廠+y-

當(dāng)y=0時，z=x,又l<z+W46,所以xeR",而2+3之2河>6,所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無

ZZ

解.

10z?z~1

當(dāng)/+y2=1o時，則z+—=z+---=z+z=2尤.由lv2x<6=>—vx<3

zz2

因?yàn)閤,y為正整數(shù)，所以工的值為1,或2,或3.

當(dāng)X=1時,y=±3；當(dāng)x=20女y=±#（舍）；當(dāng)x=3時,y=±l.

則z=1±3,或,z=3±z.

【鞏固訓(xùn)練】

（l+i）2（a-4

1.已知復(fù)數(shù)2=滿足|z|=；求實(shí)數(shù)4的值.

V2（a-3z）2

【難度】★

【答案】±6

2.已知z=Gsme?cos。,求忖的最大值.

sin。-ij3cos611

【難度】★★

【答案】V3

三、復(fù)數(shù)方程

【例4］實(shí)系數(shù)一元二次方程Y+奴+。=0的一根為百=犯（其中i為虛數(shù)單位），則

1+i

a+b=.

【難度】★★

【答案】1

【例5】若4/2為虛數(shù)且為實(shí)系數(shù)一元二次方程/+內(nèi)+4=0的兩個根，且Z：=Z2,求p,q的

值.

【難度】★★

【答案】設(shè)4=。+初（。,匕€尺。。0）,則22=。一〃，于是（。+沅Ju。一次，即

a1—b1+2abi=a-bi,

1

2f2Q=—r~

從而I"—b="n|2即此一元二次方程的根為一

2ah=-b,yj322

ih=±——

I2

【例6】已知關(guān)于］的方程與=W＜有實(shí)根,則實(shí)數(shù)用的值為

【難度】★★

【答案】—

12

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知夕一2是關(guān)于丁的方程2?十號/*的一個根，則實(shí)數(shù)p+q=

【難度】★★

【答案】34

2.已知方程三，■的兩根為卬￡，若離一?=1，求實(shí)數(shù)p的值.

【難度】★★

【答案】P=±6或P=土加

3.已知關(guān)于x的方程/+伏+為口+2+k=0有實(shí)根，求這個實(shí)根以及實(shí)數(shù)攵的值.

【難度】★★

【答案】實(shí)數(shù)根為0時，k=-2叵,實(shí)數(shù)根為一及時，％=20

四、復(fù)數(shù)的幾何意義

【例7】若復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系|z+2『+|z-4”2=12,貝Ijz對應(yīng)的復(fù)平面的點(diǎn)z的軌跡是（）.

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.直線

【難度】★★

【答案】A

【例8】設(shè)4,z2eC,z；—2ZR2+4z；=0,%|=2,那么以㈤為直徑的圓的面積為（）.

A.71B.47rC.8兀D.16%

【難度】★★

【答案】B

【例9］對于任意兩個復(fù)數(shù)4=玉+兆，Z2=Z2+必i（UX，/，內(nèi)均為實(shí)數(shù)），定義運(yùn)算“回”為：

4.設(shè)非零復(fù)數(shù)外，處在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為6,6，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如

果丹?牡=0,那么在13ppp2中，0PXOP2的大小為.

【難度】★★

TT

【答案】-

2

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知集合P={z||z+z|=|z-z|,ZGC},集合Q={zIIz-l|=1,ZGC},則PClQ=.

【難度】★★

【答案】{0,2}

2.設(shè)三若Z對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則加

【難度】★★

【答案】V15

3.已知方程三~口小才在血石gaj有實(shí)根6,且—求復(fù)數(shù)對應(yīng)

點(diǎn)的軌跡.

【難度】★★

【答案】因?yàn)榉匠蘢+(4+i)x+4+ai=0,(aeH)有實(shí)根6,

人2+4匕+4=0有加a=2,

所以4，解得《所以z=2—2i.

b+a=0h=-2.

設(shè)復(fù)數(shù)z(l-ci)=x+yi,(x,yeR),

因?yàn)镮(l—ci)=(2+2j)(l_ci)=2(l+c)+2(l_c)i,

尤=2(l+c),

所以《〉［(c為參數(shù))消去c,得x+y=4.

ly=2(l-c)，

x-2(l+c)>2,

又因?yàn)閏>0,故，

y=2(l-c)<2.

故復(fù)數(shù)；(1-ci)(c>0)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(2,2)為端點(diǎn)(但不包括端點(diǎn))傾斜角為135°向下的射線.

易錯題型

【例1】設(shè)復(fù)數(shù)z=l—i(i是虛數(shù)單位)，Z的共規(guī)復(fù)數(shù)為三，則|(1—z)W=

【難度】★

【答案】M

【解析】|(l-z)z|=|z-zz|=z-|z|2=|-1+z-2|=V10

【易錯點(diǎn)】利用共葩復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來計算時可以減少計算量，能避免設(shè)一般形式z=a+初的代入

法就盡量不去設(shè)。

【變式訓(xùn)練】

a'/?

1.已知e和￡是實(shí)系數(shù)一元二次方程辦2+/+。=0的兩個虛根，且萬eR,則巴=

【難度】★★

0[一

【答案】因?yàn)槿feR,則?一eR,又因?yàn)閍和￡是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+"+c=0的兩個

虛根，則a=/,￡=￡,故土=上=竺=廢，所以(2、

(3ppa)1，哈-海

【例2】已知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,則復(fù)數(shù)1+Gi+z的模長的最大值為

【難度】★★

【答案】4

【解析】由題意可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓

上。設(shè)z-a+bi(a,beR),則1+也i+z=a+1+加+6},所以

|1+gi+z[=J(a+l)2+,+⑸表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(-1,-6)之間的距

離，所以|1+6，+4=|。4|+「=4

Imax

【易錯點(diǎn)】復(fù)數(shù)z=a+初<-一型巨>復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(一對應(yīng)>向量無，所以

|z|=7a2+b2

【變式訓(xùn)練】

1.復(fù)數(shù)z滿足條件|z+2|=|z-4i|,則忖的最小值為

【難度】★★

【答案】|V5

【例3】已知不，々是實(shí)系數(shù)方程/+x+p=O的兩個根，且滿足|西一/1=3,求實(shí)數(shù)p的值.

【難度】★★

【答案】△二1一4〃，

（1）當(dāng)ANOEbj,即時，%,尢2是實(shí)根，；?I玉一天2hJ（X]+%2）2