27-第二章習(xí)題課下(概率統(tǒng)計(jì))

第二章隨機(jī)變量及其分布習(xí)題課二（下）習(xí)題課二分為上、下兩部分.

在下部分中,在“例題分類解析”部分，講解了：3.連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度及其分布問題；4.關(guān)于正態(tài)分布的應(yīng)用問題；5.隨機(jī)變量的分布函數(shù)問題；6.隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布問題.三、學(xué)習(xí)與研究方法.

在上部分中,我們歸納了第二章的概念、理論與方法等內(nèi)容，并對(duì)關(guān)鍵而又容易出錯(cuò)的地方作了講評(píng).在“例題分類解析”部分，講解了：1.離散型隨機(jī)變量的分布律的計(jì)算問題；2.根據(jù)概率分布求解概率的問題.習(xí)題課二（下）內(nèi)容簡(jiǎn)介：

3.連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度及其分布問題例8確定常數(shù)c,使如下函數(shù)

成為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度.本題涉及到連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)——非負(fù)性和歸一性.邏輯上是應(yīng)用定理:如果某函數(shù)滿足非負(fù)性和歸一性,那么它可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度.分析解

令得到c=1.

顯然,非負(fù)性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))滿足.

所以,函數(shù)g(x)在c=1條件下可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度.講解度,用性質(zhì)f(x)≥0(x∈(-∞,+∞))和若f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密

可確定連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(x)中的待定參數(shù).這是求連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(x)中未知參數(shù)的基本方法.需要注意本題的要求和邏輯關(guān)系.利用概率密度的性質(zhì)求連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(x)中的未知參數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率計(jì)算中的重要問題,也是我們經(jīng)?？疾榈闹攸c(diǎn)之一.這是因?yàn)?在實(shí)際問題中,我們往往是先知道隨機(jī)變量的分布類型,而分布類型中的參數(shù)需要我們利用概率密度的性質(zhì)來確定.擴(kuò)展確定了參數(shù),我們就完全掌握了這個(gè)概率分布;進(jìn)而我們可以利用這個(gè)概率分布計(jì)算概率、分析性質(zhì)、預(yù)測(cè)與控制未來發(fā)展趨勢(shì)等因此，在概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用分析中，經(jīng)常要求我們求解未知參數(shù)，其原因就在于此.

本題涉及到利用判別式Δ=b2-4ac,求含Y的不等式；涉及已知分布求概率的問題.利用均勻分布的概率密度即可解決.

例9

設(shè)隨機(jī)變量Y服從均勻分布U(-5,5),求關(guān)于x的方程的概率.有實(shí)根分析解

Y的概率密度方程有實(shí)根的充要條件是

Y≥4或Y≤-1.解得于是有{方程有實(shí)根}={Y≥4}∪{Y≤-1},故方程有實(shí)根的概率為P{Y≥4}+P{Y≤-1}

求連續(xù)型隨機(jī)變量的有關(guān)概率問題經(jīng)常用到下列公式:講評(píng)(1)(注意:“<”換成“≤”,公式仍成立);

(2)P{X=a}=0.

在題設(shè)條件方面,如果換成離散型隨機(jī)變量的分布律同樣可以求方程有實(shí)根的概率;也可以改變結(jié)論：求方程沒有實(shí)根的概率.擴(kuò)展4.關(guān)于正態(tài)分布的應(yīng)用問題例10

用正態(tài)分布估計(jì)高考錄取最低分.某市有9萬名高中畢業(yè)生參加高考,招生計(jì)劃有5.4萬名被各類高校錄取.已知滿分為600分,540分以上者有2025人,360分以下者有13500人.試估計(jì)高考錄取最低分.

考生的高考成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量X,它一般會(huì)受先天遺傳、后天努力、心理素質(zhì)、考試期間身體狀態(tài)、求學(xué)期間班級(jí)學(xué)風(fēng)等諸多隨機(jī)因素的影響,而各因素的影響又是有限的,但正負(fù)影響會(huì)相互抵消,故可以認(rèn)為X服從正態(tài)分布.分析解

設(shè)學(xué)生高考成績(jī),由題設(shè)有P{X≤540}=1-P{X>540}=1-

=0.9775.得到

P{X≤540}=又由于

P{X<360}=于是反查正態(tài)分布表,得解上述方程組,得

μ≈421,≈58,所以N(421.).已知錄取率

.設(shè)錄取最低分為a,則0.6=P{X≥a}=1-P{X<a}=1本題用正態(tài)分布估計(jì)高考錄取最低分是正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用問題之一.講評(píng)所以該次高考最低錄取分為406分.反查正態(tài)分布表,得到

=0.253,得a≈406.由于μ,

兩步:未知,故解決問題可分如下(1)由題給的高考結(jié)果的兩個(gè)信息,建立關(guān)于未知參數(shù)μ,

的兩個(gè)方程,并解之;(2)通過已公布的錄取率,求得最低分值.

關(guān)于μ，σ2的數(shù)學(xué)意義和實(shí)際意義在以后第四章講述.擴(kuò)展

本題涉及到已知概率密度求分布函數(shù)的問題,用公式≤

F(x)=

去解決.例11

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求:(1)X的分布函數(shù);

(2)分析5.隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算問題解

(1)由分布函數(shù)的定義知當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)0≤x<1時(shí),當(dāng)1≤x<2時(shí),當(dāng)x≥2時(shí),所以,X的分布函數(shù)為(2)由分布函數(shù)性質(zhì)可知講評(píng)容易出錯(cuò)的是：當(dāng)1≤x<2時(shí),當(dāng)x≥2時(shí),

連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率計(jì)算方法有兩種:一是可以通過X的分布函數(shù)來計(jì)算,如本題;二是也可以利用概率密度來計(jì)算積分:擴(kuò)展=0.935.

由概率密度f(x)求分布函數(shù)F(x)是概率論中最基本的要求,應(yīng)熟練掌握.6.隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題X-3-1013P0.050.200.150.350.25例12

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求:(1)Y

=

5-2X的分布律;的分布律.(2)

本題是離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律問題,可用下面公式分析其中解(1)X為五點(diǎn)分布,y=5-2x為單調(diào)函數(shù).故不等時(shí)yi也不等,從而Y的分布律為Y-115711P0.250.350.150.200.05Z1210P0.150.550.30

以Z=10為例,計(jì)算如下：P{Z=10}=P{X2+1=10}=P({X=-3}∪{X=3})=P{X=-3}

+P{X=3}=0.05+0.25=0.30.(2)由于z=x2+1為偶函數(shù)而非單調(diào),通過

點(diǎn)分布,而是如下的三點(diǎn)分布:,Z的可能取值為1,

2,

10.關(guān)系故Z不再是五

由上題可看出,離散型隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的概率分布分為兩種情形:(1)函數(shù)g(x)是單調(diào)函數(shù)時(shí),g(xi)(i=1,2,…)的值全不相等,將函數(shù)值g(xi)與X=xi時(shí)的概率pi對(duì)應(yīng)即可,如本例(1);(2)函數(shù)g(x)

不是單調(diào)函數(shù)時(shí),

g(xi)(i=1,2,…)的值有相等的,需要把那些相等的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的概率pi加在一起,如本例(2).講評(píng)

一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布律為擴(kuò)展Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…則隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布律為Yg(x1)g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk…如果g(xk),k=1,2,…中有相同的值,則把對(duì)應(yīng)的概率相加.本題涉及到連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的問題,有兩種方法:分布函數(shù)法和公式法.分析

例13

設(shè)隨機(jī)變量概率密度fY(y).求Y的解方法1(分布函數(shù)法)由題設(shè)得到X的分布函數(shù)故Y的分布函數(shù)為≤y}

=

FY(y)=P{Y≤y}=P{

所以FY(y)=

對(duì)y求導(dǎo),Y的概率密度為fY(y)=方法2(公式法)X的概率密度為時(shí),

當(dāng),反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)由定理得Y的概率密度fY(y)=即fY(y)=

已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x),隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)Y=g(X),求Y的概率密度的方法通常有如下兩種:講評(píng)

分布函數(shù)法:先求Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=

再對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得fY(y)=.

公式法:

在使反函數(shù)無意義的點(diǎn)y處,定義fY(y)=0.其中g(shù)(X)

嚴(yán)格單調(diào),其反函數(shù)

有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

利用隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度,可以繼續(xù)要求計(jì)算概率P{1<Y≤e}.

擴(kuò)展

例14

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,求Y=g(X)的分布函數(shù),其中當(dāng)y≥1時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{S}=1;

本題是連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)求解問題.分析解

}=0;當(dāng)y<0時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{由題設(shè)X的分布函數(shù)為當(dāng)0≤y<1時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=

P{X≤y}=

FX(y)=所以Y=g(X)的分布函數(shù)

分布函數(shù)法具有普遍性,公式法要求函數(shù)單調(diào)，反函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，對(duì)于分段函數(shù)難于利用.講評(píng)

(1)可以要求計(jì)算概率密度.

(2)本題的結(jié)果顯示:盡管連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)連續(xù)(本題X服從指數(shù)分布),盡管X的函數(shù)Y=g(X)也連續(xù),但仍不能保證Y=g(X)的分布函數(shù)FY(y)連續(xù).圖2-1說明了這個(gè)問題.擴(kuò)展圖2-1例17隨機(jī)變量函數(shù)的分布關(guān)系(3)此題重點(diǎn)解決分段函數(shù)Y=g(X)的分布函數(shù)計(jì)算問題.通過對(duì)FY(y)求導(dǎo),立即得到概率密度fY(y).

(1)事件數(shù)量化

引入隨機(jī)變量,將試驗(yàn)結(jié)果以及隨機(jī)事件數(shù)量化,從而可以廣泛地利用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)來分析問題和解決問題.

(2)綜合交叉分析

存在既非離散型隨機(jī)變量又非連續(xù)型隨機(jī)變量的隨機(jī)變量.三、學(xué)習(xí)與研究方法

(3)改變定義或定理?xiàng)l件如果改變分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}的定義,例如,定義隨