2020中考數(shù)學尺規(guī)作圖專項訓練（含答案）

2020數(shù)學中考尺規(guī)作圖專項訓

學校:姓名：班級：___________考號：

一、解答題

1.如圖，已知△ABC,請用圓規(guī)和直尺作出△ABC的一條中位線EF（不寫作法，保

留作圖痕跡）.

（1）尺規(guī)作圖：按下列要求完成作圖（保留作圖痕跡，請標明字母）

①作線段AC的垂直平分線1,交AC于點O；

②連接BO并延長，在BO的延長線上截取OD,使得OD=OB；

③連接DA、DC.

（2）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由.

3.為進一步打造“宜居重慶”，某區(qū)擬在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉,

要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口A、B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于

A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示.請在答題卷的原圖上利用尺規(guī)作

圖作出音樂噴泉M的位置.（要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必

須用鉛筆作圖）

4.如圖，已知在正方形ABCD中，M是8C邊上一定點，連接AM,請用尺規(guī)作圖法,

在AM上求作一點尸，使得（不寫做法保留作圖痕跡）

試卷第1頁，總6頁

AD

BV/C

5.如圖，已知ABC,請用尺規(guī)過點A作一條直線，使其將△ABC分成面積相等的兩

（1）作線段的垂直平分線Eb,分別交A3、AC于點￡、F；（用直尺和圓規(guī)作

圖，標明字母，保留作圖痕跡，不寫作法.）

（2）連接。E、DF,四邊形AEDb是________形.（直接寫出答案）

7.已知在R3ABC中，ZACB=90°,現(xiàn)按如下步驟作圖：

①分別以A,C為圓心，a為半徑（a>=AC）作弧，兩弧分別交于M,N兩點；

②過M,N兩點作直線MN交AB于點D,交AC于點E；

③將△ADE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180°,設(shè)點D的像為點F

（1）請在圖中直線標出點F并連接CF；

（2）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；

（3）當NB為多少度時，四邊形BCFD是菱形.

8.如圖，已矢MABC,ZC=90°,AC<BC,D為BC上一點，且到A,B兩點的距離相

試卷第2頁，總6頁

（1）用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）連結(jié)AD,若/B=37。，求/CAD的度數(shù).

9.如圖，AABC中，46=4。，小聰同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作:

①作ABAC的平分線AM交8c于點。；

②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AM相交于點p；

③連接PB,PC.

請你觀察圖形解答下列問題：

（1）線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系是________:

（2）若/ABC=70。，求NBPC的度數(shù).

10.如圖，在Z\ABC中，ZC=60°,ZA=40°.

（1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點D,交AB于點E（保留作圖痕跡,

不要求寫作法和證明）；

（2）求證：BD平分/CBA.

11.兩個城鎮(zhèn)A,B與一條公路CD,一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避

暑山莊，要求該山莊到A,B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在

/DCE的內(nèi)部，請畫出該山莊的位置P.（不要求寫作法，保留作圖痕跡.）

試卷第3頁，總6頁

12.如圖，在△ABC中，點P是AC上一點，連接BP,求作一點M,使得點M到AB

和AC兩邊的距離相等，并且到點B和點P的距離相等.（不寫作法，保留作圖痕跡）

A

▲

BC

13.已知△ABC中，ZA=25°,ZB=40°.

（1）求作：Q0,使。。經(jīng)過A、C兩點，且圓心落在邊上；

（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.）

（2）求證：BC是（1）中所作。。的切線.

14.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC.點E為CD邊上一點，AE與BE分

別為NDAB和NCBA的平分線.

（1）請你添加一個適當?shù)臈l件,使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你

的結(jié)論；

（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點0,并以AB為直徑作。0（要求：尺規(guī)作圖，

保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）在（2）的條件下，OO交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,sinZAGF=

4

求。O的半徑.

D[C

AS

15.按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.

（1）如圖1,A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；

（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相

交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請

運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖：

①如圖2,在DABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;

試卷第4頁，總6頁

②圖3,在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高

16.已知△ABC中，ZA=90°.

（1）請在圖1中作出BC邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）如圖2,設(shè)BC邊上的中線為AD,求證：BC=2AD.

17.如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC,請你用尺規(guī)作圖將△ABC分成兩個全等的

三角形，并說明這兩個三角形全等的理由.（保留作圖痕跡，不寫作法）

18.如圖，在RtVABC中，zC=90o,AC=3,BC=4,D、E分別是斜邊AB、

直角邊BC上的點，把VABC沿著直線DE折疊.

（D如圖1,當折疊后點B和點A重合時，用直尺和圓規(guī)作出直線DE；（不寫作法和證

明，保留作圖痕跡）

（2）如圖2,當折疊后點B落在AC邊上點P處，且四邊形PEBD是菱形時，求折痕DE

的長.

試卷第5頁，總6頁

19.如圖，在HfAABC中，ZB=9Oo,ZA=3Oo,AC=2^/3.

(1)利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線DE,垂足為E,交A3于點。；(保留作圖

痕跡，不寫作法)

(2)若AADE的周長為。，先化簡T=(a+1)2—aQ—1),再求T的值.

20.尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：

已知線段〃和4JOB,點nr在08上(如圖所不).

????A.

(1)在Q4邊上作點使。尸二2〃；

(2)作4403的平分線；

(3)過點作。2的垂線.

試卷第6頁，總6頁

參考答案

1.作圖見解析

【解析】

【分析】

作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E,作AC的垂直平分線得到線段AC的中點F.線

段EF即為所求.

【詳解】

如圖，△ABC的一條中位線EF如圖所示，

方法：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E,作AC的垂直平分線得到線段AC的中

2.（1）作圖見解析；（2）四邊形ABCD是矩形，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）①利用線段垂直平分線的作法得出即可；

②利用射線的作法得出D點位置；

③連接DA、DC即可求解；

（2）利用直角三角形斜邊與其邊上中線的關(guān)系進而得出AO=CO=BO=DO,進而得出答案.

【詳解】

解：（1）①如圖所示：

②如圖所示：

③如圖所示：

（2）四邊形ABCD是矩形，理由：:RtAABC中，ZABC=90°,BO是AC邊上的中線,

1

.\BO=-AC,VBO=DO,AO=CO,AO=CO=BO=DO,四邊形ABCD是矩形.

答案第1頁，總15頁

【點睛】

本題考查作圖一基本作圖；矩形的判定.

3.解：作AB的垂直平分線，以點C為圓心，以AB的一半為半徑畫弧交AB的垂直平分

線于點M即可.

【解析】

【分析】

【詳解】

易得M在AB的垂直平分線上，且到C的距離等于AB的一半.

4.作圖見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法過點D作AM的垂線即可得

【詳解】如圖所示，點P即為所求作的點.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖作垂線，熟練掌握作圖的方法是解題的關(guān)鍵.

5.見下圖.

答案第2頁，總15頁

【解析】

試題分析：作BC邊上的中線，即可把AABC分成面積相等的兩部分.

試題解析：如圖，直線AD即為所求：

6.(1)見解析；(2)菱形.

【解析】

【分析】

(D線段的垂直平分線過線段的中點，且垂直于該線段

(2)根據(jù)是ZiABC的角平分線，且是的垂直平分線，可知四邊形AEDP滿

足菱形的條件.

【詳解】

(1)如圖，直線所即為所求作的垂直平分線.

(2)根據(jù)是△ABC的角平分線，且Eb是的垂直平分線，可知四邊形AEDB的

對角線互相垂直，因此為菱形.

【點睛】

本題考查垂直平分線的概念和作法，以及菱形的判定定理.

7.(1)見解析；(2)見解析；(3)60。

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意作出圖形即可；

答案第3頁，總15頁

（2）首先根據(jù)作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得

到DE=EF,即DF=BC,然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可;

（3）得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可

【詳解】

解：（1）如圖所示：

（2）???根據(jù)作圖可知：MN垂直平分線段AC

；.D、E為線段AB和AC的中點，

.?.口￡是4ABC的中位線

.?.DE」BC,

2

?.?將△ADE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180。，點D的像為點F

；.EF=ED,；.DF=BC,

VDE/7BC

四邊形BCFD是平行四邊形；

（3）當/B=60。時，四邊形BCFD是菱形

ZB=60°

/.BC=^AB,

：DB」AB

2

/.DB=CB

:四邊形BCFD是平行四邊形

.??四邊形BCFD是菱形.

考點：菱形的判定；平行四邊形的判定；作圖-旋轉(zhuǎn)變換

8.（1）點D的位置如圖所示（D為AB中垂線與BC的交點）.（2）16°.

【解析】

【分析】

答案第4頁，總15頁

（1）根據(jù)到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，作出AB的中垂

線.（2）要求/CAD的度數(shù)，只需求出/CAD,而由（1）可知：ZCAD=2ZB

【詳解】

解：（1）點D的位置如圖所示（D為AB中垂線與BC的交點）.

（2）?.,在Rt/XABC中，ZB=37°,/.ZCAB=53°.

又,?AD=BD,ZBAD=ZB=37°.

ZCAD=53°—37°=16°.

考點：尺規(guī)作圖，直角三角形兩銳角互余、垂直平分線的性質(zhì).

9.（1）PA=PB=PC；（2）80°.

【解析】

分析：（I）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：ZABC=ZACB=70°,由三角形的內(nèi)角和得：

ZBAC=180°-2x70°=40°,由角平分線定義得：ZBAD=ZCAD=20°,最后利用三角形外角的

性質(zhì)可得結(jié)論.

詳解：（1）如圖，PA=PB=PC,理由是：

VAB=AC,AM平分/BAC,

；.AD是BC的垂直平分線，

；.PB=PC,

：EP是AB的垂直平分線，

；.PA=PB,

；.PA=PB=PC；

故答案為PA=PB=PC；

（2）VAB=AC,

ZABC=ZACB=70°,

ZBAC=180°-2x70°=40°,

答案第5頁，總15頁

：AM平分NBAC,

ZBAD=ZCAD=20°,

VPA=PB=PC,

ZABP=ZBAP=ZACP=20°,

.,.ZBPC=ZABP+ZBAC+ZACP=20o+40°+20o=80°.

點睛：本題考查了角平分線和線段垂直平分線的基本作圖、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)、

三角形的外角性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵.

10.（1）作圖見試題解析；（2）證明見試題解析.

【解析】

1

試題分析：（1）分別以A、B兩點為圓心，以大于2AB長度為半徑畫弧，在AB兩邊分別

相交于兩點，然后過這兩點作直線即為AB的垂直平分線;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和證明即可.

試題解析：（1）如圖1所示:

（2）連接BD,如圖2所示:

ZCBA=80°,：DE是AB的垂直平分線，?.ZA=ZDBA=40°,

1

/.ZDBA=-ZCBA,，BD平分/CBA.

考點：1.作圖一基本作圖；2,線段垂直平分線的性質(zhì).

11.作圖見解析.

【解析】

【分析】

答案第6頁，總15頁

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：到CD和CE的距離相等的點在NDCE的角平分線上，所以第一

步作：/ECD的平分線CF：根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得：至UA、B的距離相等的點在AB的垂

直平分線上，所以第二步作線段AB的垂直平分線MN,其交點就是P點.

【詳解】

作法：①作NECD的平分線CF,

②作線段AB的中垂線MN,

③MN與CF交于點P,則P就是山莊的位置.

12.見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖即可.

【詳解】

作法：如解圖，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交A3、AC于。、E兩點，再

分別以E為圓心，以大于:。石長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，連接Ab；以3、P為

圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于G、H,連接，則的延長線與4歹

答案第7頁，總15頁

的延長線的交點即為所求的點M.

【點睛】

本題考查的是復雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的一

般步驟是解題的關(guān)鍵.

13.（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）作出線段AC的垂直平分線進而得出AC垂直平分線與線段AB的交點O,

進而以A0為半徑做圓即可.

（2）連接CO,由圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理，利用已知得出/OCB=90。，進而求出

即可.

試題解析：解：（1）作圖如答圖1：

答圖1

(2)證明：如答圖2,連接0C,

VOA=OC,ZA=25°,/.ZBOC=50°.

又ZB=40,ZBOC+ZB=90°.

ZOCB=90°.

AOCXBC.

；.BC是。O的切線.

答圖2

考點：1.作圖（復雜作圖）；2.線段垂直平分線的性質(zhì)；3.圓周角定理；4.三角形內(nèi)角和定理;

答案第8頁，總15頁

5.切線的判定.

14.(1)當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；(2)作出相應(yīng)的圖形

見解析；(3)圓。的半徑為2.5.

【解析】

分析：(1)添加條件AD=BC,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗證即可；

(2)作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；

(3)由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內(nèi)角互補，再由AE與BE為

角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，

可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到/AGF=/AEB,根據(jù)sin/AGF的

值，確定出sin/AEB的值，求出AB的長，即可確定出圓的半徑.

詳解：(1)當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由為：

證明：VAD/7BC,AD=BC,

四邊形ABCD為平行四邊形；

故答案為：AD=BC；

(2)作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；

(3)：AD〃BC,

ZDAB+ZCBA=180°,

VAE與BE分別為/DAB與/CBA的平分線,

ZEAB+ZEBA=90°,

ZAEB=90°,

：AB為圓0的直徑，點F在圓。上，

ZAFB=90°,

ZFAG+ZFGA=90°,

：AE平分NDAB,

答案第9頁，總15頁

.\ZFAG=ZEAB,

ZAGF=ZABE,

4AE

sinNABE=sinNAGF=-,

5AB

VAE=4,

???AB=5,

則圓o的半徑為2.5.

點睛：此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平分

線性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

15.(1)見解析；(2)①見解析；②見解析.

【解析】

【分析】

⑴作直徑AC,分別以A、C為圓心，以大于AC的一半長為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別

交于點M、N,作直線MN交圓于點B,D,四邊形ABCD即為所求；

⑵①連接AC、BD交于點O,則。為BD的中點，連接BE交CO于點G,連接DG并延

長交BC于點E則F即為所求；

②如圖，利用網(wǎng)格特點連接BM,則可得直線BMLAC,連接CN,則可得直線CNLAB,

兩線交于點E,連接AE并延長交BC于點H,則AH即為所求.

【詳解】

(1)如圖所示，四邊形ABCD即為所求；

②如圖所示，AH即為所求.

答案第10頁，總15頁

【點睛】

本題考查了尺規(guī)作圖，無刻度直尺作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法以及無刻度直尺作圖的方

法是解題的關(guān)鍵.

16.（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】

分析：（1）如圖1,作BC的垂直平分線得到BC的中點D,從而得到BC邊上的中線AD；

（2）延長AD到E,使ED=AD,連接EB、EC,如圖2,通過證明四邊形ABEC為矩形得

至IJAE=BC,從而得至I]BC=2AD.

詳（1）解：如圖1,AD為所作；

（2）證明：延長AD到E,使ED=AD,連接EB、EC,如圖2,

VCD=BD,AD=ED,

四邊形ABEC為平行四邊形，

ZCAB=90°,

四邊形ABEC為矩形，

；.AE=BC,

/?BC=2AD.

點睛：本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個

角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂

線）.也考查了矩形的判定與性質(zhì).

17.作圖見解析.

答案第11頁，總15頁

【解析】

試題分析：作出底邊BC的垂直平分線，交BC于點D,利用三線合一得到D為BC的中點,

可得出三角形ADB與三角形ADC全等.

試題解析：解：作出BC的垂直平分線，交BC于點D,

VAB=AC,

；.AD平分/BAC,即NBAD=/CAD,

在小ABD和小ACD中，

-AB=AC

4BAD=Z.CAD,

.AD=AD

/.AABD^AACD（SAS）.

考點：作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)

18.（D畫圖見解析；（2）DE=SM.

【解析】

【分析】

（1）由折疊后點B和點A重合，可知DE垂直平分AB,作線段AB的垂直平分線即可得出

結(jié)論；

（2）連接BP,由菱形的性質(zhì)可得出PE=BE,設(shè)CE=x，則BE=PE=4—x，由PE//AB

可得出VPCEsVACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出x的值，進而可得出CE、BE、PE

的值，在RtVPCE和RtVPCB中，利用勾股定理可求出PC、BP的值，由菱形的面積公式

可得出BE?PC=；DE?BP,代入各值即可求出折痕DE的長.

【詳解】

（1）作直線AB的垂直平分線DE,如圖1所示；

答案第12頁，總15頁

，AB=JAC2+BC2=5,

連接BP,如圖2所示,

Q四邊形PEBD是菱形,

PE=BE,

設(shè)CE=x,則BE=PE=4—x,

QPE//AB,

..VPCEsVACB,

CEPEx